ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41576 Posts in 6275 Topics- by 9812 Members - Latest Member: kaew
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: let's solve an equation>>>  (Read 5446 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
~AwaTarn~
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 118


What is the real world as I see?


« on: May 12, 2006, 10:59:02 AM »

ผมจำไม่ได้แล้วว่าเอาโจทย์มาจากไหน ลองแกดูนะครับ

{\displaystlye y^{\prime\prime\prime}(x) + xy^{\prime}(x)+\frac{3}{2}y(x)=0  }
Logged
The People
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 10

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #1 on: October 03, 2006, 12:04:48 AM »

      {\displaystlye y^{\prime\prime\prime}(x) + xy^{\prime}(x)+\frac{3}{2}y(x)=0  }

ผมจะลองใช้ power series แก้ดูนะครับ

Solve

      {2\displaystlye y^{\prime\prime\prime}(x) + 2xy^{\prime}(x)+3y(x)=0  }   ..... (1)

ให้   y(x)     =  \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}x^{n+c}]

      y^{\prime}(x)    =  \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)x^{n+c-1}]

      y^{\prime\prime}(x)   =  \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)(n+c-1)x^{n+c-2}]

      y^{\prime\prime\prime}(x) =  \sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)(n+c-1)(n+c-2)x^{n+c-3}]


แทนค่าใน(1)จะได้

2\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)(n+c-1)(n+c-2)x^{n+c-3}] + 2x\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}(n+c)x^{n+c-1}]

      +3\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}x^{n+c}]  =  0


ให้ m = n - 3 จะได้

\sum_{m= -3}^{\infty} [2a_{m+3}(m+c+3)(m+c+2)(m+c+1)x^{m+c}] + \sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n}(n+c)x^{n+c}]

      +\sum_{n=0}^{\infty} [3a_{n}x^{n+c}]  =  0


เนื่องจาก

\sum_{m= -3}^{\infty} [2a_{m+3}(m+c+3)(m+c+2)(m+c+1)x^{m+c}]

      = \sum_{n= -3}^{\infty} [2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1)x^{n+c}]

เพราะว่าค่ามันไม่ได้ขึ้นกับตัวแปรที่ใช้ (เอาเป็นว่ารันตั่งแต่ 0 ถึง infinity เหมือนกันเป็นใช้ได้)


ดังนั้นจะได้

\sum_{n= -3}^{\infty} [2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1)x^{n+c}] + \sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n}(n+c)x^{n+c}]

      +\sum_{n=0}^{\infty} [3a_{n}x^{n+c}]  =  0


ต่อไปก็กระจาย 3 พจน์แรก ของอนุกรมแรกครับ จะได้

2a_{0}(c)(c-1)(c-2)x^{c-3} + 2a_{1}(c+1)(c)(c-1)x^{c-2} + 2a_{2}(c+2)(c+1)(c)x^{c-1}

+\sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1)x^{n+c}] + \sum_{n=0}^{\infty} [2a_{n}(n+c)x^{n+c}]

+3\sum_{n=0}^{\infty} [a_{n}x^{n+c}]  =  0


จากนั้นก็เอา sum ที่มี index เหมือนกันมารวมกันครับ จะได้

2a_{0}(c)(c-1)(c-2)x^{c-3} + 2a_{1}(c+1)(c)(c-1)x^{c-2} + 2a_{2}(c+2)(c+1)(c)x^{c-1}

+\sum_{0}^{\infty}[{2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1) + a_{n}(2n+2c+3)}x^{n+c}]  =  0


เนื่องจาก x^{k} ไม่เท่ากับ ศูนย์ สำหรับ    k = 0,\pm 1 ,\pm 2 , ...

การที่ทุกๆเทอมจะเป็นศูนย์ได้ สัมประสิทธิ์ ของ    x^{k}    จะต้องเป็น ศูนย์    ( k = 0,\pm 1 ,\pm 2 , ...)
 ดังนั้นจะได้ว่า

    2a_{0}(c)(c-1)(c-2)  = 0       ...(2)
     2a_{1}(c+1)(c)(c-1) =  0     ...(3)
     2a_{2}(c+2)(c+1)(c)  = 0     ...(4)

[{2a_{n+3}(n+c+3)(n+c+2)(n+c+1) + a_{n}(2n+2c+3)}]  =  0  ...(5)


เนื่องจาก  a_{l} ไม่เท่ากับ ศูนย์ สำหรับ    l = 0,\pm 1 ,\pm 2 , ...
และจากสมการ (2),(3)และ(4) จะได้ว่า

          c  =  0

ทำให้สมการ (5) เป็น

2a_{n+3}(n+3)(n+2)(n+1) + a_{n}(2n+3) =  0
for  n = 0, 1, 2, ...

จะได้ว่า

 a_{n+3}  =  (\frac{(-1)a_{n}(2n+3)}{2(n+3)(n+2)(n+1)})
for  n = 0, 1, 2, ...


พิจารณา ที่  n = 3s  for  s = 0, 1, 2, ...
จะได้ว่า

     a_{3s+3} = (\frac{(-1)^{s}(6s+3)}{2^{s}(3s)!}a_{0})


พิจาณาที่ n = 3s+1  for  s = 0, 1, 2, ...
จะได้ว่า

      a_{3s+4} = (\frac{(-1)^{s}(6s+5)}{2^{s}(3s+1)!}a_{1})


พิจาณาที่ n = 3s+2  for  s = 0, 1, 2, ...
จะได้ว่า
      a_{3s+5} = (\frac{(-1)^{s}(6s+9)}{2^{s}(3s+2)!}a_{2})



จากนั้นก็ให้ a_{0} = c_{1} ,  a_{1} = c_{2} \ \ and  \ \ a_{2} = c_{3} ก็จะได้ solution เป็น


\frac{(-1)^{s}(6s+9)}{2^{s}(3s+2)!}x^{3s+2}]   [/tex]


ก็ได้คำตอบแล้วนะครับ  แต่ว่า series ทั้ง 3 จะเป็น function  อะไร  ลองหาดูนะครับ

*1.เครื่องหมาย ไม่เท่ากับ พิมพ์อย่างไงครับ
  2.ผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ
  3.ขอบคุีณสำหรับการอ่านจนจบครับ!!
« Last Edit: October 04, 2006, 02:19:58 AM by The People » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Online Online

Posts: 6345


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: October 03, 2006, 06:23:29 AM »



*1.เครื่องหมาย ไม่เท่ากับ พิมพ์อย่างไงครับ
 ...้

ใฃ้ [ tex]\ne[ /tex] จะให้ \ne
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
The People
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 10

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #3 on: October 03, 2006, 12:49:02 PM »

ขอบคุณครับ  Grin  \ne Angry ok.
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: