ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

41042 Posts in 6096 Topics- by 6086 Members - Latest Member: gnuyheat
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: Covariant form of Maxwell's Equations  (Read 6832 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« on: April 19, 2006, 01:44:11 PM »

ผมลองเปลี่ยนสมการของแมกซ์เวลล์สองสมการนี้ ให้กลายเป็น covariant form แต่ทำไม่ได้สักทีครับ ขอคำแนะนำจากอาจารย์หรือใครก็ได้สักนิดครับ Smiley

 \begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \times \vec{E} + \partial_t \vec{B} & = & 0 \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = & 0 \end{array}

เริ่มด้วยการเปลี่ยนเป็น tensorial form แบบนี้ก่อน

 \begin{array}{rcl} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j E_k + \partial_0 B^i & = & 0 \\ \partial_i B^i & = & 0 \end{array}

จากนั้นก็ต้องทำเป็นรูปนี้ครับ (antisymmetrized)

 \partial_{ [ \mu} F_{\nu \lambda ] } = 0

โดยที่

 F_{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{array} \right)
« Last Edit: April 20, 2006, 08:39:52 AM by kiattisak » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
folikers
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #1 on: April 20, 2006, 01:12:55 AM »

ว๊าวว  tensor   อยู่ใน math 4  แน่เลย  ^^  อิอิ   icon adore icon adore  สุดยอดด 
Logged
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #2 on: April 22, 2006, 08:54:02 AM »

ทำได้แล้วครับ ดูๆ แล้ว จริงๆ เป็นเรื่องที่ไม่ควรถามเลย
Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6217


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #3 on: May 02, 2006, 02:54:11 PM »

ทำได้แล้วครับ ดูๆ แล้ว จริงๆ เป็นเรื่องที่ไม่ควรถามเลย

ทำให้ดูหน่อยจิ  Grin
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #4 on: May 02, 2006, 05:42:43 PM »

Cool

(1) อันดับแรกสุด คือการพยายามเขียน  B^i และ  E_k ให้อยู่ในรูปของ  F_{\mu \nu} ให้ได้ครับ

(ขออนุญาตเรียก  B ว่าสนามแม่เหล็ก และ กำหนดให้ ดรรชนีที่เขียนด้วยตัวอักษรกรีกวิ่งตัวเลขได้ตั้งแต่ 0 ถึง 3 และดรรชนีที่เขียนด้วยตัวอักษรอังกฤษพิมพ์เล็กวิ่งตัวเลขได้ตั้งแต่ 1 ถึง 3)

สังเกตที่ field strength tensor  F_{\mu \nu} เรื่องที่ดูมหัศจรรย์คือ คอมโพเนนท์ที่ 1 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (2,3) และ (3,2) ของ  F_{\mu \nu} , คอมโพเนนท์ที่ 2 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (1,3) และ (3,1) ของ  F_{\mu \nu} , และสุดท้าย คอมโพเนนท์ที่ 3 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (1,2) และ (2,1) ของ  F_{\mu \nu} ดูเหมือนว่าจะมีรูปแบบบางอย่างที่เป็นประโยชน์อยู่

การที่ field strength tensor มีความ antisymmetric ก็เป็นประโยชน์เช่นกัน ถ้าผมเอาคอมโพเนนท์ที่อยู่เหนือ diagonal element บวก/ลบกับคอมโพเนนท์ที่อยู่ใต้ diagonal element ในลักษณะที่

 (F_{12} - F_{21}) - (F_{13} - F_{31}) + (F_{23} - F_{32}) = 2B_3 + 2B_2 + 2B_1

ผมจะสามารถแยกคอมโพเนนท์ของสนามแม่เหล็กแต่ละตัวออกมาจากผลบวกดังกล่าวได้โดยอาศัยข้อสังเกตแรกสุด ดังนี้

ถ้าผมต้องการคอมโพเนนท์ที่  i ของสนามแม่เหล็ก ผมต้องตัด  F_{jk} ออกไปแล้วหารสอง โดยที่  j \neq i และ  k \neq i ทำอย่างไรดี? ของให้ใช้ก็มีไม่มากครับ และสิ่งที่ใช้ได้ก็คือ Levi-Civita antisymmetric symbol  \tilde{\epsilon}_i^{\; jk} ดังนี้ครับ

 \displaystyle \frac{\tilde{\epsilon}_i^{\; jk} F_{jk}}{2}

ซึ่ง expression นี้เป็นของ  B_i นั่นเอง แต่หากดูที่สมการ Maxwell ทั้งสองสมการ สิ่งที่ผมต้องการไม่ใช่  B_i แต่เป็น  B^i ต่างหาก ปัญหาคือผมจะสามารถใช้  B^i แทนได้เลยหรือไม่ (โดยการเลือกดรรชนี  i ของ Levi-Civita symbol ให้อยู่ด้านบน) คำตอบก็คือได้ครับ เนื่องจาก

