Covariant form of Maxwell's Equations

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Covariant form of Maxwell's Equations

« on: April 19, 2006, 01:44:11 PM »

ผมลองเปลี่ยนสมการของแมกซ์เวลล์สองสมการนี้ ให้กลายเป็น covariant form แต่ทำไม่ได้สักทีครับ ขอคำแนะนำจากอาจารย์หรือใครก็ได้สักนิดครับ

$\begin{array}{rcl} \vec{\nabla} \times \vec{E} + \partial_t \vec{B} & = & 0 \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = & 0 \end{array}$

เริ่มด้วยการเปลี่ยนเป็น tensorial form แบบนี้ก่อน

$\begin{array}{rcl} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j E_k + \partial_0 B^i & = & 0 \\ \partial_i B^i & = & 0 \end{array}$

จากนั้นก็ต้องทำเป็นรูปนี้ครับ (antisymmetrized)

$\partial_{ [ \mu} F_{\nu \lambda ] } = 0$

โดยที่

$F_{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{array} \right)$


« Last Edit: April 20, 2006, 08:39:52 AM by kiattisak »	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

folikers

neutrino

Offline

Posts: 5

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Covariant form of Maxwell's Equations

« Reply #1 on: April 20, 2006, 01:12:55 AM »

ว๊าวว tensor อยู่ใน math 4 แน่เลย ^^ อิอิ icon adore

สุดยอดด


	Logged

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Re: Covariant form of Maxwell's Equations

« Reply #2 on: April 22, 2006, 08:54:02 AM »

ทำได้แล้วครับ ดูๆ แล้ว จริงๆ เป็นเรื่องที่ไม่ควรถามเลย


	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6211

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: Covariant form of Maxwell's Equations

« Reply #3 on: May 02, 2006, 02:54:11 PM »

Quote from: kiattisak on April 22, 2006, 08:54:02 AM

ทำได้แล้วครับ ดูๆ แล้ว จริงๆ เป็นเรื่องที่ไม่ควรถามเลย

ทำให้ดูหน่อยจิ Grin


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Re: Covariant form of Maxwell's Equations

« Reply #4 on: May 02, 2006, 05:42:43 PM »

(1) อันดับแรกสุด คือการพยายามเขียน $B^i$ และ $E_k$ ให้อยู่ในรูปของ $F_{\mu \nu}$ ให้ได้ครับ

(ขออนุญาตเรียก $B$ ว่าสนามแม่เหล็ก และ กำหนดให้ ดรรชนีที่เขียนด้วยตัวอักษรกรีกวิ่งตัวเลขได้ตั้งแต่ 0 ถึง 3 และดรรชนีที่เขียนด้วยตัวอักษรอังกฤษพิมพ์เล็กวิ่งตัวเลขได้ตั้งแต่ 1 ถึง 3)

สังเกตที่ field strength tensor $F_{\mu \nu}$ เรื่องที่ดูมหัศจรรย์คือ คอมโพเนนท์ที่ 1 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (2,3) และ (3,2) ของ $F_{\mu \nu}$ , คอมโพเนนท์ที่ 2 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (1,3) และ (3,1) ของ $F_{\mu \nu}$ , และสุดท้าย คอมโพเนนท์ที่ 3 ของสนามแม่เหล็กอยู่ที่คอมโพเนนท์ที่ (1,2) และ (2,1) ของ $F_{\mu \nu}$ ดูเหมือนว่าจะมีรูปแบบบางอย่างที่เป็นประโยชน์อยู่

การที่ field strength tensor มีความ antisymmetric ก็เป็นประโยชน์เช่นกัน ถ้าผมเอาคอมโพเนนท์ที่อยู่เหนือ diagonal element บวก/ลบกับคอมโพเนนท์ที่อยู่ใต้ diagonal element ในลักษณะที่

$(F_{12} - F_{21}) - (F_{13} - F_{31}) + (F_{23} - F_{32}) = 2B_3 + 2B_2 + 2B_1$

ผมจะสามารถแยกคอมโพเนนท์ของสนามแม่เหล็กแต่ละตัวออกมาจากผลบวกดังกล่าวได้โดยอาศัยข้อสังเกตแรกสุด ดังนี้

ถ้าผมต้องการคอมโพเนนท์ที่ $i$ ของสนามแม่เหล็ก ผมต้องตัด $F_{jk}$ ออกไปแล้วหารสอง โดยที่ $j \neq i$ และ $k \neq i$ ทำอย่างไรดี? ของให้ใช้ก็มีไม่มากครับ และสิ่งที่ใช้ได้ก็คือ Levi-Civita antisymmetric symbol $\tilde{\epsilon}_i^{\; jk}$ ดังนี้ครับ

$\displaystyle \frac{\tilde{\epsilon}_i^{\; jk} F_{jk}}{2}$

ซึ่ง expression นี้เป็นของ $B_i$ นั่นเอง แต่หากดูที่สมการ Maxwell ทั้งสองสมการ สิ่งที่ผมต้องการไม่ใช่ $B_i$ แต่เป็น $B^i$ ต่างหาก ปัญหาคือผมจะสามารถใช้ $B^i$ แทนได้เลยหรือไม่ (โดยการเลือกดรรชนี $i$ ของ Levi-Civita symbol ให้อยู่ด้านบน) คำตอบก็คือได้ครับ เนื่องจาก

$B_i = \eta_{ij} B^j = \delta^i_j B^j = B^i$

ฉะนั้น

$\displaystyle B^iï¿½ = \frac{\tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk}}{2}$

บางคนอาจเถียงว่า สมการนี้ มองๆ ดู field strength tensor ก็เขียนออกมาได้ ไม่เห็นต้อง motivate ยาวขนาดนี้เลย แต่ผมคิดว่านี่น่าจะเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในตอนที่กำลัง "มองๆ" น่ะครับ

ส่วนสมการนี้ มองๆ ก็ออกมาแบบตรงไปตรงมาเลยครับ

$E_k = F_{k0}$

(2) ขั้นตอนต่อมาคือการนำสมการสองสมการที่ได้มา ไปใส่ไว้ในสมการ Maxwell สมการแรก (ที่เขียนเตรียมไว้อยู่ใน tensorial form แล้ว) แล้วก็จัดรูปไปมาครับ

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \partial_0 \frac{\tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk}}{2} & = & 0 \\ \displaystyle \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \frac{1}{2} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ 2 \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} + \tilde{\epsilon}^{ikj} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{k0} - \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_k F_{j0} + \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_j F_{k0} + \partial_k F_{0j} + \partial_0 F_{jk} & = & 0 \\ \partial_{[j} F_{k0]} & = & 0 \end{array}$

เก็บสมการนี้ไว้ครับ

$\partial_{[j} F_{k0]} & = & 0$

(เดี๋ยวมีต่อครับ)


« Last Edit: May 03, 2006, 11:14:40 AM by kiattisak »	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Re: Covariant form of Maxwell's Equations

« Reply #5 on: May 03, 2006, 11:11:07 AM »

(3) คราวนี้นำสมการของ $B^i$ ไปแทนในสมการ Maxwell สมการที่สองครับ

$\begin{array}{rcl} \partial_i \tilde{\epsilon}^{ijk} F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_i F_{jk} & = & 0 \end{array}$

จากสมการสุดท้าย สามารถนำมาทำเป็นชุดสมการได้ดังนี้ โดยเพียงแค่เปลี่ยนชื่อ dummy index เฉยๆ
$\begin{array}{rcl} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_i F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{jki} \partial_j F_{ki} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{kij} \partial_k F_{ij} & = & 0 \end{array}$
หรือ
$\begin{array}{rcl} \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_i F_{jk} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_j F_{ki} & = & 0 \\ \tilde{\epsilon}^{ijk} \partial_k F_{ij} & = & 0 \end{array}$
หรือ
$\begin{array}{rcl} \partial_i F_{jk} & = & 0 \\ \partial_j F_{ki} & = & 0 \\ \partial_k F_{ij} & = & 0 \end{array}$

สมการทั้งสามนี้บวกกันได้เป็น

$\begin{array}{rcl} \partial_i F_{jk} + \partial_j F_{ki} + \partial_k F_{ij} & = & 0 \\ \partial_{[ i} F_{jk ]} & = & 0 \end{array}$

เก็บสมการนี้ไว้ครับ

$\partial_{[ i} F_{jk ]} & = & 0$

(4) เมื่อพิจารณาสมการที่เก็บไว้ในขั้นตอนที่สองและสาม สามารถสรุปได้ว่า ดรรชนีหนึ่งตัวในวงเล็บเหลี่ยมสามารถวิ่งตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 3 ได้

$\partial_{[ \mu} F_{jk ]} & = & 0$

(5) ต่อไปจะพิจารณาว่า $\partial_{[ \mu} F_{00 ]} & = & 0$ หรือไม่ ถ้าใช่ แสดงว่าดรรชนีอีกสองตัวที่เหลือสามารถวิ่งตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 3 ได้

สังเกตว่า

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{3!}{2} \partial_{[ \mu} F_{00]}} & = & \displaystyle \partial_\mu F_{00} + \partial_0 F_{\mu 0} + \partial_0 F_{0 \mu} \\ & = & \displaystyle 0 + \partial_0 F_{\mu 0} - \partial_0 F_{\mu 0} \\ & = & 0 \end{array}$

ฉะนั้น $\partial_{[ \mu} F_{00 ]} & = & 0$ จริง

(6) เพราะฉะนั้น เป็นอันว่าสรุปได้ว่า ดรรชนีทั้งสามตัวสามารถวิ่งตั้งแต่ 0 ถึง 3 ได้

$\partial_{[ \mu} F_{\nu \sigma ]} = 0$


« Last Edit: May 03, 2006, 11:33:06 AM by kiattisak »	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Re: Covariant form of Maxwell's Equations

« Reply #6 on: May 03, 2006, 11:29:46 AM »

อนึ่ง เอกลักษณ์ตัวหนึ่งที่สำคัญสำหรับการทำครั้งนี้คือตัวนี้ครับ

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \partial_{[ \alpha} F_{\beta \gamma ]} & = & \displaystyle \frac{\partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} - \partial_\gamma F_{\beta \alpha} - \partial_\alpha F_{\gamma \beta} - \partial_\beta F_{\alpha \gamma}}{3!} \\ & = & \displaystyle \frac{\partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} + \partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha}}{3!} \\ & = & \displaystyle \frac{2 (\partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} )}{3!} \end{array}$