ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41486 Posts in 6257 Topics- by 9135 Members - Latest Member: Armm
« previous next »
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Down
Print
Author Topic: Problems Solving Marathon : Mechanics  (Read 464754 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit
« Reply #600 on: July 24, 2011, 03:04:25 PM »
จากข้อ 1 ที่คุณ GOL ทำเมื่อแทนค่าต่างๆลงไปแล้วจะได้ r_0 = 52.9 \hspace{1 mm} \mathrm{ pm}
ข้อ 2 E = U+K = -\dfrac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \left( 2 r \right) } + 2 \left( \dfrac{1}{2} m v^2 \right)
ทำคล้ายๆข้อหนึ่ง จับแรงคูลอมบ์เป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลางจะได้ว่า m v^2 = \dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r} เมื่อนำนิพจน์นี้ไปแทนในสมการพลังงานก็จะได้ออกมาว่า E(r) = -\dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r}
ข้อ 3 ขอใช้ตัวแปรเป็น E_1 แทนนะครับ จะได้ดูเหมือนพลังงานที่ลงมาที่สถานะพื้นมากกว่า
E_1 = E(r_0) = -\dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r_0} เมื่อแทนค่าต่างๆลงไปจะได้ว่า E_1 = - 6.80 \hspace{1 mm} \mathrm{ eV}
ข้อ 4 ใช้ผลจากข้อสองแล้วทำการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา \dfrac{d}{dt} E = \dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 r^2} \dfrac{dr}{dt} จากนั้นใช้สูตรของ Larmor โดยที่ใช้ความเร่งเป็นความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางจากกฏของคูลอมบ์ \dfrac{d}{dt} E = - 2 \left( \dfrac{e^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \right) = - \dfrac{e^2}{3 \pi \epsilon_0 c^3} \left( \dfrac{e^2}{16 \pi \epsilon_0 m r^2} \right)^2
จับนิพจน์ \dfrac{d}{dt} E ทั้งสองมาเท่ากันแล้วทำการอินทิเกรตตั้งแต่อนุภาคห่างกัน 2 r_0 จนมันชนกัน
\begin{array}{rcl} \dfrac{dr}{dt} &=& -\dfrac{e^4}{48 \pi^2 \epsilon_0^2 c^3 m^2 r^2} \cr \displaystyle{\int_{r_0}^0 r^2 dr} &=& - \displaystyle{\int_0^{t_0}} \dfrac{e^4}{48 \pi^2 \epsilon_0^2 c^3 m^2} dt \cr t_0 &=& \left( \dfrac{16 \pi^2 \epsilon_0^2 c^3 m^2}{e^4} \right) {r_0}^3 \end{array}
เมื่อแทนค่าต่างๆลงไปจะได้ว่า t_0 = 6.22 \times 10^{-11} \hspace{1 mm} \mathrm{sec}
ข้อ 5 จากกฏการอนุรักษ์พลังงาน E_1 + 2mc^2 = 3 \left\langle E_\gamma \right\rangle ทำให้ได้ว่า \left\langle E_\gamma \right\rangle = 341 \hspace{1 mm} \mathrm{keV}
ข้อ 6 จากหลักความไม่แน่นอน \Delta E \Delta t \approx \dfrac{\hbar}{2} โดยแทน \Delta E = 3 \Delta \left\langle E_\gamma \right\rangle เพราะมีโฟตอนออกมาสามตัว และ \Delta t = t_0 ชั่วชีวิตของโพสิตรอนเนียมจะได้ \Delta \left\langle E_\gamma \right\rangle = \left( \dfrac{\hbar}{2t_0} \right) \slash 3 = 1.76 \hspace{1 mm} \mathrm{\mu eV}
เมื่อนำค่าพลังงานทั้งสามมาเปรียบเทียบจะได้ว่า
\Delta \left\langle E_\gamma \right\rangle \ll \left| E_1 \right| \ll \left\langle E_\gamma \right\rangle

