ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

...

เสรีภาพทางการศึกษาคือหัวใจของการศึกษาที่แท้จริง

คนแรกที่ควรได้รับการศึกษาคือผู้ให้การศึกษา

mPEC on Facebook

IPhO 2011 on Facebook

IPhO 2011

Further Academy
 
Advanced search

37976 Posts in 5626 Topics- by 4058 Members - Latest Member: Echelon
« previous next »
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Down
Print
Author Topic: Problems Solving Marathon : Mechanics  (Read 214019 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit
« Reply #600 on: July 24, 2011, 03:04:25 PM »
จากข้อ 1 ที่คุณ GOL ทำเมื่อแทนค่าต่างๆลงไปแล้วจะได้ r_0 = 52.9 \hspace{1 mm} \mathrm{ pm}
ข้อ 2 E = U+K = -\dfrac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \left( 2 r \right) } + 2 \left( \dfrac{1}{2} m v^2 \right)
ทำคล้ายๆข้อหนึ่ง จับแรงคูลอมบ์เป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลางจะได้ว่า m v^2 = \dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r} เมื่อนำนิพจน์นี้ไปแทนในสมการพลังงานก็จะได้ออกมาว่า E(r) = -\dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r}
ข้อ 3 ขอใช้ตัวแปรเป็น E_1 แทนนะครับ จะได้ดูเหมือนพลังงานที่ลงมาที่สถานะพื้นมากกว่า
E_1 = E(r_0) = -\dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r_0} เมื่อแทนค่าต่างๆลงไปจะได้ว่า E_1 = - 6.80 \hspace{1 mm} \mathrm{ eV}
ข้อ 4 ใช้ผลจากข้อสองแล้วทำการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา \dfrac{d}{dt} E = \dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r^2} \dfrac{dr}{dt} จากนั้นใช้สูตรของ Larmor โดยที่ใช้ความเร่งเป็นความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางจากกฏของคูลอมบ์ \dfrac{d}{dt} E = - 2 \left( \dfrac{e^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \right) = - \dfrac{e^2}{3 \pi \epsilon_0 c^3} \left( \dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 m r^2} \right)^2
จับนิพจน์ \dfrac{d}{dt} E ทั้งสองมาเท่ากันแล้วทำการอินทิเกรตตั้งแต่อนุภาคห่างกัน 2 r_0 จนมันชนกัน
\begin{array}{rcl} \dfrac{dr}{dt} &=& -\dfrac{e^4}{48 \pi^2 \epsilon_0^2 c^3 m^2 r^2} \cr \displaystyle{\int_{r_0}^0 r^2 dr} &=& - \displaystyle{\int_0^{t_0}} \dfrac{e^4}{48 \pi^2 \epsilon_0^2 c^3 m^2} dt \cr t_0 &=& \left( \dfrac{16 \pi^2 \epsilon_0^2 c^3 m^2}{e^4} \right) {r_0}^3 \end{array}
เมื่อแทนค่าต่างๆลงไปจะได้ว่า t_0 = 6.22 \times 10^{-11} \hspace{1 mm} \mathrm{sec}
ข้อ 5 จากกฏการอนุรักษ์พลังงาน E_1 + 2mc^2 = 3 \left\langle E_\gamma \right\rangle ทำให้ได้ว่า \left\langle E_\gamma \right\rangle = 341 \hspace{1 mm} \mathrm{keV}
ข้อ 6 จากหลักความไม่แน่นอน \Delta E \Delta t \approx \dfrac{\hbar}{2} โดยแทน \Delta E = 3 \Delta \left\langle E_\gamma \right\rangle เพราะมีโฟตอนออกมาสามตัว และ \Delta t = t_0 ชั่วชีวิตของโพสิตรอนเนียมจะได้ \Delta \left\langle E_\gamma \right\rangle = \left( \dfrac{\hbar}{2t_0} \right) \slash 3 = 1.76 \hspace{1 mm} \mathrm{\mu eV}
เมื่อนำค่าพลังงานทั้งสามมาเปรียบเทียบจะได้ว่า
\Delta \left\langle E_\gamma \right\rangle \ll \left| E_1 \right| \ll \left\langle E_\gamma \right\rangle