 B_i = \eta_{ij} B^j = \delta^i_j B^j = B^i

ฉะนั้น

 \displaystyle B^i� = \frac{\tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk}}{2}

บางคนอาจเถียงว่า สมการนี้ มองๆ ดู field strength tensor ก็เขียนออกมาได้ ไม่เห็นต้อง motivate ยาวขนาดนี้เลย แต่ผมคิดว่านี่น่าจะเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในตอนที่กำลัง "มองๆ" น่ะครับ Smiley

ส่วนสมการนี้ มองๆ ก็ออกมาแบบตรงไปตรงมาเลยครับ

 E_k = F_{k0}

(2) ขั้นตอนต่อมาคือการนำสมการสองสมการที่ได้มา ไปใส่ไว้ในสมการ Maxwell สมการแรก (ที่เขียนเตรียมไว้อยู่ใน tensorial form แล้ว) แล้วก็จัดรูปไปมาครับ

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \partial_0 \frac{\tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk}}{2} & = & 0 \\ \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \frac{1}{2} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ 2 \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ikj} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} - \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_j F_{k0} + \partial_k F_{0j} + \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_{[j} F_{k0]} & = & 0 \end{array}

เก็บสมการนี้ไว้ครับ

 \partial_{[j} F_{k0]} & = & 0

(เดี๋ยวมีต่อครับ)
« Last Edit: May 03, 2006, 11:14:40 AM by kiattisak » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #5 on: May 03, 2006, 11:11:07 AM »

(3) คราวนี้นำสมการของ  B^i ไปแทนในสมการ Maxwell สมการที่สองครับ

 \begin{array}{rcl} \partial_i \tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_i F_{jk} & = & 0 \end{array}

จากสมการสุดท้าย สามารถนำมาทำเป็นชุดสมการได้ดังนี้ โดยเพียงแค่เปลี่ยนชื่อ dummy index เฉยๆ
 \begin{array}{rcl} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_i F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{jki} \partial_j F_{ki} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{kij} \partial_k F_{ij} & = & 0 \end{array}
หรือ
 \begin{array}{rcl} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_i F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{ki} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_k F_{ij} & = & 0 \end{array}
หรือ
 \begin{array}{rcl} \partial_i F_{jk} & = & 0 \\ \partial_j F_{ki} & = & 0 \\ \partial_k F_{ij} & = & 0 \end{array}

สมการทั้งสามนี้บวกกันได้เป็น

 \begin{array}{rcl} \partial_i F_{jk} + \partial_j F_{ki} + \partial_k F_{ij} & = & 0 \\ \partial_{[ i} F_{jk ]} & = & 0 \end{array}

เก็บสมการนี้ไว้ครับ

 \partial_{[ i} F_{jk ]} & = & 0

(4) เมื่อพิจารณาสมการที่เก็บไว้ในขั้นตอนที่สองและสาม สามารถสรุปได้ว่า ดรรชนีหนึ่งตัวในวงเล็บเหลี่ยมสามารถวิ่งตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 3 ได้

 \partial_{[ \mu} F_{jk ]} & = & 0

(5) ต่อไปจะพิจารณาว่า  \partial_{[ \mu} F_{00 ]} & = & 0 หรือไม่ ถ้าใช่ แสดงว่าดรรชนีอีกสองตัวที่เหลือสามารถวิ่งตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 3 ได้

สังเกตว่า

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{3!}{2} \partial_{[ \mu} F_{00]}} & = & \displaystyle \partial_\mu F_{00} + \partial_0 F_{\mu 0} + \partial_0 F_{0 \mu} \\ & = & \displaystyle 0 + \partial_0 F_{\mu 0} - \partial_0 F_{\mu 0} \\ & = & 0 \end{array}

ฉะนั้น  \partial_{[ \mu} F_{00 ]} & = & 0 จริง

(6) เพราะฉะนั้น เป็นอันว่าสรุปได้ว่า ดรรชนีทั้งสามตัวสามารถวิ่งตั้งแต่ 0 ถึง 3 ได้

 \partial_{[ \mu} F_{\nu \sigma ]} = 0
« Last Edit: May 03, 2006, 11:33:06 AM by kiattisak » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #6 on: May 03, 2006, 11:29:46 AM »

อนึ่ง เอกลักษณ์ตัวหนึ่งที่สำคัญสำหรับการทำครั้งนี้คือตัวนี้ครับ

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \partial_{[ \alpha} F_{\beta \gamma ]} & = & \displaystyle \frac{\partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} - \partial_\gamma F_{\beta \alpha} - \partial_\alpha F_{\gamma \beta} - \partial_\beta F_{\alpha \gamma}}{3!} \\ & = & \displaystyle \frac{\partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} + \partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha}}{3!} \\ & = & \displaystyle \frac{2 (\partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} )}{3!} \end{array}
Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6217


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #7 on: May 03, 2006, 11:35:56 AM »

เจ๋ง  Cheesy
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #8 on: May 03, 2006, 07:14:35 PM »

Smiley ขอบคุณครับ
Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น