Problems Solving Marathon : Mechanics

Tung

neutrino

Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #60 on: April 24, 2006, 10:37:19 PM »

ข้อ 12 แยกช่วงคิดคือ 1.ขาขึ้น 2.ขาลง สมมติให้ระยะทางที่ยิงไปถึงจุดสูงสุดสูง $\displaystyle{h}$
1. ขาขึ้น ตั้งสมการแรงได้เป็น

$\begin{array}{rcl}\displaystyle{-mg-kv^2} & = & \displaystyle{m \dfrac{dv}{dt}} \\ \displaystyle{ & = & m \dfrac{dv}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dt}} \\ \displaystyle{ & = & mv \dfrac{dv}{dy}} \\ \end{array}$

เมื่อจัดรูปแล้วจะได้เป็น

$\begin{array}{rcl}\displaystyle{-\frac{dy}{m} & = & \displaystyle{\frac{1}{2k} \cdot \frac{d(mg+kv^2)}{(mg+kv^2)}} \\ \displaystyle{\int \limits_0^h -\frac{dy}{m} & = & \displaystyle{\frac{1}{2k} \int \limits_{v=u}^{v=0} \frac{d(mg+kv^2)}{(mg+kv^2)}} \\ \displaystyle{- \frac{h}{m} & = & \displaystyle{\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{mg}{mg+ku^2}\right)} \\ h & = & \displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg}{mg+ku^2}\right)}\end{array}$

2. ขาลง ตั้งสมการแรงได้เป็น $\displaystyle{mg-kv^2 = m \frac{dv}{dt}}$ จัดรูปตามแบบช่วงแรกจะได้

$\begin{array}{rcl}\displaystyle{\frac{dy}{m} & = & \displaystyle{-\frac{1}{2k} \cdot \frac{d(mg-kv^2)}{(mg-kv^2)}} \\ \displaystyle{\int \limits_0^h \frac{dy}{m} & = & \displaystyle{-\frac{1}{2k} \int \limits_{v=0}^{v=w} \frac{d(mg-kv^2)}{(mg-kv^2)}} \\ \displaystyle{\frac{h}{m} & = & \displaystyle{-\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{mg-kw^2}{mg}\right)} \\ h & = & \displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg-kw^2}{mg}\right)}\end{array}$

จับ $\displaystyle{h}$ ในช่วงขาขึ้น $\displaystyle{=}$ ช่วงขาลง

$\begin{array}{rcl}\displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg}{mg+ku^2}\right)} & = & \displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg-kw^2}{mg}\right)} \\ \displaystyle{\frac{mg}{mg+ku^2}} & = & \displaystyle{\frac{mg-kw^2}{mg}} \\ \displaystyle{(mg)^2 & = & (mg)^2 -mgkw^2+mgku^2-(kuw)^2 \\ \displaystyle{\frac{1}{w^2} & = & \dfrac{1}{u^2}+\dfrac{k}{mg}} \\ & \spadesuit & \end{array}$

$\mathfrak{By Tung}$

ปล.ย่อรูปยังไงครับ รูปใหญ่มาก Embarrassed


« Last Edit: July 26, 2007, 02:54:53 AM by เกียรติศักดิ์ »	Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา

Tung

neutrino

Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #61 on: April 24, 2006, 11:18:32 PM »

ข้อ 13 หาระยะกด มวล $\displaystyle{m_1}$ และ $\displaystyle{m_2}$ ติดอยู่ที่แต่ละข้างของสปริง ที่มีค่านิจ $\displaystyle{k}$ วางอยู่ดังรูป ถ้าเรากดมวล $\displaystyle{m_1}$ ไปเป็นระยะ $\displaystyle{x}$ จงหาค่า $\displaystyle{x}$ ที่น้อยที่สุด ที่ทำให้มวลทั้ง 2 ก้อนลอยจากพื้น


« Last Edit: July 26, 2007, 02:56:00 AM by เกียรติศักดิ์ »	Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา

Mwitish

neutrino

Offline

Posts: 142

When the solution is simple, God is answering.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #62 on: April 24, 2006, 11:48:01 PM »

Quote from: Tung on April 24, 2006, 11:18:32 PM

เงื่อนไขที่สปริงจะฉุดมวล $\displaystyle{m_2}$
ขึ้นจากพื้นได้
$\displaystyle{ky=m_2g}$
$\displaystyle{\therefore y=\frac{m_2g}{k}}$ .......................สมการที่ 1
(กำหนดให้ $\displaystyle{y}$ เป็นระยะยืดของสปริงที่น้อยสุดทีสามารถฉุด $\displaystyle{m_2}$ ขึ้นได้)