ช่วยเช็คหน่อยนะครับ
Logged
ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion
« Reply #601 on: July 27, 2011, 10:48:23 PM »
ท่านตุงกลับมาแล้ว  Smiley
Logged
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #602 on: July 28, 2011, 01:06:25 AM »
ในฐานะเจ้าของกระทู้ ขอสนับสนุนคนที่โพสโจทย์ที่ใช้คณิตศาสตร์ไม่มาก แต่ใช้ความเข้าใจทางฟิสิกส์ลึกซึ้ง อย่างเป็นทางการครับ (แต่ไม่ได้ห้าม)  smitten
Logged
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit
« Reply #603 on: July 31, 2011, 11:42:05 PM »
ข้อ 101
ดวงดาวขนาดใหญ่และหนักดวงหนึ่งซึ่งมีมวล M และรัศมี R วิ่งด้วยความเร็ว \vec{V} ผ่านแก๊สเจือจางที่มีความหนาแน่น \rho ดวงดาวจะดึงดูดอนุภาคของแก๊สรอบๆ และพากลุ่มอนุภาคที่มาชนผิววิ่งติดกันไป จงหาแรงต้านที่กระทำกับดวงดาว โดยประมาณให้ละทิ้ง thermal velocity ของอะตอมได้เมื่อเทียบกับ \left| \vec{V} \right| และแรงอันตรกิริยาระหว่างอะตอมสามารถถูกละทิ้งได้
Logged
ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #604 on: August 04, 2011, 10:36:27 PM »
ข้อ 101 (หนึ่งในข้อโปรดของผม)

เนื่องจากดาวมีมวลมาก แรงโน้มถ่วงจากดาวจึงดึงอนุภาคฝุ่นเข้ามาใกล้ แต่จะมีกลุ่มอนุภาคบางส่วนเท่านั้นที่จะติดไปกับดาว
ในการแก้ปัญหาข้อนี้เราจึงต้องตอบให้ได้ก่อนว่ามีฝุ่นมากแค่ไหนที่ติดไปกับดาว

เพื่อลดความยุ่งเหยิง เราจะพิจารณาระบบในกรอบอ้่างอิงที่เคลื่อนที่ไปด้วยความเรีว \vec{V} กรอบอ้างอิงนี้เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย
เหตุผลหนี่งที่เลือกกรอบนี้เพราะปัญหาจะลดรูปเป็นปัญหาวงโคจรแบบที่เราคุ้นเคย

เนื่องจากเราประมาณว่า thermal velocity มีค่าน้อย ผู้สังเกตในกรอบนี้จะเห็นฝุ่นที่อยู่ไกลมากๆเคลื่อนที่มาด้วยความเร็ว -\vec{V}

ฝุ่นที่จะเคลื่อนที่ไปกับดาวได้ต้องมาเฉียดดาวที่ระยะห่างน้อยสุดน้อยกว่ารัศมีดาว R สมมติให้พื้นที่หน้าตัดของฝุ่นที่มาชนนี้มีรัศมี b
และให้ความเร็วของอนุภาคที่มาเฉียดดาวพอดีมีขนาด v

กฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ( ขออนุญาติใช้ \left| \vec{V} \right| =V):
Vb=vR 

กฎอนุรักษ์พลังงาน:
\displaystyle \frac{1}{2}V^2=\frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{R}


กำจัด v ได้ b^2=\frac{R^2}{V^2}(V^2+2\frac{GM}{R})

เพราะฉะนั้นในเวลา \Delta t จะมีอนุภาคที่จะมาชนดาวเพิ่มเป็นมวล \rho \pi b^2 V \Delta t ท่ายถอดโมเมนตัมสุทธิ \rho \pi b^2 V^2 \Delta t

ในการคิดแรงหากมองชั่วครู่ภาพอาจจะซับซ้อนนิดหน่อย เพราะกลุ่มฝุ่นมวล \rho \pi b^2 V \Delta t นี้ไม่จำเป็นต้องมาชนดาวในเวลาพร้อมกัน
แต่ฝุ่นที่มาชนพร้อมกันนั้นเมื่อสืบต้นกำเนิดไปยังอนันต์แล้วพบว่าเป็นภาพเดียวกันที่ ท่ายถอดโมเมนตัมสุทธิ \rho \pi b^2 V^2 \Delta t

ดังนั้นแรงต้าน \displaystyle F=\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta p}{\Delta t}=-\rho \pi b^2 V^2


เมื่อนำ b^2 มาแทนและคืนรูปเวกเตอร์จะได้ 

\displaystyle \boxed{\vec{F}= -\rho \pi {R^2}\frac{\vec{V}}{\left| \vec{V} \right|}({\left| \vec{V} \right|}^2+2\frac{GM}{R})}

« Last Edit: August 04, 2011, 11:03:23 PM by P o W i i » Logged
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #605 on: August 05, 2011, 01:02:07 AM »
ข้อ 102

ทรงกระบอกสองอันถูกย้ำติดกันให้มีแกนกลางร่วมกันถูกนำไปแขวนบนเพลาที่ยึดไว้ ณ ความสูงระดับหนึ่งเหนือพื้น
ระบบนี้อยู่ในสนามโน้มถ่วง และพื้นเป็นพื้นชนิดที่มีสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์ นั่นคือเมื่อวัตถุชนพื้นแล้วไม่กระดอนกลับขึ้นมา
ให้โมเมนต์ความเฉื่อยรวมของทรงกระบอกทั้งสองเป็น I

