let's solve an equation>>>

${\displaystlye y^{\prime\prime\prime}(x) + xy^{\prime}(x)+\frac{3}{2}y(x)=0 }$

ผมจะลองใช้ power series แก้ดูนะครับ

Solve

${2\displaystlye y^{\prime\prime\prime}(x) + 2xy^{\prime}(x)+3y(x)=0 }$ ..... (1)

ให้ $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}x^{n+c}]$

$y^{\prime}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)x^{n+c-1}]$

$y^{\prime\prime}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)(n+c-1)x^{n+c-2}]$

$y^{\prime\prime\prime}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)(n+c-1)(n+c-2)x^{n+c-3}]$

แทนค่าใน(1)จะได้

$2\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)(n+c-1)(n+c-2)x^{n+c-3}] + 2x\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)x^{n+c-1}]$

$+3\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}x^{n+c}] = 0$

ให้ m = n - 3 จะได้

$\sum_{m= -3}^{\infty} [2a_{m+3}(m+c+3)(m+c+2)(m+c+1)x^{m+c}] + \sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n}(n+c)x^{n+c}]$

$+\sum_{n=0}^{\infty} [3a_{n}x^{n+c}] = 0$

เนื่องจาก

$\sum_{m= -3}^{\infty} [2a_{m+3}(m+c+3)(m+c+2)(m+c+1)x^{m+c}]$

= $\sum_{n= -3}^{\infty} [2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1)x^{n+c}]$

เพราะว่าค่ามันไม่ได้ขึ้นกับตัวแปรที่ใช้ (เอาเป็นว่ารันตั่งแต่ 0 ถึง infinity เหมือนกันเป็นใช้ได้)

ดังนั้นจะได้

$\sum_{n= -3}^{\infty} [2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1)x^{n+c}] + \sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n}(n+c)x^{n+c}]$

$+\sum_{n=0}^{\infty} [3a_{n}x^{n+c}] = 0$

ต่อไปก็กระจาย 3 พจน์แรก ของอนุกรมแรกครับ จะได้

$2a_{0}(c)(c-1)(c-2)x^{c-3} + 2a_{1}(c+1)(c)(c-1)x^{c-2} + 2a_{2}(c+2)(c+1)(c)x^{c-1}$

$+\sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1)x^{n+c}] + \sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n}(n+c)x^{n+c}]$

$+3\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}x^{n+c}] = 0$

จากนั้นก็เอา sum ที่มี index เหมือนกันมารวมกันครับ จะได้

$2a_{0}(c)(c-1)(c-2)x^{c-3} + 2a_{1}(c+1)(c)(c-1)x^{c-2} + 2a_{2}(c+2)(c+1)(c)x^{c-1}$

$+\sum_{0}^{\infty}[{2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1) + a_{n}(2n+2c+3)}x^{n+c}] = 0$

เนื่องจาก $x^{k}$ ไม่เท่ากับ ศูนย์ สำหรับ $k = 0,\pm 1 ,\pm 2 , ...$

การที่ทุกๆเทอมจะเป็นศูนย์ได้ สัมประสิทธิ์ ของ $x^{k}$ จะต้องเป็น ศูนย์ ( $k = 0,\pm 1 ,\pm 2 , ...$ )
ดังนั้นจะได้ว่า

$2a_{0}(c)(c-1)(c-2) = 0$ ...(2)
$2a_{1}(c+1)(c)(c-1) = 0$ ...(3)
$2a_{2}(c+2)(c+1)(c) = 0$ ...(4)

$[{2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1) + a_{n}(2n+2c+3)}] = 0$ ...(5)

เนื่องจาก $a_{l}$ ไม่เท่ากับ ศูนย์ สำหรับ $l = 0,\pm 1 ,\pm 2 , ...$
และจากสมการ (2),(3)และ(4) จะได้ว่า

c = 0

ทำให้สมการ (5) เป็น

$2a_{n+3}(n+3)(n+2)(n+1) + a_{n}(2n+3) = 0$
for $n = 0, 1, 2, ...$

จะได้ว่า

$a_{n+3} = (\frac{(-1)a_{n}(2n+3)}{2(n+3)(n+2)(n+1)})$
for $n = 0, 1, 2, ...$

พิจารณา ที่ n = 3s for $s = 0, 1, 2, ...$
จะได้ว่า

$a_{3s+3} = (\frac{(-1)^{s}(6s+3)}{2^{s}(3s)!}a_{0})$

พิจาณาที่ n = 3s+1 for $s = 0, 1, 2, ...$
จะได้ว่า

$a_{3s+4} = (\frac{(-1)^{s}(6s+5)}{2^{s}(3s+1)!}a_{1})$

พิจาณาที่ n = 3s+2 for $s = 0, 1, 2, ...$
จะได้ว่า
$a_{3s+5} = (\frac{(-1)^{s}(6s+9)}{2^{s}(3s+2)!}a_{2})$

จากนั้นก็ให้ $a_{0} = c_{1} , a_{1} = c_{2} \ \ and \ \ a_{2} = c_{3}$ ก็จะได้ solution เป็น

\frac{(-1)^{s}(6s+9)}{2^{s}(3s+2)!}x^{3s+2}] [/tex]

ก็ได้คำตอบแล้วนะครับ แต่ว่า series ทั้ง 3 จะเป็น function อะไร ลองหาดูนะครับ

*1.เครื่องหมาย ไม่เท่ากับ พิมพ์อย่างไงครับ
2.ผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ
3.ขอบคุีณสำหรับการอ่านจนจบครับ!!
้