ให้ตอนแรกสปริงหดลงไป $\displaystyle{l}$ ซึ่งระยะหดนี้ส่วนหนึ่งเกิดจากการกดของเราอีกส่วนเกิดจากน้ำหนัก $\displaystyle{m_1}$ กดทับ
กฎการอนุรักษ์พลังงานบ่งว่า
$\displaystyle{\frac{1}{2}kl^2=m_1g(y+l)+\frac{1}{2}ky^2+\frac{1}{2}mv^2}$
เมื่อขึ้นจากพื้นพอดี $\displaystyle{v=0}$
นำสมการที่ 1 มาแทนลงไป จะได้
$\displaystyle{\frac{1}{2}kl^2=m_1g(\frac{m_2g}{k}+l)+\frac{1}{2}k(\frac{m_2g}{k})^2}$
$\displaystyle{kl^2=\frac{2m_1m_2g^2}{k}+2m_1gl+\frac{(m_2g)^2}{k}}$
$\displaystyle{kl^2-2m_1gl-\frac{2m_1m_2g^2}{k}-\frac{(m_2g)^2}{k}=0}$
$\displaystyle{kl^2-2m_1gl-\frac{m_2(2m_1+m_2)g^2}{k}=0}$ ....................... สมการที่ 2

ขณะนี้สมการอยู่ในรูป $\displaystyle{ax^2+bx+c=0}$
จากความรู้พื้นฐานเราทราบว่าคำตอบของสมการเป็น $\displaystyle{x={\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}$

ดังนั้นคำตอบของสมการที่ 2 คือ
$\displaystyle{l={\frac{-(-2m_1g)\pm\sqrt{(-2m_1g)^2-4(k)(-\frac{m_2(2m_1+m_2)g^2}{k})}}{2k}}}$

นึกถึงความเป็นจริงในที่นี้ $\displaystyle{l\in R^+}$

$\displaystyle{\therefore l={\frac{-(-2m_1g)+\sqrt{(-2m_1g)^2-4(k)(-\frac{m_2(2m_1+m_2)g^2}{k})}}{2k}}}$
จัดรูปอีกที
$\displaystyle{l={\frac{2m_1g+\sqrt{4{m_1}^2g^2+4{m_2(2m_1+m_2)g^2})}}{2k}}}$
$\displaystyle{l={\frac{2m_1g+\sqrt{4g^2({m_1}^2+(2m_1m_2+{m_2}^2))}}{2k}}}$
$\displaystyle{l={\frac{2m_1g+\sqrt{4g^2({m_1+m_2})^2)}}{2k}}}$
$\displaystyle{l={\frac{2m_1g+2g({m_1+m_2})}}{2k}}}$
$\displaystyle{\therefore l={\frac{2m_1g+m_2g}{k}}}$

นี่คือระยะที่สปริงหดจากความยาวธรรมชาติก่อนจะกระเด้งขึ้น

ถ้าจะหาระยะที่กดเพิ่ม

ในตอนแรกสปริงกดอยู่แล้ว $\displaystyle{\therefore l_0={\frac{m_1g}{k}}}$
ดังนั้นต้องกดเพิ่ม
$\displaystyle{x=l-l_0=\frac{m_1g+m_2g}{k}}$


« Last Edit: March 14, 2010, 02:55:10 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Mwitish

neutrino

Offline

Posts: 142

When the solution is simple, God is answering.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #63 on: April 25, 2006, 01:09:28 AM »

ลองเป็นโจทย์เกี่ยวกะสปริงอีกสักข้อละกัน Roll Eyes

ข้อ 14 สปริงมีมวล (ที่มา: สสวท.ค่ายตุลา'48) สปริงมวล $\displaystyle{m}$ ค่านิจ $\displaystyle{k}$ เอามาแขวนในแนวดิ่งที่หัวนอน มันจะยืดออกเท่าไร ให้ความเร่งอันเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก $\displaystyle{=g}$

(เป็นโจทย์ที่อ.วิจิตรทิ้งไว้ให้คิด)


« Last Edit: March 14, 2010, 02:55:38 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #64 on: April 25, 2006, 12:40:53 PM »

