ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41243 Posts in 6175 Topics- by 8102 Members - Latest Member: hades
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Down
Print
Author Topic: Problems Solving Marathon : Mechanics  (Read 454671 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Stalker
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 253


Physics with Love.


« Reply #540 on: April 27, 2010, 02:34:58 PM »

...
ตอนที่มาชน โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดที่ชนคงที่
ได้ M^\prime v_2(R-b) + I \omega = M^\prime v_3 R
...
เมื่อชนแล้ว ใช้อนุรักษ์พลังงาน
\dfrac{1}{2} M^\prime v_3^2 = M^\prime gb + \dfrac{1}{2}M^\prime v_4^2
ถ้าเกือบจะพ้นพอดี  v_4 = 0
นั่นคือ v_3 = \sqrt{2gb}
...
ข้อ93 ตอนอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมต้องแบบนี้หรือเปล่า  uglystupid2 
M^\prime v_2(R-b)+I\omega=I_0\omega^\prime
เมื่อ  I_0 คือโมเมนความเฉื่อยของหินทรงกลมรอบจุดที่ชน  \omega^\prime คือความเร็วเชิงมุมที่ทรงกลมเหวี่ยงตัวขึ้นไปรอบจุดชน แล้วทีนี้จะขึ้นไปได้ก็แสดงว่า พลังงานจลน์อย่างน้อยตอนแรกที่เริ่มเหวี่ยงตัวขึ้นไป มีค่าเท่ากับพลังงานศักย์ที่ตำแหน่งเนินซึ่งสูง b
\dfrac{1}{2}I_0\omega^\prime=M^\prime gb
แล้วก็ไล่แก้ขึ้นไปเรื่อยๆเหมือนเดิม  laugh  laugh
 
ขอบคุณครับ จริงๆมีคนเตือนแล้วล่ะ แต่ผมไม่ได้แก้  embarassed ตอนนี้แก้แล้ว
Logged

Everything should be made as simple as possible, but not simpler.
WeeBk
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 145


« Reply #541 on: October 07, 2010, 08:12:15 AM »

กระทู้มันตายแล้ว T^T  Cry น่าเศร้า
Logged
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #542 on: October 29, 2010, 09:07:26 PM »

เฉลย ข้อ 94
จากรูป ได้ว่า  x = L_{1}\sin\theta + L_{2}\cos\phi ---------------------------------------(*)

และจาก  L_{1}\cos\theta = L_{2}\sin\phi  จะได้ว่า

 \cos \phi = \sqrt{1-\left( \dfrac{L_{1}}{L_{2}}\cos\theta \right) ^{2}}

ยัดกลับไปใน (*)  เราได้ว่า

 x= L_{1}\sin\theta + \sqrt{L_{2}^{2} - L_{1}^{2}\cos^{2}\theta} -----------------------------------(**)

เราหาอนุพันธ์ของ (**) โดยตระหนักว่า  \theta = \omega t  ได้

 \dot{x}(\theta) = \omega\cos\theta \left[ L_{1} + \dfrac{L_{1}^{2}\sin\theta}{\sqrt{L_{2}^{2}-l_{1}^{2}\cos^{2}\theta}} \right]
และได้
 \ddot{x}(\theta) = \omega^{2} \left[\dfrac{L_{1}^{2}\cos^{2}\theta}{\sqrt{L_{2}^{2}-L_{1}^{2}\cos^{2}\theta}}\left\{ \dfrac{L_{2}^{2}-L_{1}^{2}}{L_{2}^{2}-L_{1}^{2}\cos^{2}\theta} \right\} -\sin\theta \left\{ L_{1} + \dfrac{L_{1}^{2}\sin\theta}{\sqrt{L_{2}^{2}-L_{1}^{2}\cos^{2}\theta}} \right\}   \right]

จากรูป  L_{1} = \sqrt{8} inches  และ  L_{2} = \sqrt{40} inches ที่  \theta = 45^\circ  และ  \omega = \dfrac{20\pi}{3}   s^{-1} จะได้

 \dot{x}(45^\circ) = 55.851   inches/s
 \ddot{x}(45^\circ) = -909.791   inches/s^{2}  --------------------------------------------------- ANS
« Last Edit: October 29, 2010, 09:09:19 PM by nklohit » Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #543 on: October 29, 2010, 09:24:02 PM »

ข้อ 95
อนุภาคซึ่งถูกบังคับให้เคลื่อนที่บนผิวภายในของทรงกลมรัศมี  R ได้ถูกทำให้เคลื่อนที่ในแนวระดับจากจุดที่อยู่ระดับเดียวกับจุดศูนย์กลางโดยมีความเร็วเชิงมุมเป็น  \omega
ถ้า  \omega^{2} R \gg g จงแสดงว่าความลึกสูงสุดที่ลูกบอลไปถึงใต้ระดับศูนย์กลางสามารถประมาณได้เป็น
 z  \approx \dfrac{2g}{\omega^{2}}\sin^{2}\left( \dfrac{\omega t}{2} \right)
Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
Tangg
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 198


« Reply #544 on: November 07, 2010, 07:18:15 PM »

ข้อ 95
อนุภาคซึ่งถูกบังคับให้เคลื่อนที่บนผิวภายในของทรงกลมรัศมี  R ได้ถูกทำให้เคลื่อนที่ในแนวระดับจากจุดที่อยู่ระดับเดียวกับจุดศูนย์กลางโดยมีความเร็วเชิงมุมเป็น  \omega
ถ้า  \omega^{2} R \gg g จงแสดงว่าความลึกสูงสุดที่ลูกบอลไปถึงใต้ระดับศูนย์กลางสามารถประมาณได้เป็น
 z  \approx \dfrac{2g}{\omega^{2}}\sin^{2}\left( \dfrac{\omega t}{2} \right)
รบกวนพี่เก่งหน่อยครับ ไม่ทราบอะไรคือ t ครับ  icon adore
Logged
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #545 on: November 07, 2010, 07:45:15 PM »

t คือเวลานับตั้งแต่เริ่มปล่อยให้อนุภาคเคลื่อนที่
Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #546 on: January 07, 2011, 09:26:26 AM »

ถ้ามันขึ้นกับเวลางี้มันก็ไม่เรียกความลึกสูงสุดอะดิ

ว่าแต่มันจะลึกที่สุด หรือสูงที่สุดกันแน่นี่  Huh
Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
AP
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 250

ไม่มีใครลิขิตเรา นอกจากเรา


« Reply #547 on: March 06, 2011, 02:55:10 PM »

ผมขอกำหนดตัวแปรเอง(ตามอำเภอใจ)นะครับ
ให้ R คือระยะห่างจากโลกถึงจรวด r คือระยะห่างจากโลกถึงรองเท้า l  คือความยาวเชือก M_ \otimesคือ มวลโลก \omega คือความเร็วเชิงมุมที่จรวดโคจรรอบโลก M คือมวลจรวด m  คือมวลรองเท้า
\theta คือมุมที่ลูกตุ้มแกว่ง

เราได้ว่า \displaystyle {m\omega ^2 R = \frac{{GM_ \otimes  M}}{{R^2 }}}
ดังนั้น                                       \displaystyle {\boxed{\omega  = \sqrt {\frac{{GM_ \otimes  }}{{R^3 }}}}}

เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของรองเท้าได้ดังนี้
 \displaystyle { - m\ddot x = \frac{{GM_ \otimes  m}}{{r^2 }}\sin \theta  - m\omega ^2 r\sin \theta}

โจทย์บอกว่ารบกวนนิดหน่อย 


ดังนั้น \displaystyle {\sin \theta  \approx \theta  \approx \frac{x}{l}}

ก็จะได้
 \displaystyle {- m\ddot x = \frac{{GM_ \otimes  m}}{{r^2 }}\left( {\frac{x}{l}} \right) - m\omega ^2 r \left( {\frac{x}{l}} \right)}
 \displaystyle {- m\ddot x = \left( {\frac{{GM_ \otimes  m}}{{r^2 l}} - \frac{{m\omega ^2 r}}{l}} \right)x}


สู้โว้ยยย


จากรูปแบบ

\displaystyle {\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}\xi  =  - \Omega ^2 \xi}

เราก็จะได้ \displaystyle {\Omega = \sqrt  {\dfrac{{\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{r^2 }} - \omega ^2 r}}{l}}}


แต่ว่า  r = R - l ดังนั้น  r^2  = R^2 \left( {1 - \dfrac{l}{R}} \right)^2

ตามหลักที่ว่า (1 + \zeta )^n  = 1 + n\zeta  ถ้า \zeta \ll 1

เราก็จะได้
\Omega  = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{R^2 }}\left( {1 + 2\dfrac{l}{R}} \right) - \left\{ {\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{R^3 }}} \right\}\left( {1 - \dfrac{l}{R}} \right)R}}{l}}

พจน์ \left\{ {...} \right\}คือ \omega^2

จัดรูปให้สวยงามได้  \Omega  = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{{3GM_ \otimes  l}}{{R^2 }}}}{l}}  = \sqrt 3 \sqrt {\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{R^3 }}}  \equiv \sqrt 3 \omega


ดังนั้น ได้คาบการแกว่งรองเท้าคือ \tau  = \dfrac{{2\pi \sqrt 3 }}{{3\omega }}

แต่เรารู้ว่า \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T}

ดังนั้น คาบการแกว่งของรองเท้า คือ \tau  = \dfrac{T}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{T\sqrt 3 }}{3}

ซู้ดยอดดดดด
ขอบพระคุณ


ผิดพลาดประการใดโปรดชี้แนะ  ส่วนโจทย์ข้อต่อไปข้าพเจาขอโพสต์กลางคืนนี้นะครับ

\mathfrak{Mwit  Psychoror}
สงสัยว่าทำไมไม่คิดแรงตึงเชือกที่กระทำต่อจรวดครับเพราะว่าเมื่อเราใช้จรวดเป็นระบบนั้นก็จะมีแรงมากระทำอยู่สองแรงคือ
แรงที่โลกดึงดูดจรวด และแรงตึงเชือก
   และสงสัยอีกอย่างหนึ่งครับว่าแรงตึงเชืือกนั้นคือแรงดึงดูดระหว่างรองเท้ากับจรวดด้วยหรือเปล่าครับ idiot2
« Last Edit: March 06, 2011, 02:58:21 PM by AP » Logged

ไม่มีใครเริ่มกันด้วยความพร้อม ทุกคนก็มาจากไม่พร้อม แต่ที่แตกต่างกันคือการพยายามสร้างความพร้อมจากความไม่พร้อมของแต่ละคน
AP
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 250

ไม่มีใครลิขิตเรา นอกจากเรา


« Reply #548 on: March 07, 2011, 05:38:04 PM »

รบกวนผู้รู้ช่วยตอบด้วยครับ สงสัยมากครับ icon adore icon adore
Logged

ไม่มีใครเริ่มกันด้วยความพร้อม ทุกคนก็มาจากไม่พร้อม แต่ที่แตกต่างกันคือการพยายามสร้างความพร้อมจากความไม่พร้อมของแต่ละคน
The Best
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15


« Reply #549 on: March 08, 2011, 08:31:25 AM »

สงสัยเช่นเดียวกันครับ พอดีลอง search ดูแล้วพบว่าคล้ายๆกับข้อสอบ สสวท (สักปี) แต่เฉลยก็คิดวิธีเ่ช่นเดียวกับที่โพสท์ในกระทู้นี้ จึงอยากทราบเช่นเดียวกับโพสท์ข้างบนครับ รบกวนชี้แนะด้วยครับ icon adore icon adore
Logged
Tangg
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 198


« Reply #550 on: March 31, 2011, 02:02:34 PM »

ข้อ 95
อนุภาคซึ่งถูกบังคับให้เคลื่อนที่บนผิวภายในของทรงกลมรัศมี  R ได้ถูกทำให้เคลื่อนที่ในแนวระดับจากจุดที่อยู่ระดับเดียวกับจุดศูนย์กลางโดยมีความเร็วเชิงมุมเป็น  \omega
ถ้า  \omega^{2} R \gg g จงแสดงว่าความลึกสูงสุดที่ลูกบอลไปถึงใต้ระดับศูนย์กลางสามารถประมาณได้เป็น
 z  \approx \dfrac{2g}{\omega^{2}}\sin^{2}\left( \dfrac{\omega t}{2} \right)

ในที่นี้ เราจะใช้พิกัด x,z,\theta (ตามรูป) นะครับ โดย \theta เป็นมุมที่วัตถุหมุนไปได้ เมื่อเทียบกับแนวระดับ

โดยที่ x=\sqrt{R^2-z^2} และ \displaystyle{\dot{x}=-\frac{z}{\sqrt{R^2-z^2}}\dot{z}}

จากที่ว่า \omega ^2 R>>g

เราสามารถประมาณได้ว่า แรงลัพธ์ที่ทำต่อมวลนี้ อยู่ในแนวเดียวกับเชือก ดังนั้น เราจึงประมาณได้ว่า โมเมนตัมเชิงมุมอนุรักษ์

จากการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

mx^2\dot{\theta} = mR^2\omega

\displaystyle{\dot{\theta}=\frac{\omega R^2}{x^2}=\frac{\omega R^2}{R^2-z^2}}

จากการอนุรักษ์พลังงาน

\displaystyle{\frac{1}{2}m\omega ^2R^2+mgz=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{z}^2+x^2\dot{\theta}^2)}

\displaystyle{\omega ^2R^2+2gz=\frac{R^2\dot{z}^2+\omega ^2R^4}{R^2-z^2}}

ทำการกระจายออกมา

\omega ^2R^4-\omega ^2R^2z^2+2gzR^2-2gz^3=R^2\dot{z}^2+\omega ^2R^4

หารตลอดด้วย R^2

\displaystyle{\dot{z}^2+\omega ^2z^2-2gz+\frac{2gz^3}{R^2}=0}

พิจารณาว่า จากที่มันหมุนเร็วมากๆ ดังนั้น z<<R ทำให้ \displaystyle{\frac{z^3}{R^2}=0}

\dot{z}^2+\omega ^2z^2-2gz=0

ทำการแก้สมการ

จากสมการด้านบน ได้ว่า

\displaystyle{\frac{dz}{dt}=\sqrt{2gz-\omega ^2z^2}}

\displaystyle{t=\int \frac{1}{\sqrt{2gz-\omega ^2z^2}}dz}

   \displaystyle{=\frac{1}{\omega}\int \frac{1}{\sqrt{\frac{g^2}{\omega ^4}-(z-\frac{g}{\omega ^2})^2}}dz}

ให้ \xi =\frac{g}{\omega ^2}-z

\displaystyle{\omega t=-\int \frac{1}{\sqrt{\frac{g^2}{\omega ^4}-\xi ^2}}d \xi}

กำหนดให้ \displaystyle{cos\phi =\frac{\xi}{\frac{g}{\omega ^2}}}

ได้ว่า

\displaystyle{\omega t=-\int \frac{1}{sin\phi}dcos\phi}

\omega t=\phi

แทนค่าลงไป จัดรูปได้

\displaystyle{\frac{\omega ^2}{g}(\frac{g}{\omega ^2}-z)=cos(\omega t)}

\displaystyle{z=\frac{g}{\omega ^2}(1-cos(\omega t))}

\displaystyle{z=\frac{2g}{\omega ^2}sin^2(\frac{\omega t}{2})}

ผิดพลาดประการใดโปรดชี้แนะด้วยนะครับ  smitten
« Last Edit: March 31, 2011, 02:10:44 PM by Tangg » Logged
Tangg
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 198


« Reply #551 on: March 31, 2011, 07:32:51 PM »

ขอเสนอวิธีเพิ่มอีกวิธี โดยใช้กฎของนิวตัน นะครับ

จากภาพที่เขียนมาด้านบน ให้แรงตึงเชือกเป็น T

จากกฏของนิวตัน แกน X

\displaystyle{\frac{Tx}{R}=m\dot{\theta}^2x

T=m\dot{\theta}^2R

และจากกฏของนิวตัน แกน Z

\displaystyle{-\frac{Tz}{R}+mg=m\ddot{z}}

\displaystyle{\ddot{z}+\dot{\theta}^2z-g=0}

จากการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ดังที่ทำไว้ในวิธีที่แล้ว ได้ว่า