ช่วยเช็คหน่อยนะครับ
Logged
ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« Reply #601 on: July 27, 2011, 10:48:23 PM »
ท่านตุงกลับมาแล้ว  Smiley
Logged
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #602 on: July 28, 2011, 01:06:25 AM »
ในฐานะเจ้าของกระทู้ ขอสนับสนุนคนที่โพสโจทย์ที่ใช้คณิตศาสตร์ไม่มาก แต่ใช้ความเข้าใจทางฟิสิกส์ลึกซึ้ง อย่างเป็นทางการครับ (แต่ไม่ได้ห้าม)  smitten
Logged
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit
« Reply #603 on: July 31, 2011, 11:42:05 PM »
ข้อ 101
ดวงดาวขนาดใหญ่และหนักดวงหนึ่งซึ่งมีมวล M และรัศมี R วิ่งด้วยความเร็ว \vec{V} ผ่านแก๊สเจือจางที่มีความหนาแน่น \rho ดวงดาวจะดึงดูดอนุภาคของแก๊สรอบๆ และพากลุ่มอนุภาคที่มาชนผิววิ่งติดกันไป จงหาแรงต้านที่กระทำกับดวงดาว โดยประมาณให้ละทิ้ง thermal velocity ของอะตอมได้เมื่อเทียบกับ \left| \vec{V} \right| และแรงอันตรกิริยาระหว่างอะตอมสามารถถูกละทิ้งได้
Logged
ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #604 on: August 04, 2011, 10:36:27 PM »
ข้อ 101 (หนึ่งในข้อโปรดของผม)

เนื่องจากดาวมีมวลมาก แรงโน้มถ่วงจากดาวจึงดึงอนุภาคฝุ่นเข้ามาใกล้ แต่จะมีกลุ่มอนุภาคบางส่วนเท่านั้นที่จะติดไปกับดาว
ในการแก้ปัญหาข้อนี้เราจึงต้องตอบให้ได้ก่อนว่ามีฝุ่นมากแค่ไหนที่ติดไปกับดาว

เพื่อลดความยุ่งเหยิง เราจะพิจารณาระบบในกรอบอ้่างอิงที่เคลื่อนที่ไปด้วยความเรีว \vec{V} กรอบอ้างอิงนี้เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย
เหตุผลหนี่งที่เลือกกรอบนี้เพราะปัญหาจะลดรูปเป็นปัญหาวงโคจรแบบที่เราคุ้นเคย

เนื่องจากเราประมาณว่า thermal velocity มีค่าน้อย ผู้สังเกตในกรอบนี้จะเห็นฝุ่นที่อยู่ไกลมากๆเคลื่อนที่มาด้วยความเร็ว -\vec{V}

ฝุ่นที่จะเคลื่อนที่ไปกับดาวได้ต้องมาเฉียดดาวที่ระยะห่างน้อยสุดน้อยกว่ารัศมีดาว R สมมติให้พื้นที่หน้าตัดของฝุ่นที่มาชนนี้มีรัศมี b
และให้ความเร็วของอนุภาคที่มาเฉียดดาวพอดีมีขนาด v

กฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ( ขออนุญาติใช้ \left| \vec{V} \right| =V):
Vb=vR 

กฎอนุรักษ์พลังงาน:
\displaystyle \frac{1}{2}V^2=\frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{R}


กำจัด v ได้ b^2=\frac{R^2}{V^2}(V^2+2\frac{GM}{R})

เพราะฉะนั้นในเวลา \Delta t จะมีอนุภาคที่จะมาชนดาวเพิ่มเป็นมวล \rho \pi b^2 V \Delta t ท่ายถอดโมเมนตัมสุทธิ \rho \pi b^2 V^2 \Delta t

ในการคิดแรงหากมองชั่วครู่ภาพอาจจะซับซ้อนนิดหน่อย เพราะกลุ่มฝุ่นมวล \rho \pi b^2 V \Delta t นี้ไม่จำเป็นต้องมาชนดาวในเวลาพร้อมกัน
แต่ฝุ่นที่มาชนพร้อมกันนั้นเมื่อสืบต้นกำเนิดไปยังอนันต์แล้วพบว่าเป็นภาพเดียวกันที่ ท่ายถอดโมเมนตัมสุทธิ \rho \pi b^2 V^2 \Delta t

ดังนั้นแรงต้าน \displaystyle F=\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta p}{\Delta t}=-\rho \pi b^2 V^2


เมื่อนำ b^2 มาแทนและคืนรูปเวกเตอร์จะได้ 

\displaystyle \boxed{\vec{F}= -\rho \pi {R^2}\frac{\vec{V}}{\left| \vec{V} \right|}({\left| \vec{V} \right|}^2+2\frac{GM}{R})}

« Last Edit: August 04, 2011, 11:03:23 PM by P o W i i » Logged
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #605 on: August 05, 2011, 01:02:07 AM »
ข้อ 102

ทรงกระบอกสองอันถูกย้ำติดกันให้มีแกนกลางร่วมกันถูกนำไปแขวนบนเพลาที่ยึดไว้ ณ ความสูงระดับหนึ่งเหนือพื้น
ระบบนี้อยู่ในสนามโน้มถ่วง และพื้นเป็นพื้นชนิดที่มีสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์ นั่นคือเมื่อวัตถุชนพื้นแล้วไม่กระดอนกลับขึ้นมา
ให้โมเมนต์ความเฉื่อยรวมของทรงกระบอกทั้งสองเป็น I

จากนั้นผูกมวล m_{1} ไว้กับทรงกระบอกอันใหญ่รัศมี R_{1} ให้อยู่ฝั่งซ้าย
และมวล มวล m_{2} ไว้กับทรงกระบอกอันเล็กรัศมี R_{2} ให้อยู่ฝั่งขวา

โดยการผูกนั้นทำให้เมื่อเชือกฝั่งซ้ายตึงพอดี เชือกฝั่งขวาจะหย่อนกว่าอยู่นิดหน่อย
ให้เชือกเป็นเชือกชนิดที่มีสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์เช่นเดียวกับพื้น และแรงที่เชือกกระตุกเป็นแรงดล

จากนั้นหมุนทรงกระบอกตามเข็มนาฬิกาจน m_{1} ยกไปเป็นระยะ h_{1} จากพื้นแล้วปล่อย

จงหาความสูงมากสุดที่ m_{2} ยกขึ้นครั้งแรก
« Last Edit: August 08, 2011, 12:00:55 AM by P o W i i » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 343


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #606 on: August 05, 2011, 10:38:58 PM »
Quote from: P o W i i on August 05, 2011, 01:02:07 AM
ข้อ 102

............

จงหาความสูงมากสุดที่ m_{2} ยกขึ้นครั้งแรก


พี่โพครับคำว่าความสูงที่ m_2 ยกขึ้นครั้งแรก นี่คือยังไงครับ งง idiot2
« Last Edit: August 05, 2011, 10:43:23 PM by dy » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for 14th APhO
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #607 on: August 05, 2011, 11:23:45 PM »
Quote from: dy on August 05, 2011, 10:38:58 PM
Quote from: P o W i i on August 05, 2011, 01:02:07 AM
ข้อ 102

............

จงหาความสูงมากสุดที่ m_{2} ยกขึ้นครั้งแรก


พี่โพครับคำว่าความสูงที่ m_2 ยกขึ้นครั้งแรก นี่คือยังไงครับ งง idiot2

หมายความว่า m_2 ถูกยกขึ้นได้หลายครั้งครับ

ตอนแรกกะจะให้หาจำนวนรอบที่ m_1 ถูกยกขึ้นไปต่ำกว่า h_{1}/2 เป็นครั้งแรก แต่มันถึกเกินไปหน่อยโดยที่ไม่ได้ใช้ฟิสิกส์เพิ่มเท่าไหร่
Logged
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #608 on: August 07, 2011, 11:52:03 PM »
ขอเพิ่มโจทย์นิดหน่อยตรงที่ "ให้เชือกเป็นเชือกชนิดที่มีสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์เช่นเดียวกับพื้น และแรงที่เชือกกระตุกเป็นแรงดล" นะครับ
สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์ แปลว่าความเร็วสัมพัทธ์ (เช่นระหว่างมวลกับเชือก) หลังกระตุกเป็นศูนย์ครับ

หากมีข้อสงสัยอะไรถามได้ครับ
« Last Edit: August 08, 2011, 12:01:52 AM by P o W i i » Logged
B.J.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 212
« Reply #609 on: August 16, 2011, 11:37:27 PM »
จากกฎ อนุรักษ์ พลังงาน
ตอนที่ มวล m_{1} กระแทกพื้น  ความเร็วของมัน จะเท่ากับความเร็วที่เพลา รัศมี R_{1} หมุน  ได้ v = \omega R_{1} ซึ่งในตอนแรก ทั้ง ความเร็วของ m_{1} กับ \omega เป็น ศูนย์ แต่จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจาก พลังงานศักย์โน้มถ่วงเปลี่ยนไปเป็นพลังงานทั้งสองนี้
mgh_{1} = \dfrac{1}{2}m_{1}(\omega R_{1})^{2} + \dfrac{1}{2}I\omega ^{2}
แก้สมการได้ \omega = \sqrt{\dfrac{2m_{1}gh_{1}}{I + m_{1}R_{1}^{2}}}

ตอนก่อนกระตุก กับหลังกระตุก ใช้ หลักการคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม
I\omega = m_{2}v_{2}R_{2} + I\omega_{2}
ตอนเพิ่งกระตุกเสร็จ กับตอนที่ m_{2} ขึ้นไปสูงสุด ใช้กฎอนุรักษ์พลังงาน
\dfrac{1}{2}I\omega_{2}^{2} + \dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} = m_{2}gh_{2}
ความเร็วของ m_{2}  หลังกระตุก (v_{2})เท่ากับ  ความเร็วรอกที่หมุนในขณะนั้น ซึ่งเท่ากับ  \omega_{2}R_{2}

แก้สมการทั้งสามข้างต้นจะได้ h_{2}=\dfrac{m_{1}h_{1}I^{2}}{m_2(I + m_{1}R_{1}^{2})(I + m_{2}R_{2}^{2})}
« Last Edit: September 03, 2011, 09:57:53 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
B.J.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 212
« Reply #610 on: August 17, 2011, 12:30:20 AM »
ข้อ 103
มีมวล m อยู่บน กรวย มีมุมครึ่งยอดกรวย \alpha  ที่กำลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega  โดยวัดความสุงในแนวดิ่งจากพื้นได้ h
สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน ระหว่าง วัตถุกับ ผิวกรวย มีค่า \mu _{s}  จงหาอัตราส่วนระหว่าง  \dfrac{T_{max}}{T_{min}} เมื่อ T คาบในการแกว่งของกรวย
 โดยที่ ระหว่างการแกว่งของกรวยนั้น มวล m อยู่นิ่ง
Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 343


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #611 on: August 17, 2011, 11:33:10 PM »
Quote from: B.J. on August 17, 2011, 12:30:20 AM
ข้อ 103
มีมวล m อยู่บน กรวย มีมุมครึ่งยอดกรวย \alpha  ที่กำลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega  โดยวัดความสุงในแนวดิ่งจากพื้นได้ h
สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน ระหว่าง วัตถุกับ ผิวกรวย มีค่า \mu _{s}  จงหาอัตราส่วนระหว่าง  \dfrac{T_{max}}{T_{min}} เมื่อ T คาบในการแกว่งของกรวย
 โดยที่ ระหว่างการแกว่งของกรวยนั้น มวล m อยู่นิ่ง

พอกรวยหมุน จะมีแรงเสียดทานมากระทำกับวัตถุ โดยถ้าวัตถุหมุนเร็วเกินไปนี่ มันจะถูกเหวี่ยงออกไป ขณะเดียวกับถ้าหมุนช้าเกิน มันก็จะตกไถลลงไป แสดงว่าค่าที่เราจะหาขึ้นกับ \omega

ถ้าหมุนเร็ว วัตถุจะพยายามไถลขึ้น แรงเสียดทานมีทิศลง ตามแนวผิวกรวย

จากกฎข้อ 2 ของนิวตัน   \Sigma \vec{F} &=& m \vec{a}

N (\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha ) &=& m \omega^2 h \tan \alpha แนวเข้าสู่ศูนย์กลาง

ในแนวดิ่ง  N (\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha ) &=& mg

ผสมสองสมการด้วยกันเราจะได้ \omega &=& \sqrt { \dfrac{g(\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha) }{(\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha )h \tan \alpha}

คาบในกรณีนี้คือคาบน้อยสุด T_{min} &=& \dfrac{2 \pi}{ \omega} &=& 2\pi \sqrt { \dfrac{(\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha )h \tan \alpha}{g(\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha) }}

ถ้าหมุนช้าไป วัตถุพยายามไถลลง  แรงเสียดทานมีทิศขึ้นตามแนวผิวกรวย ทำแบบเดิมแต่เปลี่ยนทิศของแรงเสียดทานได้ว่า

คาบ T_{max} &=& 2\pi \sqrt { \dfrac{(\sin \alpha + \mu_s \cos \alpha )h \tan \alpha}{g(\cos \alpha - \mu_s \sin \alpha) }}

\dfrac{T_{max} }{T_{min} } &=& \sqrt{ \dfrac{ (\sin \alpha + \mu_s \cos \alpha )(\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha)}{(\cos \alpha - \mu_s \sin \alpha) (\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha )}} &=& \sqrt \dfrac{ (\mu_s ^2 + 1) \sin 2\alpha + 2\mu_s}{(\mu_s ^2 + 1) \sin 2\alpha - 2\mu_s}}
Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for 14th APhO
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 343


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #612 on: August 18, 2011, 07:01:06 PM »
สำหรับโจทย์ข้อ 104 ขอเวลาคิดสักพักนะครับ  smitten
« Last Edit: August 18, 2011, 10:50:04 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for 14th APhO
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 343


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #613 on: August 19, 2011, 11:10:02 PM »
ข้อ 104 มาเป็นรูปภาพนะครับ ชื่อ "ระบบหลายอนุภาคในแบบต่างๆ"  Grin
« Last Edit: October 01, 2011, 08:59:14 PM by dy » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 83
« Reply #614 on: August 20, 2011, 11:29:04 PM »
แต่งเองหมดเลยใช่ไหมนี่!!! Shocked จินตนาการล้ำเลิศ  buck2
Logged
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น