ข้อ 14

คนที่อ่านตอนกลางวันขอโทษทีนะครับ ตอนนั้นเมาๆ ขอแก้เป็นอย่างนี้แล้วกันครับ
เราสร้าง model บอกว่า ความเร็วของมวลก้อนเล็กๆในสปริง แปรผันตรงกับระยะห่าง ทำให้เราสามารถบอกได้ว่า พลังงานของระบบมีค่าเป็น

$E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2+\displaystyle{\frac{1}{2}}\int \rho c^2 x^2dx-\int \rho(x+\delta x)gdx$

โดยอินทเกรตตั้งแต่0 ถึง $L+\delta x$
ส่วนพจน์ของพลังงานศักย์ เราคิดเป็นมวลส่วนเล็กๆ dx แต่ละตัวอยู่ที่ระยะ x ขณะนั้นสปริงยืดไปเป็น $L+\delta x$
จากนั้นในกรณีที่วัตถุอยู่ที่จุดสมดุล เราจะบอกว่า ความเร็วของวัตถุเป็น 0 จากนั้นเราจะได้ว่า

$E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2-\int \rho(x+\delta x)gdx$

โดยอินทเกรตตั้งแต่ 0 ถึง $L+\delta x$ จากนั้นอินทิเกรตตัวที่ติดอยู่ให้เรียบร้อยจะได้

$E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2-\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho g (L+\delta x)^2$
$E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2-\displaystyle{\frac{1}{2}}mg (L+\delta x)$

ดิฟเฟอเรนทิเอท สมการนี้เทียบ $\delta x$ จะได้

$0=k\delta x-\displaystyle{\frac{1}{2}}mg$
$\delta x =mg/2k$

ผมก็ยังไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับ (มันดูง่ายไปนิดหนึ่งอะ เหมือนจะคุ้นๆว่ามันจะไม่ตอบแค่นี้) ใครเห็นที่ผิดช่วยติดต่อทาง personal message นะครับ

$\mathfrak{By\;G}$


« Last Edit: March 14, 2010, 02:57:39 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #65 on: April 25, 2006, 01:34:34 PM »

ข้อใหม่ค้าบ
ข้อ15) ถ้ามีวัตถุทรงกลม จำนวน 2 ก้อน ก้อนใหญ่สุดอยู่กับพื้น มีมวล $m_1$ รัศมี $R_1$ ก้อนที่ 2 มีมวล $m_2$ รัศมี $R_2$ ถ้าเรายกจุดศูนย์กลางมวลของมวลก้อแรกขึ้นจากพื้นเป็นระยะ $h$ ถ้าหากวัตถุก้อนที่สองจะเด้งไปสูงเท่าไหร่(เทียบกับความสูงเดิม)

ถ้าหากทำได้แล้ว เราบอกว่า ถ้ามีวัตถุ $n$ ก้อน ก้อนที่ $n$ มีมวล $\displaystyle{\frac{m}{2^{n-1}}}$ มีรัศมี $\displaystyle{\frac{R}{2^{n-1}}}$ ถามว่าวัตถุก้อนที่ $n$ จะเด้งไปได้สูงเท่าไหร่

แนะนำ การชนทุกครั้งเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์


« Last Edit: March 14, 2010, 03:00:13 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #66 on: April 26, 2006, 03:21:52 PM »

คือ มีคนทักมาว่าโจทย์ยากมาก
แล้วผมก็เห็นว่ามีคนมาทำแค่5-6 คนเอง
มีความคิดอะไรดีๆที่จะให้คนมาทำกันเพิ่มรึเปล่าครับ


	Logged

toaster

neutrino

Offline

Posts: 466

ในเมื่อใจคิดว่าทำไม่ได้ แล้วมันจะทำได้ได้ยังไง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #67 on: April 26, 2006, 05:31:40 PM »

-----

ขอโทษด้วยครับ ผมทำข้อนี้ไม่สำเร็จครับ ขอความกรุณาผู้ที่ทำได้ช่วยเฉลยให้ทีครับ ขอโทษครับ icon adore

-----
.
.
.

ข้อ15ครับ(ไม่แน่ใจมากๆครับ) Cry

1) 2ก้อนชนกัน

เมื่อปล่อยทั้ง2ก้อน ที่ความสูงของ $m_1 = h$
ขณะที่ $m_1$ ถึงพื้นพอดีทั้งคู่จะมีความเร็ว $\sqrt {2g(h - r_1 )}$ ในทิศลง และในตอนนั้นนั่นเอง...
ขณะนั้นได้เกิดเหตุการณ์สำคัญขึ้นพร้อมกันคือ
- $m_1$ ชนพื้น และจากการอนุรักษ์พลังงานมันจึงต้องกระเด้งขึ้นมาด้วยความเร็วเท่าเดิม $\sqrt {2g(h - r_1 )}$ แต่เป็นทิศขึ้น
-และก็ตอนที่เก่าเวลาเดิมแหละ $m_1$ ชน $m_2$ เพราะมันมีความเร็วไม่เท่ากันแต่ดันอยู่ติดกัน
คำนวนความเร็วของ $m_2$ จากการอนุรักษณ์พลังงานและโมเมนตัม
ได้ว่า $v_2 = \frac{{2u_1 m_1 - u_2 (m_1 + m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}$ ........1
และแทนค่า
$u_2$ คืออัตราเร็วหลังชนพื้นของ $m_1$
$u_1$ คืออัตราเร็วจากการตกอย่างเสรีของ $m_2$
โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

ได้ว่า $v_2 = \frac{{2\sqrt {2g(h - r_1 )} m_1 + \sqrt {2g(h - r_1 )} (m_1 + m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}$
$v_2 = \frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 + m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}$
ซึ่งน่าจะผิดเพราะไม่ตรงกับของเดิมที่ผมทำไว้และเมื่อแทนมวลทั้งคู่เท่ากันมันดันเด้งขึ้นแรงมากไปหน่อย ดังนั้นกลับไปเช็คหาที่ผิดทำให้ได้ว่า.........1 ผิด
เอาใหม่ $v_2 = \frac{{2u_1 m_1 - u_2 (m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}$
ได้เป็น $v_2 = \frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}$
จากนั้นนำ $v_2 = \frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}$
ไปแทนใน $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y$ ว่าตำแหน่งสูงสุด v เป็น0
ได้ว่า $2g\Delta y=(\frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }})^2$
การกระจัดจากตำแหน่งที่ชน(ซึ้งเป็นตำแหน่งเดียวกับตอนแรกที่เราตั้งมันทิ้งไว้และเป็นตำแหน่งที่โจทย์ให้ใช้อ้างอิงตอนตอบ)
$\Delta y=(h - r_1 )(\frac{{ 3m_1 - m_2 }}{{m_1 + m_2 }})^2$

ตอบวัตถุก้อน2จะเคลื่อนที่ขึ้นไปได้สูง $=(h - r_1 )(\frac{{ 3m_1 - m_2 }}{{m_1 + m_2 }})^2$
ปล.1ส่วนมวลหลายอันเดี๋ยวจะมาทำครับ(ถ้าทำได้)
ปล.2ถามข้อสปริงด้านบนนิดหนึ่งครับ เรามามารถใช้ความสัมพันธ์ $\frac{k}{{\delta k}} = \frac{{dl}}{l}$ ได้ไหมครับ


« Last Edit: March 14, 2010, 03:02:07 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ระหว่างสิ่งที่เรารัก กับคนที่เรารัก เราควรเลือกสิ่งใดกัน
แต่ถ้าคนที่เรารัก ไม่รักเรา แล้วเราจะมีทางให้เลือกไหม

toaster

neutrino

Offline

Posts: 466

ในเมื่อใจคิดว่าทำไม่ได้ แล้วมันจะทำได้ได้ยังไง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #68 on: April 26, 2006, 05:50:11 PM »

ข้อ16(ขอเอาแบบง่ายๆสักข้อเถอะครับ)
นายสมpopนั่งหลับอยู่ท้ายเรือของเขาและปล่อยให้เรือเล่นไปกลางทะเล
สุดท้ายเรือแล่นไปชนภูเขาน้ำแข็งทำให้เครื่องดับและสมpopตื่นขึ้นมา
เมื่อตื่นขึ้นมาเค้าก็เห็นบนภูเขาน้ำแข็งมีคางคกSurinam จึงเดินเข้าไปดู
ถามว่าสมpopจะอยู่ใกล้ชิดคางคก Surinam ได้มากสุดเท่าใด
ให้สมpopมีมวล $m_p_o_p$
เรือมีมวล $m_b_o_a_t$
เรือยาว $L$

ปล.ข้อนี้กวนนิดหนึ่งครับ


« Last Edit: March 14, 2010, 03:03:40 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #69 on: April 26, 2006, 06:28:49 PM »