\displaystyle{\ddot{z}+\frac{\omega ^2R^4z}{x^4}-g=0}

\displaystyle{\ddot{z}+\frac{\omega ^2R^4z}{(R^2-z^2)^2}-g=0}

\displaystyle{\ddot{z}+\frac{\omega ^2z}{(1-\frac{z^2}{R^2})^2}-g=0}

\displaystyle{\ddot{z}+\omega ^2z(1+\frac{2z^2}{R^2})-g=0}

\displaystyle{\ddot{z}+\omega ^2z-g=0}

ทำการแก้สมการ

เป็น Second Order Differential Equation มีคำตอบของสมการคือ

\displaystyle{z=Asin(\omega t)+Bcos(\omega t)+\frac{g}{\omega ^2}}

แทน Initial Condition

ที่  t=0 , z=0

ดังนั้น \displaystyle{B=-\frac{g}{\omega ^2}}

จากสมการด้านบน ทำการ Differential

\dusplaystyle{\dot{z} =\omega A cos(\omega t)-\omega B sin(\omega t)

ที่ t=0 , \dot{z}=0

ดังนั้น A=0

ได้ว่า

\displaystyle{z=\frac{g}{\omega ^2}(1-cos(\omega t))

   \displaystyle{=\frac{2g}{\omega ^2}sin^2(\frac{\omega t}{2})}

ขอบพระคุณ

ผิดพลาดประการใด โปรดชี้แนะด้วยครับ  smitten
Logged
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #552 on: April 02, 2011, 04:43:26 PM »

ถ้ามันขึ้นกับเวลางี้มันก็ไม่เรียกความลึกสูงสุดอะดิ

ว่าแต่มันจะลึกที่สุด หรือสูงที่สุดกันแน่นี่  Huh

ขอโทษครับที่มาตอบช้า  icon adore icon adore
ต้นฉบับเขาเขียนไว้ว่า
[...show] that its maximum depth below the level of the center is approximately [...]

@Tangg : ตั้งโจทย์ข้อต่อไปเลยครับ  Smiley
Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
Tangg
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 198


« Reply #553 on: April 02, 2011, 10:13:10 PM »

ข้อ 96.

มีนาฬิกาทรายเรือนหนึ่ง วางอยู่บนตาชั่ง อ่านน้ำหนักได้ W_0 เมื่อหมุนนาฬิกาทราย ขณะที่ทรายกำลังไหลจากบนลงล่าง ตาชั่งอ่านน้ำหนักได้ W จงหาค่าของ W ในรูปของ W_0
Logged
It is GOL
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 337


« Reply #554 on: May 03, 2011, 07:40:28 PM »

ตอบข้อ 96

สมมุติให้ระดับอ้างอิงที่ผมจะใช้ คือ ที่พื้นที่นาฬิกาทรายตั้งอยู่
และให้ทรายข้างบนอยู่สูงกว่าข้างล่าง x
ให้ทรายไหลลงมาด้วยอัตรา -\dfrac{dm_0}{dt}\equiv \xi โดย m_0 คือมวลทรายด้านบน ซึ่งอัตราการไหลมันก็ควรจะคงตัว ถูกป่ะ  Huh
ให้มวลของแต่ละด้านของนาฬิกาเป็น M (บน-ล่าง) และมีทรายทั้งหมดมวล m

จากข้างบน m_0=m-\xi t จึงได้ \displaystyle R_{cm}\equiv \dfrac{\displaystyle \sum_{\displaystyle i}m_ir_i }{\displaystyle \sum_{\displaystyle i}m_i }=\frac{(m-\xi t+M)x}{2M+m}\Rightarrow A_c_m=\ddot{R}_c_m=0

นั่นคือ \displaystyle \Sigma \vec{F}=\vec{0} จึงได้ W_0=W

1.ช่วยเช็คให้ด้วย
2.โจทย์ใหม่ ขอเวลาคิดสักครู่... Smiley
Logged

It is GOL coming !!! ผมจะเอาชนะความไม่รู้ให้ได้!!
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Up
Print
Jump to: