ข้อ81 (มาราธอนของจริง)
Orbital Motion in the "Dark Matter"
จากผลการสังเกตและทดลองต่างๆในการเคลื่อนที่ในเอกภพของเราเป็นที่สันนิษฐานกันว่า ในเอกภพของเรามีสิ่งที่เรียกว่า "Dark Matter" อยู่ ซึ่งตรวจจับไม่ได้ แต่คาดว่ามีอยู่จริง
แบบจำลองของ Dark Matter คือ กลุ่มหมอกความหนาแน่นสม่ำเสมอ

รูปร่างเป็นทรงกลมรัศมี

ซึ่งใหญ่มาก (ดังรูปด้านล่าง)
ทีนี้ สมมติว่ามีวัตถุก้อนหนึ่งมวล

กำลังเคลื่อนที่อยู่"ภายใน" Dark Matter นี้ (ยังไม่ต้องสนใจรูปด้านล่าง) โดยอยู่ห่างจากศูนย์กลางทรงกลมDark Matter เป็นระยะ

ที่ตำแหน่งพิกัด

วัดเทียบแกน X ให้ทำตามขั้นต่อไปนี้
1. จงหาพลังงานจลน์ของวัตถุมวล

ในรูปของ

และ

2. จงพิสูจน์ว่า พลังงานศักย์โน้มถ่วงของ

มีค่าเป็น
![U(r) = 2 \pi G m \rho \left[ \dfrac{r^2}{2} - R^2 \right] U(r) = 2 \pi G m \rho \left[ \dfrac{r^2}{2} - R^2 \right]](/forums/Sources/latex/pictures/2b7c61e3bf63e8b132c6787d6d874c94.png)
(ถ้าทำไม่ได้ก็อาจเอาผลข้อนี้ไปใช้เลยได้)
3. จงหาโมเมนตัมเชิงมุม

ของมวล

ในรูปของ

และ

และพิสูจน์ว่าปริมาณนี้มีค่าคงตัว
4. จงพิสูจน์ว่าพลังงานรวมของ

มีรูปแบบเป็น

-->(*)
เมื่อ

แล้วให้หาค่าของ

และ

แนะ:

5. สมการ (*) มีผลเฉลยเป็นดังนี้

เมื่อ

และ

ทีนี้ ให้ดูรูปด้านล่างได้ ที่เวลา

พบว่าวัตถุมวล

ที่ตำแหน่งพิกัด

ดังกล่าวคือราฟาเอลเบนิเตซ (ผู้จัดการทีม ลิเวอร์พูล)กำลังกอดถ้วยแชมป์พรีเมียร์ลีกอยู่นั่นเอง แต่เนื่องจากพระเจ้าโจ๊กลงโทษ เขาและถ้วยแชมป์จึงหลุดออกจากกัน ราฟาเอลหลุดออกจากถ้วยแชมป์ด้วยความเร็ว

ในทิศตั้งฉากแกน X ดังรูป (ถ้วยแชมป์ก็พุ่งออกไปในทิศตรงกันข้ามตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม: ไม่ได้แสดงในรูปด้านล่าง) สมมติให้ถ้วยแชมป์มวลน้อยกว่าราฟาเอลมากจนคิดว่าราฟาเอลมีมวล

ได้ ราฟาเอลล่องลอยไปใน Dark Matter
6. จงหาค่า

สำหรับสถานการณ์นี้ (แนะ: ค่า

ช่วยได้)
7. ให้พิสูจน์ว่าเส้นทางการเคลื่อนที่ของราฟาเอลเป็นวงโคจรวงรีที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O พอดี
ให้หาความยาวครึ่งแกนเอก

และครึ่งแกนโท

(นิยามให้

) ในรูปของ P และ Q
ให้หาค่าความรี (eccentricity)

เมื่อ f คือความยาวโฟกัสของวงรี ในรูปของ Q
แทนค่า P และ Q เพื่อหาค่าต่างๆเหล่านี้ในรูปของ

และ

เท่านั้น
8. ให้หาว่า ราฟาเอลมีโอกาสได้แชมป์พรีเมียร์ลีกก่อนหมดอายุขัยหรือไม่ ถ้ามี จะใช้เวลาเท่าไหร่ กำหนดให้ความหนาแน่นของ Dark Matter มีค่าประมาณเป็น

(เป็นค่าที่สมมติขึ้น) และอายุขัยของราฟาเอลเบนิเตซ เหลืออยู่ 50ปี
แนะ: ลิเวอร์พูลเป็นทีมทีไม่ได้แชมป์ลีกสูงสุดของอังกฤษมาแล้วกว่า18ปี

ปล1. โจทย์ที่กำหนดขั้นตอนย่อยๆมาให้คือโจทย์ที่ช่วยเหลือเรา
ปล2. ขออภัยแฟนบอลทีมลิเวอร์พูลมา ณ ที่นี้ด้วย นี่คือโจทย์สมมติเฉยๆนะครับ อย่าได้เครียดไป

ปล3
ให้เวลาสองสัปดาห์ครับ ช่วยๆกันทำทีละข้อก็ได้ (ไม่จำเป็นต้องฉายเดี่ยว) และ คนที่โพสคำตอบสุดท้ายของข้อ 8 คือคนที่โพสโจทย์ข้อต่อไปครับ