สำหรับข้อ 67 ผมคิดว่า มันน่าจะไม่ยากไม่ใช่เหรอครับ (หรือว่าผมโดนหลอก)

แรงจากแรงเสียดทานคงที่ ดังนั้น
ตอบ (ผมว่าคงโดนหลอกแหงๆเลย แต่ผมก็มาขุดเฉยๆครับ
ผมขอเสริมจากไซโคเร่อร์ด้วยวิธีพิสูจน์แบบยกสถาณการณ์แล้วกันนะครับ
คือผมติดตรงคำว่า"ที่ไถลไปจริงๆ" ลองนึกถึงตัวอย่างทรงกลม กลิ้งแบบ"ไม่ไถล" จะพบว่ามัน"ไม่ได้ขูดพื้น"แสดงว่าไม่เกิดงานจากแรงเสียดทานซึ่งก็เป็นจริง
ส่วนกรณีถ้ามันเกิดไถลไปตอนกลิ้งหล่ะ ผมจะพิสูจน์ว่างานจากแรงเสียดทานคือแรงเสียดทานคูณระยะทางที่มันขูดไปจริงๆ จากตัวอย่าง(ผมยังคิดวิธีพิสูจน์กรณีทั่วๆไปไม่ได้)
จินตนาการว่ามีวัตถุกลิ้งได้อันหนึ่ง(เช่นทรงกระบอก ทรงกลม) มีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดCMเป็น

ตอนแรกมันหมุนอยู่อย่างเดียวที่เวลา

และแล้วพอมันสัมผัสพื้นฝืด ก็เกิดแรงเสียดทานทำมันในทิศตรงกันข้ามกับความเร็วของผิววัตถุสัมพัทธ์กับพื้น ให้มันหมุนช้าลง (และแน่นอนว่าสุดท้ายความเร็วศูนย์กลางมวลจะคงตัว) สมมติมันหมุนไปจนถึง

เขียนสมการนิวตันก่อนออกมาได้ว่า

--->(1)
ทอร์กรอบจุด CM

--->(2)
เลยเขียนอัตราเร็วจุด CM ขณะใดๆตอนไถลอยู่ได้ว่า

(เนื่องด้วยตอนแรก

)--->(3)
และอัตราเร็วเชิงมุมรอบ CM ขณะใดๆ

--->(4)
หลังจากนี้จะหางานจากแรงเสียดทาน(จลน์)ที่ว่า จากทฤษฎีงาน-พลังงาน

...พลังงานจลน์ตอน



...พลังงานจลน์ตอน
เลยได้ว่างานจากแรงเสียดทานเป็น

--->(*)
คราวนี้ลองมาพิจารณาทางที่"ขูดพื้น"หรือ"ไถล" ไปจริงๆ
จะได้ว่ามันขูดพื้นไปแล้วในช่วงเวลา

ถึง

เป็น

![\displaystyle{\int\limits_{t = 0}^{t = t_f } {\left[ {R\omega \left( t \right) - v_{cm} \left( t \right)} \right]} dt} \displaystyle{\int\limits_{t = 0}^{t = t_f } {\left[ {R\omega \left( t \right) - v_{cm} \left( t \right)} \right]} dt}](/forums/Sources/latex/pictures/148e4297dfd1dda68beb8f9251f41961.png)

![\displaystyle{\int\limits_{t = 0}^{t = t_f } {\left[ {\omega \left( 0 \right)R - \left( {{{MR^2 } \over I} + 1} \right)\mu _k gt} \right]} dt} \displaystyle{\int\limits_{t = 0}^{t = t_f } {\left[ {\omega \left( 0 \right)R - \left( {{{MR^2 } \over I} + 1} \right)\mu _k gt} \right]} dt}](/forums/Sources/latex/pictures/fa88cac635b0e6f9a1449c565ffef684.png)


และก็หางานโดยเอาแรงเสียดทานจลน์ที่ทำ มาคูณกับระยะทางที่ไถลไปที่ว่านี้(แน่นอนว่าแรงเสียดทานที่ว่ามีค่าคงที่)

พบว่ามันเท่ากับ(*) พอดี
แสดงว่า
งานจากแรงเสียดทาน = แรงเสียดทานนั้น คูณกับ ระยะที่มันไถลไป
(ถ้าลองเอาระยะที่CMเคลื่อนที่ไป(ระยะที่"ตัววัตถุ"เคลื่อนที่ไป)มาคูณกับแรงเสียดทาน จะได้ไม่เท่ากับงานที่คำนวณได้ทางทฤษฎีงาน-พลังงาน แสดงว่าการลองนี้ ไม่ได้ให้ผลเป็นงานจากแรงเสียดทาน)
ปล.ผมว่าที่ไซโคเร่อร์ทำมาก็ถือว่าน่าจะอยู่ในรูปทั่วไปแล้วถ้าบอกว่า

ที่ว่านั้นคือ ระยะที่แรง

ทำกับผิววัตถุ ซึ่งขยายความต่อได้คือ ระยะที่ไถลไปจริงๆนั่นเอง

(หรือถ้าใครมีวิธีที่ทั่วไปแบบสุดๆๆๆ ช่วยโพสด้วยนะครับ

)