ข้อ16)
ก็ใช้โมเมนตัมทำมะด๊าทำมะดา
เราบอกว่า คนเดินไปได้ระยะทาง x และเดินด้วยความเร็ว $v_x$ ส่วนเรือถอยหลังเป็นระยะทาง X ด้วยความเร็ว $v_X$
และเราบอกว่า ถ้าน้ำในกรณีนี้ ไม่มีแรงหนืดของน้ำ เราจะได้ว่าโมเมนตัมของระบบคงที่

$m_{pop}v_x=m_{boat}v_X$

คิดความเร็วสัมพัทธ์จะได้ว่า

$(v_x+v_X)\delta t=L$

และปลายริมสุดเรือจะถอยไปเป็นระยะ

$\delta x =v_X\delta t$

เราจะได้ว่า
$(\displaystyle{\frac{v_x}{v_X}+1)v_X\delta t=L$
$(\displaystyle{\frac{m_{boat}}{m_{pop}}}+1)\delta x=L$
$\delta x =\displaystyle{\frac{Lm_{pop}}{m_{boat}+m_{pop}}}$
ซึ่ง $\delta x$ เป็นระยะที่ใกล้ที่สุดที่คนจะเข้าไปใกล้คางคกได้

ป.ล.เวลาจะทำต่อกดที่ปุ่ม modify นะครับ toaster


« Last Edit: December 28, 2006, 09:46:58 PM by G »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #70 on: April 26, 2006, 06:40:47 PM »

ข้อ17)
ข้อใหม่นะครับ มีทรงกระบอกกลวงผนังบาง รัศมี $a$ มีความสูง $h$ ภายในใส่น้ำ จนเต็มถึงความสูง $\displaystyle{\frac{2}{3}h}$ ถ้าหาก หมุนรอบแกนจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เป็นฐาน ด้วยความเร็วเชิงมุม $\omega_1$ และหมุนอีกครั้งโดยหมุนรอบแกนที่ปักอยู่ที่ขอบของทรงกระบอกด้วยความเร็วเชิงมุม $\omega_2$
จงหาว่า อัตราส่วนระหว่าง $\omega_1$ และ $\omega_2$ ที่มากที่สุดที่น้ำจะไม่กระจอกออกจากทรงกระบอก

มีคนเข้าใจผิดว่าผมหมายถึงหมุนทั้งสองแกนพร้อมๆกัน ถ้ามีคนเข้าใจอย่างนี้ก็ขอโทษด้วยครับ หมุนครั้งแรกด้วยความเร็วเชิงมุม
$\omega_1$ และหมุนอีกครั้งรอบแกนที่อยู่บนขอบของทรงกระบอก ด้วยความเร็วเชิงมุม $\omega_2$
อีกครั้งหนึ่ง แล้วให้หาอัตราส่วน


« Last Edit: March 14, 2010, 03:03:09 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #71 on: April 28, 2006, 11:43:18 PM »

ท่านเจ้าของกระทู้ตกลงจะเอาไง
ให้ยืดเวลา อีกซักวันไหม หรือถ้าไม่งั้นพรุ่งนี้เข้าผมจะมาลงวิธ๊ทำทั้ง 3 แบบ ทั้งอยู่นิ่ง
หมุนรอบแกนที่ขอบ แล้วก้อหมุนทั้ง 2 แกนแบบที่เค้าเข้าใจกันเลย

งั้นถ้าไม่มีใครมาตอบก่อน พรุ่งนี้ตอน เช้า ผมจะโพสหมดทั้ง 3 แบบ แล้วจะเอาข้อใหม่มาลงด้วยแล้วกันครับ

ป.ล.แก้คณิตศาสตร์ถึกมากเลยขอบอก redfaced


	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #72 on: April 29, 2006, 08:53:43 PM »

ขอโทษที่เอามาลงช้าครับ
เริ่มต้นโดยที่บอกว่า จารูป 1 เราจะได้ว่า $\displaystyle{\frac{d}{dx}}y=\displaystyle{\frac{\omega^2}{g}}x$ จะได้ $y=\displaystyle{\frac{\omega^2}{2g}}x^2$
ถ้าหากน้ำไม่กระฉอกออกมาจากอ่าง เราจะได้ว่า ปริมาตรของน้ำในอ่างมีค่าคงที่ และสมมติว่า จุดศูนย์กลางของพาราโบลา อยู่สูงจากก้นอ่าง $h-y$ โดยที่ $y$ เป็นควาสูงทั้งหมดของพาราโบลา จะทำให้เราได้ว่า

$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi a^2h=\pi a^2(h-y)+\int 2\pi xydx$

ขอแก้คณิตศาสตร์เร็วๆจะเลย จะได้ว่า

$\displaystyle{\frac{\pi \omega_1^2a^4}{4g}}=\displaystyle{\frac{1}{3}}\pi a^2h$
$\omega_1=\displaystyle{\frac{2}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{gh}{3}}$

สำหรับในกรณีที่เป็นการหมุนรอบแกนกลาง เราดูรูปที่ 2 จะได้ว่า
$r=2R_i cos\theta$ โดยที่ $R_i$ เป็นรัศมีของวงกลมแต่ละวงที่ซ้อนๆกันอยู่ดังรูป
และใช้หลักการเดียวกันได้ว่า

$\displaystyle{\frac{\pi \omega_1^2a^4}{4g}=\pi a^2(h-\displaystyle{\frac{2\omega^2a^4}{g}})+\int\int yrd\theta dr$

โดยที่ $r$ เป็น position vector ที่ชี้จากจุดหมุนจะทำให้เราได้ว่า

$\displaystyle{\frac{\pi \omega_1^2a^4}{4g}=\pia^2h-\displaystyle{\frac{2\pi\omega^2a^4}{g}}+\displaystyle{\frac{\omega^2a^4}{g}}\int cos^4\theta d\theta$

และเรารู้ว่า

$cos^4\theta=\displaystyle{\frac{1}{8}}(3+4cos2\theta+cos4\theta)$

แทนค่าลงไปจะได้

$\displaystyle{\frac{1}{3}}\pi a^2h=(2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi)\displaystyle{\frac{\omega_2^2 a^4}{g}}$

จะได้

$\omega_2=\displaystyle{\frac{1}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi gh}{3(2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi)}}}$

สำหรับอัตราส่วน ระหว่าง $\omega_2$ ต่อ $\omega_1$ จะได้ว่าเปน

$\displaystyle{\frac{\omega_2}{\omega_1}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{1}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi gh}{3(2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi)}}}}{\displaystyle{\frac{2}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{gh}{3}}}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi}{2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi}}}$

สำหรับใครที่อยากจะทำ แบบหมุนพร้อมกันสองอันนะครับ ผมกำหนดโอเมก้า 1 มาให้ แล้วใช้หลักการซ้อนทับเอานะครับ ลองคิดที่จุดใดๆ ว่าถ้าหมุนรอบตัวเองจะขึ้นไปสูงเท่าไหร่ และถ้าหมุนรอบแกนขอบ จะขึ้นไปสูงเท่าไหร่ ใช้หลักการเดียวกันครับ แต่คณิตศาสตร์จะยากมาก

$\mathfrak{By\;G}$


« Last Edit: March 14, 2010, 03:06:06 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #73 on: April 29, 2006, 09:51:20 PM »

ข้อ18) จาก 200 Puzzling Physics Problem
พอดีหนังสือผมตอนนี้อยู่ที่ร้านเมตตาหน่ะครับเลยไม่ได้พิมโจดภาษาอังกิดมาให้

ตั้กแตนขี้เกียจตัวหนึ่ง ต้องการโดดข้ามท่อนซุงรัศมี R ที่อยู่บนพื้นท่อนซุงไม่มีการกลิ้งไม่มีการจมวางไว้เฉยๆ ส่วนตั๊กแตนก้อตัวเล็กแสนเล็ก จนคิดเหมือนเป็นจุดอนุภาคได้ อืมๆ ทีนี้ ก็ให้เราหาความเร็วเค้าเรียกว่า take off velocity ที่น้อยที่สุดในการโดดข้ามท่อนซุงนี้ครับ

ถ้าใครไม่เข้าใจโจทย์รีบๆบอกผมนะครับ เดี๋ยวจะมีผิดพลาดแบบข้อที่แล้วอีก

แนะนำอาจจะเป็นรูปไหนซักรูปตามรูปข้างล่างนี้


« Last Edit: December 28, 2006, 08:05:24 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #74 on: May 01, 2006, 10:16:33 AM »

ผมคงได้แต่หวังว่าจะมีคนมาทำกันนะครับ Sad


	Logged

Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 » Go Up

« previous next »

คุณสมบัติของเด็กดี