
(1) อันดับแรกสุด คือการพยายามเขียน

และ

ให้อยู่ในรูปของ

ให้ได้ครับ
(ขออนุญาตเรียก

ว่าสนามแม่เหล็ก และ กำหนดให้ ดรรชนีที่เขียนด้วยตัวอักษรกรีกวิ่งตัวเลขได้ตั้งแต่ 0 ถึง 3 และดรรชนีที่เขียนด้วยตัวอักษรอังกฤษพิมพ์เล็กวิ่งตัวเลขได้ตั้งแต่ 1 ถึง 3)
สังเกตที่ field strength tensor

เรื่องที่ดูมหัศจรรย์คือ คอมโพเนนท์ที่ 1 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (2,3) และ (3,2) ของ

, คอมโพเนนท์ที่ 2 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (1,3) และ (3,1) ของ

, และสุดท้าย คอมโพเนนท์ที่ 3 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (1,2) และ (2,1) ของ

ดูเหมือนว่าจะมีรูปแบบบางอย่างที่เป็นประโยชน์อยู่
การที่ field strength tensor มีความ antisymmetric ก็เป็นประโยชน์เช่นกัน ถ้าผมเอาคอมโพเนนท์ที่อยู่เหนือ diagonal element บวก/ลบกับคอมโพเนนท์ที่อยู่ใต้ diagonal element ในลักษณะที่

ผมจะสามารถแยกคอมโพเนนท์ของสนามแม่เหล็กแต่ละตัวออกมาจากผลบวกดังกล่าวได้โดยอาศัยข้อสังเกตแรกสุด ดังนี้
ถ้าผมต้องการคอมโพเนนท์ที่

ของสนามแม่เหล็ก ผมต้องตัด

ออกไปแล้วหารสอง โดยที่

และ

ทำอย่างไรดี? ของให้ใช้ก็มีไม่มากครับ และสิ่งที่ใช้ได้ก็คือ Levi-Civita antisymmetric symbol

ดังนี้ครับ

ซึ่ง expression นี้เป็นของ

นั่นเอง แต่หากดูที่สมการ Maxwell ทั้งสองสมการ สิ่งที่ผมต้องการไม่ใช่

แต่เป็น

ต่างหาก ปัญหาคือผมจะสามารถใช้

แทนได้เลยหรือไม่ (โดยการเลือกดรรชนี

ของ Levi-Civita symbol ให้อยู่ด้านบน) คำตอบก็คือได้ครับ เนื่องจาก

ฉะนั้น

บางคนอาจเถียงว่า สมการนี้ มองๆ ดู field strength tensor ก็เขียนออกมาได้ ไม่เห็นต้อง motivate ยาวขนาดนี้เลย แต่ผมคิดว่านี่น่าจะเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในตอนที่กำลัง "มองๆ" น่ะครับ

ส่วนสมการนี้ มองๆ ก็ออกมาแบบตรงไปตรงมาเลยครับ

(2) ขั้นตอนต่อมาคือการนำสมการสองสมการที่ได้มา ไปใส่ไว้ในสมการ Maxwell สมการแรก (ที่เขียนเตรียมไว้อยู่ใน tensorial form แล้ว) แล้วก็จัดรูปไปมาครับ
![\begin{array}{rcl} \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \partial_0 \frac{\tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk}}{2} & = & 0 \\ \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \frac{1}{2} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ 2 \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ikj} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} - \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_j F_{k0} + \partial_k F_{0j} + \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_{[j} F_{k0]} & = & 0 \end{array} \begin{array}{rcl} \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \partial_0 \frac{\tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk}}{2} & = & 0 \\ \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \frac{1}{2} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ 2 \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ikj} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} - \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_j F_{k0} + \partial_k F_{0j} + \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_{[j} F_{k0]} & = & 0 \end{array}](/forums/Sources/latex/pictures/22c9968bf9f459a9dfc65e66572ef8d9.png)
เก็บสมการนี้ไว้ครับ
![\partial_{[j} F_{k0]} & = & 0 \partial_{[j} F_{k0]} & = & 0](/forums/Sources/latex/pictures/ff4439454e4263324903b6bee0ced167.png)
(เดี๋ยวมีต่อครับ)