จากนั้นผูกมวล m_{1} ไว้กับทรงกระบอกอันใหญ่รัศมี R_{1} ให้อยู่ฝั่งซ้าย
และมวล มวล m_{2} ไว้กับทรงกระบอกอันเล็กรัศมี R_{2} ให้อยู่ฝั่งขวา

โดยการผูกนั้นทำให้เมื่อเชือกฝั่งซ้ายตึงพอดี เชือกฝั่งขวาจะหย่อนกว่าอยู่นิดหน่อย
ให้เชือกเป็นเชือกชนิดที่มีสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์เช่นเดียวกับพื้น และแรงที่เชือกกระตุกเป็นแรงดล

จากนั้นหมุนทรงกระบอกตามเข็มนาฬิกาจน m_{1} ยกไปเป็นระยะ h_{1} จากพื้นแล้วปล่อย

จงหาความสูงมากสุดที่ m_{2} ยกขึ้นครั้งแรก
« Last Edit: August 08, 2011, 12:00:55 AM by P o W i i » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #606 on: August 05, 2011, 10:38:58 PM »
Quote from: P o W i i on August 05, 2011, 01:02:07 AM
ข้อ 102

............

จงหาความสูงมากสุดที่ m_{2} ยกขึ้นครั้งแรก


พี่โพครับคำว่าความสูงที่ m_2 ยกขึ้นครั้งแรก นี่คือยังไงครับ งง idiot2
« Last Edit: August 05, 2011, 10:43:23 PM by dy » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #607 on: August 05, 2011, 11:23:45 PM »
Quote from: dy on August 05, 2011, 10:38:58 PM
Quote from: P o W i i on August 05, 2011, 01:02:07 AM
ข้อ 102

............

จงหาความสูงมากสุดที่ m_{2} ยกขึ้นครั้งแรก


พี่โพครับคำว่าความสูงที่ m_2 ยกขึ้นครั้งแรก นี่คือยังไงครับ งง idiot2

หมายความว่า m_2 ถูกยกขึ้นได้หลายครั้งครับ

ตอนแรกกะจะให้หาจำนวนรอบที่ m_1 ถูกยกขึ้นไปต่ำกว่า h_{1}/2 เป็นครั้งแรก แต่มันถึกเกินไปหน่อยโดยที่ไม่ได้ใช้ฟิสิกส์เพิ่มเท่าไหร่
Logged
P o W i i
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 174
« Reply #608 on: August 07, 2011, 11:52:03 PM »
ขอเพิ่มโจทย์นิดหน่อยตรงที่ "ให้เชือกเป็นเชือกชนิดที่มีสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์เช่นเดียวกับพื้น และแรงที่เชือกกระตุกเป็นแรงดล" นะครับ
สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นเป็นศูนย์ แปลว่าความเร็วสัมพัทธ์ (เช่นระหว่างมวลกับเชือก) หลังกระตุกเป็นศูนย์ครับ

หากมีข้อสงสัยอะไรถามได้ครับ
« Last Edit: August 08, 2011, 12:01:52 AM by P o W i i » Logged
B.J.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 212
« Reply #609 on: August 16, 2011, 11:37:27 PM »
จากกฎ อนุรักษ์ พลังงาน
ตอนที่ มวล m_{1} กระแทกพื้น  ความเร็วของมัน จะเท่ากับความเร็วที่เพลา รัศมี R_{1} หมุน  ได้ v = \omega R_{1} ซึ่งในตอนแรก ทั้ง ความเร็วของ m_{1} กับ \omega เป็น ศูนย์ แต่จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจาก พลังงานศักย์โน้มถ่วงเปลี่ยนไปเป็นพลังงานทั้งสองนี้
mgh_{1} = \dfrac{1}{2}m_{1}(\omega R_{1})^{2} + \dfrac{1}{2}I\omega ^{2}
แก้สมการได้ \omega = \sqrt{\dfrac{2m_{1}gh_{1}}{I + m_{1}R_{1}^{2}}}

ตอนก่อนกระตุก กับหลังกระตุก ใช้ หลักการคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม
I\omega = m_{2}v_{2}R_{2} + I\omega_{2}
ตอนเพิ่งกระตุกเสร็จ กับตอนที่ m_{2} ขึ้นไปสูงสุด ใช้กฎอนุรักษ์พลังงาน
\dfrac{1}{2}I\omega_{2}^{2} + \dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} = m_{2}gh_{2}
ความเร็วของ m_{2}  หลังกระตุก (v_{2})เท่ากับ  ความเร็วรอกที่หมุนในขณะนั้น ซึ่งเท่ากับ  \omega_{2}R_{2}

แก้สมการทั้งสามข้างต้นจะได้ h_{2}=\dfrac{m_{1}h_{1}I^{2}}{m_2(I + m_{1}R_{1}^{2})(I + m_{2}R_{2}^{2})}
« Last Edit: September 03, 2011, 09:57:53 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
B.J.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 212
« Reply #610 on: August 17, 2011, 12:30:20 AM »
ข้อ 103
มีมวล m อยู่บน กรวย มีมุมครึ่งยอดกรวย \alpha  ที่กำลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega  โดยวัดความสุงในแนวดิ่งจากพื้นได้ h
สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน ระหว่าง วัตถุกับ ผิวกรวย มีค่า \mu _{s}  จงหาอัตราส่วนระหว่าง  \dfrac{T_{max}}{T_{min}} เมื่อ T คาบในการแกว่งของกรวย
 โดยที่ ระหว่างการแกว่งของกรวยนั้น มวล m อยู่นิ่ง
Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #611 on: August 17, 2011, 11:33:10 PM »
Quote from: B.J. on August 17, 2011, 12:30:20 AM
ข้อ 103
มีมวล m อยู่บน กรวย มีมุมครึ่งยอดกรวย \alpha  ที่กำลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega  โดยวัดความสุงในแนวดิ่งจากพื้นได้ h
สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน ระหว่าง วัตถุกับ ผิวกรวย มีค่า \mu _{s}  จงหาอัตราส่วนระหว่าง  \dfrac{T_{max}}{T_{min}} เมื่อ T คาบในการแกว่งของกรวย
 โดยที่ ระหว่างการแกว่งของกรวยนั้น มวล m อยู่นิ่ง

พอกรวยหมุน จะมีแรงเสียดทานมากระทำกับวัตถุ โดยถ้าวัตถุหมุนเร็วเกินไปนี่ มันจะถูกเหวี่ยงออกไป ขณะเดียวกับถ้าหมุนช้าเกิน มันก็จะตกไถลลงไป แสดงว่าค่าที่เราจะหาขึ้นกับ \omega

ถ้าหมุนเร็ว วัตถุจะพยายามไถลขึ้น แรงเสียดทานมีทิศลง ตามแนวผิวกรวย

จากกฎข้อ 2 ของนิวตัน   \Sigma \vec{F} &=& m \vec{a}

N (\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha ) &=& m \omega^2 h \tan \alpha แนวเข้าสู่ศูนย์กลาง

ในแนวดิ่ง  N (\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha ) &=& mg

ผสมสองสมการด้วยกันเราจะได้ \omega &=& \sqrt { \dfrac{g(\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha) }{(\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha )h \tan \alpha}

คาบในกรณีนี้คือคาบน้อยสุด T_{min} &=& \dfrac{2 \pi}{ \omega} &=& 2\pi \sqrt { \dfrac{(\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha )h \tan \alpha}{g(\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha) }}

ถ้าหมุนช้าไป วัตถุพยายามไถลลง  แรงเสียดทานมีทิศขึ้นตามแนวผิวกรวย ทำแบบเดิมแต่เปลี่ยนทิศของแรงเสียดทานได้ว่า

คาบ T_{max} &=& 2\pi \sqrt { \dfrac{(\sin \alpha + \mu_s \cos \alpha )h \tan \alpha}{g(\cos \alpha - \mu_s \sin \alpha) }}

\dfrac{T_{max} }{T_{min} } &=& \sqrt{ \dfrac{ (\sin \alpha + \mu_s \cos \alpha )(\cos \alpha + \mu_s \sin \alpha)}{(\cos \alpha - \mu_s \sin \alpha) (\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha )}} &=& \sqrt \dfrac{ (\mu_s ^2 + 1) \sin 2\alpha + 2\mu_s}{(\mu_s ^2 + 1) \sin 2\alpha - 2\mu_s}}
Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #612 on: August 18, 2011, 07:01:06 PM »
สำหรับโจทย์ข้อ 104 ขอเวลาคิดสักพักนะครับ  smitten
« Last Edit: August 18, 2011, 10:50:04 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #613 on: August 19, 2011, 11:10:02 PM »
ข้อ 104 มาเป็นรูปภาพนะครับ ชื่อ "ระบบหลายอนุภาคในแบบต่างๆ"  Grin
« Last Edit: October 01, 2011, 08:59:14 PM by dy » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #614 on: August 20, 2011, 11:29:04 PM »
แต่งเองหมดเลยใช่ไหมนี่!!! Shocked จินตนาการล้ำเลิศ  buck2
Logged
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: