ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

...

เสรีภาพทางการศึกษาคือหัวใจของการศึกษาที่แท้จริง

คนแรกที่ควรได้รับการศึกษาคือผู้ให้การศึกษา

mPEC on Facebook

IPhO 2011 on Facebook

IPhO 2011

Further Academy
 
Advanced search

37975 Posts in 5626 Topics- by 4057 Members - Latest Member: elevatorthailand
« previous next »
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Down
Print
Author Topic: Problems Solving Marathon : Mechanics  (Read 213991 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #465 on: May 26, 2009, 11:04:35 PM »
ข้อย่อยที่7 น้อง Amber ยังไม่ได้หาคำตอบสุดท้ายของ a และ b ในรูปของพารามิเตอร์ที่กำหนดให้ครับ
ถ้าหากเป็นการสอบจริงอาจโดนผู้ตรวจหักคะแนนได้นะครับ เพราะถ้าหากมีคนที่แทนค่าสำเร็จ นั่นแปลว่าเขาทำโจทย์ได้สมบูรณ์กว่า

ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
pawin wongkunnasaap
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 31
« Reply #466 on: May 27, 2009, 01:07:48 AM »
Quote from: Great on May 26, 2009, 11:04:35 PM
ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
พี่Greatไปเอามาจากไหนเหรอครับ
Logged
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #467 on: May 27, 2009, 08:54:15 PM »
Quote from: Great on May 26, 2009, 11:04:35 PM
ข้อย่อยที่7 น้อง Amber ยังไม่ได้หาคำตอบสุดท้ายของ a และ b ในรูปของพารามิเตอร์ที่กำหนดให้ครับ
ถ้าหากเป็นการสอบจริงอาจโดนผู้ตรวจหักคะแนนได้นะครับ เพราะถ้าหากมีคนที่แทนค่าสำเร็จ นั่นแปลว่าเขาทำโจทย์ได้สมบูรณ์กว่า
ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
ขอบคุณมากๆนะครับสำหรับคำแนะนำ  Smiley  Smiley  icon adore  icon adore
ดังนั้นผมจะทำการแทนค่าต่อนะครับ
จากเดิม เมื่อ b เป็นความยาวครึ่งแกนเอก และ a เป็นความยาวครึ่งแกนโท
และ a=\dfrac{P}{\sqrt{1+Q}};b=\dfrac{P}{\sqrt{1-Q}}
(เปลี่ยนเป็นa=\sqrt{\dfrac{P^2}{1+Q}};b=\sqrt{\dfrac{P^2}{1-Q}})
และจากเดิม\alpha=\dfrac{mv_0^2}{2}และ\beta=KD^2
แทนค่า \alpha ,\betaลงไปใน P
เรากลับไปดูข้อ 6
\because P^2=\dfrac{mv_0^2D^2}{\frac{mv_0^2}{2}+KD^2}
P^2=\dfrac{2\alpha \beta /K}{\alpha +\beta}
และจากเดิมQ=\dfrac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}
แทนค่า P^2 และ Q
ดังนั้นa=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta /K(\alpha +\beta)}{1+\dfrac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}}
จัดรูปอีกครั้งได้ a=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta}{2\alpha K}}=\sqrt{\dfrac{\beta}{K}}
แทนค่าใน\betaได้a=\sqrt{\dfrac{KD^2}{K}}=D
ในทำนองเดียวกันb=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta /K(\alpha +\beta)}{1-\dfrac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}}
จัดรูปอีกครั้งได้ b=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta}{2\beta K}}=\sqrt{\dfrac{\alpha}{K}}
แทนค่าใน\alphaได้b=\sqrt{\dfrac{mv_0^2}{2K}}
เมื่อ K=\frac{2}{3}\pi Gm\rho
แทนค่ากลับได้ b=\sqrt{\dfrac{mv_0^2}{\frac{4}{3}\pi Gm\rho}}=\sqrt{\dfrac{3v_0^2}{4\pi G\rho}}
จบการพิสูจน์  Smiley  Smiley
ps. ในกรณีนี้ถ้าเราพิจารณา ณ จุดยิง แล้วเราคิดระยะทางจากจุดศูนย์กลางมายังจุดยิง ซึ่งจะได้เท่ากับ D
อยากทราบว่าอ้างได้เลยหรือเปล่าครับว่าเป็นค่าครึ่งแกน x ของวงรีนั้น  Huh  Huh เพราะเราได้แสดงแล้วว่ามันเป็นวงรีตรง
ps. ข้อ 8 นี่ไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ เพราะถ้ามันอนุรักษ์โมเมนตัมนี่ ความเร็วต้นของถ้วยมันจะมีค่าสูงมากๆนะครับ  Shocked  Shocked
นั่นคือต้องตอบว่า ไม่มีโอกาส  Huh
หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด  uglystupid2  uglystupid2
ช่วยๆกันตรวจสอบและแสดงความเห็นด้วยนะครับ  icon adore  icon adore  smitten
« Last Edit: June 13, 2009, 04:01:11 PM by Amber » Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #468 on: May 27, 2009, 10:14:16 PM »
Quote from: pawin wongkunnasaap on May 27, 2009, 01:07:48 AM
Quote from: Great on May 26, 2009, 11:04:35 PM
ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
พี่Greatไปเอามาจากไหนเหรอครับ
ค่าย5คนปีนี้  Grin
ความจริงข้อนี้ให้เวลาทำ 1ใน3 ของ 5 ชั่วโมง  Smiley

Quote from: Amber on May 27, 2009, 08:54:15 PM
...
ps.4. ข้อ 8 นี่ไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ เพราะถ้ามันอนุรักษ์โมเมนตัมนี่ ความเร็วต้นของถ้วยมันจะมีค่าสูงมากๆนะครับ  Shocked  Shocked
นั่นคือต้องตอบว่า ไม่มีโอกาส  Huh
หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด  uglystupid2  uglystupid2
ช่วยๆกันตรวจสอบและแสดงความเห็นด้วยนะครับ  icon adore  icon adore  smitten
ถ้วยแชมป์มีความเร็วมากก็จริง แต่ว่า Dark Matter นั้นกว้างขวางมากๆ ทำให้ถ้วยแชมป์ไม่หลุดออกไปจาก Dark Matter
ที่ให้ถ้วยแชมป์มวลน้อยก็เพราะจะได้ละผลเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเพิ่มเติมระหว่างราฟาเอลกับถ้วยแชมป์ และอีกอย่างคือ.... สังเกตว่าโจทย์ไม่ได้ให้มวลของราฟาเอลมา  Shocked
แนะ: มีคำตอบที่เป็นตัวเลขแน่นอนว่าอีกนานเท่าไร  Wink

Quote from: Amber on May 27, 2009, 08:54:15 PM
...
ps.1. ในกรณีนี้ถ้าเราพิจารณา ณ จุดยิง แล้วเราคิดระยะทางจากจุดศูนย์กลางมายังจุดยิง ซึ่งจะได้เท่ากับ D
อยากทราบว่าอ้างได้เลยหรือเปล่าครับว่าเป็นค่าครึ่งแกน x ของวงรีนั้น  Huh  Huh เพราะเราได้แสดงแล้วว่ามันเป็นวงรีตรง
...
ถึงเราจะรู้ว่าเป็นครึ่งของแกนวงรีในแนวแกนX แต่เราก็ไม่อาจรู้ได้ว่ามันเป็นครึ่งแกนเอก (Semi Major Axis) หรือครึ่งแกนโท (Semi Minor Axis) ซึ่งต้องพิสูจน์จากสมการเส้นวิถี r(\theta)
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« Reply #469 on: May 28, 2009, 05:20:30 PM »
Quote from: Amber on May 27, 2009, 08:54:15 PM
ps.4. ข้อ 8 นี่ไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ เพราะถ้ามันอนุรักษ์โมเมนตัมนี่ ความเร็วต้นของถ้วยมันจะมีค่าสูงมากๆนะครับ  Shocked  Shocked
นั่นคือต้องตอบว่า ไม่มีโอกาส  Huh
หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด  uglystupid2  uglystupid2

เกรทบอกว่าให้ DARK MATTER มีขนาดใหญ่มากๆครับ ไม่ต้องกลัวว่าถ้วยจะหลุด Daek matter ดังนั้นจะเห็นว่ายิ่งถ้วยแชมป์ไปไกลเท่าไรก็จะยิ่งมีแรงดึงกลับมามากเท่านั้น ดังนั้นเป็นไปได้ที่ราฟาเอลจะมาเจอถ้วยแชมป์อีกครับ แต่อาจจะให้เวลานานมาก จนเกินอายุขุยที่เกรทกำหนดมา Grin

โจทย์ข้อนี้อาจจะฟังดูง่ายขึ้นถ้าถามว่า "เมื่อไหร่ราฟาเอลจะโคจรมาพบกับถ้วยแชมป์อีกที และเกินอายุขัยของเขาหรือไม่"

ปล. สำหรับหงส์คงอีกนานครับ  2funny 2funny 2funny
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #470 on: May 30, 2009, 07:47:31 PM »
เห็นค้างไว้นานแล้ว จะใบ้ข้อย่อยสุดท้ายให้แล้วกันครับ

"ให้พิจารณาอัตราการกวาดพื้นที่ต่อเวลาของการเคลื่อนที่ ( \dfrac{dA}{dt} ) ว่าสัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมอย่างไร"
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #471 on: May 30, 2009, 08:27:27 PM »
ข้อ 8 ครับ  Smiley
กลับไปดูข้อ 2
เราพิจารณาขนาดของแรงที่กระทำต่อวัตถุมวล m ในพิกัด x-y โดยมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของ Dark matter เป็น r
เราได้ว่า
|\vec{F}|=\frac{4}{3}\pi Gm\rho r
เรากำหนดเวกเตอร์รัศมีเป็น \vec{r}ชี้ออกจากจุดศูนย์กลางวงกลม
เนื่องจากแรงมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง เราจึงสามารถะบุได้ว่า
\vec{F}=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \vec{r}
จากรูปเราแตกแรงในแนวแกน x-y ที่อยู่ในระนาบเดียวกับการเคลื่อนที่
เราได้ว่า
\vec{x}=r\cos \theta (\hat{x});\vec{F}_x=-|\vec{F}|\cos \theta (\hat{x})
\vec{y}=r\sin \theta (\hat{y});\vec{F}_y=-|\vec{F}|\sin \theta (\hat{y})
\vec{F}_x=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho r\cos \theta (\hat{x})
\vec{F}_x=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \{r\cos \theta (\hat{x})\}
\vec{F}_x=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \vec{x}
ในทำนองเดียวกัน \vec{F}_y=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \vec{y}
จากสองสมการนี้ เราได้ว่า
m\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi Gm\rho )xและ m\dfrac{d^2 y}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi Gm\rho )y
\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi G\rho)xและ \dfrac{d^2 y}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi G\rho)y
แก้สมการดิฟเฟอเราเชียลจะได้ว่าความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่เท่ากันคือ
\omega \equiv \dfrac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho}
ดังนั้น คาบการโคจรของวัตถุ(ครบรอบวงรี)คือ T=2\pi \sqrt{\dfrac{3}{4\pi G\rho}}
ทั้งนี้ คาบที่ได้ไม่ขึ้นกับ มวลของวัตถุและ ความเร็วต้น ดังนั้น คาบการโคจรของราฟาเอลกับถ้วยจึงมีค่าเท่ากัน
และจากข้อที่ 7 เราได้ว่าความยาวครึ่งแกน x ของวัตถุทั้งสองยาวเท่ากันคือ D
และเนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงรีตรงดังรูป
เราได้ว่า วัตถุทั้งสองจะพบกันที่อีกฟากหนึ่งของวงรี โดยเวลาที่ใช้จะมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของคาบการโคจร
เราได้ \Delta t=\dfrac{1}{2}T=\pi \sqrt{\dfrac{3}{4\pi G\rho}}
นั่นคือ \Delta t=\sqrt{\dfrac{3\pi}{4G\rho}}
เราแทนค่าจะได้
\Delta t\approx 6\times 10^2 \mbox{yrs.}
จบการพิสูจน์  Smiley  Smiley
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #472 on: May 30, 2009, 09:02:21 PM »
ใช้กฎข้อสองของKepler จะง่ายและสั้นกว่าครับ
พื้นที่ที่กวาดไปเมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นมุม d \theta คือ dA = \dfrac{1}{2} (r) (rd\theta) = \dfrac{1}{2} r^2 d \theta
นั่นคือ
\dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2} r^2 \dfrac{d \theta}{dt} = \dfrac{L}{2m} = \mbox{const.}
จะได้ว่า
\dfrac{A}{t} = \dfrac{\pi a b}{2t} = \dfrac{m v_o D}{2m}
แทนค่า a = \sqrt{\dfrac{3v_o^2}{4\pi G \rho}} และ b=Dจะได้ว่า
t = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{3 \pi}{G \rho}}
« Last Edit: May 30, 2009, 10:28:48 PM by Great » Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #473 on: May 30, 2009, 09:17:43 PM »
ขอบคุณมากๆที่แนะนำครับ  icon adore  icon adore
Logged
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #474 on: May 30, 2009, 11:35:34 PM »
ข้อ 82. แรงต้านอากาศ
สมมติให้การชนของอนุภาคอากาศเป็นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ และ แรงปฏิกิริยาเกิดขึ้นตั้งฉากกับผิวหน้าของวัตถุเท่านั้น
วัตถุมวล Mในข้อ 1 และ 2 ถูกบังคับให้เคลื่อนที่ในแนวนอนอย่างเดียวเท่านั้น
กำหนดให้ระบบทั้งหมดไม่อยู่ในสนามโน้มถ่วง

(i).วัตถุมวล Mเคลื่อนที่เข้าชนอนุภาคมวล mดัวยอัตราเร็ว vดังรูป หา \delta vของ Mในกรณีที่ m<<M
(แนะ: คิดในกรอบของวัตถุมวล M)

(ii).กำหนดให้อากาศมีความหนาแน่น \rhoสม่ำเสมอ และวัตถุมีพื้นที่หน้าตัด Aเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว Vเทียบกับอากาศ
ให้แสดงวิธีพิสูจน์ว่า แรงต้านอากาศที่กระทำต่อวัตถุผิวเรียบที่มีเวกเตอร์พื้นผิวทำมุม \thetaกับความเร็ว ดังรูป อยู่ในรูปของ F_b=-\rho AV^2\times\phi (\theta)และแสดงวิธีหาค่า \phi (\theta)

(iii).ให้แสดงวิธีพิสูจน์ว่า แรงต้านอากาศที่กระทำต่อวัตถุทรงกลมรัศมี R ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว Vเทียบกับอากาศ
อยู่ในรูปของ F_b=-\alpha\rho (\pi R^2)V^2และแสดงวิธีหาค่า \alpha
« Last Edit: May 31, 2009, 12:15:20 AM by Amber » Logged
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268
« Reply #475 on: June 07, 2009, 12:25:48 AM »
ตอบข้อ 82
(i) ให้ \vec{u} เป็นเวคเตอร์ความเร็วของ m หลังชน (ทั้งหมดคิดในกรอบของ M ) จากหลักอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ว่า
m\vec{v} = m\vec{u}+M\vec{\delta v}
เนื่องจากแรงกระทำในทิศตั้งฉากกับผิว ดังนั้น \vec{\delta v} ทำมุม \theta กับ \vec{v}
ได้ m^{2}u^{2} = m^{2}v^{2}+M^{2}(\delta v)^{2}-2mvM\delta v \cos\theta -------------------------(1)
จากกฎอนุรักษ์พลังงานได้ว่า m^{2}v^{2}=m^{2}u^{2}+mM(\delta v)^{2} -----------------------------(2)
แทน 1 ลงใน 2 จะได้ว่า \delta v = \dfrac{2mv\cos\theta}{m+M} และถ้าเคลื่อนในแกน x อย่างเดียวและ M \gg m แล้ว
\delta v_{x} = \dfrac{2mv\cos^{2}\theta}{M}                     Ans (i)
(ii) เราได้มวลที่มากระทบผิวในเวลา \delta t เป็น \rho Av\delta t
จากนิพจน์ของข้อ (i) เราได้ว่า M\dfrac{\delta v}{\delta t} = 2\rho Av^{2}\cos^{2}\theta
ได้ว่า F_{b} = -\rho Av^{2}(2\cos^{2}\theta)  โดย \phi(\theta) = 2\cos^{2}\theta         Ans (ii)
(iii) พื้นที่เล็กๆที่ตั้งฉากกับทิศการเคลื่อนที่ dA_{\perp} ในช่วงมุม \theta \to \theta + \dlta\theta คือ
dA_{\perp} = 2\pi R^{2}\cos\theta\sin\theta d\theta = -2\pi R^{2}\cos\theta d\cos\theta
จะได้ F = \displaystyle 4\rho\pi R^{2}v^{2} \int_{0}^{\pi} \cos^{3}\theta d\cos\theta (อินติเกรทจาก 0 \to \pi เพราะส่วนที่ปะทะอากาศมีเฉพาะส่วนหน้า )
ได้ว่า F_{b} = -\rho (\pi R^{2})v^{2}                   Ans (iii)
โดยที่ \alpha = 1
« Last Edit: March 13, 2010, 06:46:03 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268
« Reply #476 on: June 07, 2009, 04:30:18 PM »
ข้อ 83
มีอนุภาคตัวหนึ่ง ถูกบังคับให้เคลื่อนที่ในสนามที่มีพลังงานศักย์หนึ่งมิติซึ่งบรรยายตามสมการ U(x) = k\left|x \right| ^{n}  
จงหาว่า คาบของอนุภาคนี้ ขึ้นอยู่กับพลังงานรวม E อย่างไร (ตอบในรูปของ n E และค่าคงที่ )
« Last Edit: June 08, 2009, 09:25:22 PM by nklohit » Logged
It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #477 on: June 25, 2009, 11:31:20 PM »
ตอบข้อ 83 นะครับ  Smiley
เริ่มต้นจาก เลื่อนวัตถุออกมาเป็นระยะ x_0=+\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}และปล่อยให้เคลื่อนที่อย่างอิสระ
ดังนั้นพลังงานรวมของวัตถุคือ kx_0^n
เราหาเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่สู่ตำแหน่งสมดุลคือตั้งแต่ x_0\to 0 จะมีค่า =\dfrac{T}{4}
เราได้ว่า จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน
E=K+U
E=\dfrac{m\dot{x}^2}{2}+k|x|^n
E-k|x|^n=\dfrac{m\dot{x}^2}{2}
\dfrac{2}{m}(E-kx^n)=\dot{x}^2
เนื่องจากการพิจารณาข้างต้น ความเร็วจะเป็นค่าติดลบเพราะวัตถุเคลื่อนที่กลับสู่ตำแหน่งสมดุล
\therefore \sqrt{\dfrac{2}{m}(E-kx^n)}=-\dfrac{dx}{dt}
dt=-\dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-kx^n)}}
\displaystyle \dfrac{T}{4}=\int dt=-\int_{x_0}^{0} \dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-kx^n)}}=\int_{0}^{x_0}}\dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-kx^n)}}
\displaystyle \dfrac{T}{4}=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{E-kx^n}}
\displaystyle T=2\sqrt{2m}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{E-kx^n}}
\displaystyle T=2\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\frac{kx^n}{E}}}
\displaystyle T=2\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\frac{kx^n}{kx_0^n}}}
\displaystyle T=2x_0\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{d(x/x_0)}{\sqrt{1-(\frac{x}{x_0})^n}}
กำหนดให้ A=x/x_0
\displaystyle T=2x_0\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
เมื่ออินทิกรัลตัวหลังเป็นค่าคงตัวที่ไม่มีหน่วย กำหนดเป็น S
\therefore \displaystyle T=2x_0\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
จาก x_0=\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}ทำการแทนค่า
จะได้ว่า \therefore \displaystyle T=2\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
หรือ \therefore \displaystyle T=\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}\sqrt{\dfrac{m}{E}}2\sqrt{2}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
แต่ 2\sqrt{2}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}เป็นค่าคงตัวที่ไม่ขึ้นกับตัวแปรใดๆ
เราเขียนคาบที่หาได้ใหม่เป็นหรือ \displaystyle T=\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}\sqrt{\dfrac{m}{E}}S
\therefore T=E^{\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\left(\dfrac{m^n}{k^2}\right)^{1/2n}S
โดยที่ S เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นกับตัวแปรใดๆ
จบการพิสูจน์  Smiley  Smiley
« Last Edit: March 13, 2010, 06:48:14 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #478 on: June 26, 2009, 12:00:24 AM »
ข้อ 84
จงหาคาบการสั่นของลูกตุ้มแบบท่อนไม้บิด หรือ bifilar pendulum
กำหนดให้ ท่อนไม้ยาว 2R เชือก 2 เส้นผูกห่างกัน 2D และยาว S
โดยกำหนดให้ท่อนไม้หมุนด้วย amplitude เล็กๆรอบแกนดังรูป
« Last Edit: June 26, 2009, 06:22:51 PM by Amber » Logged
tip
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 194
« Reply #479 on: July 03, 2009, 05:50:37 PM »
ตอบข้อ84
รูปอยู่ด้านล้างนะครับ
กำหนดให้เชือกมีแรงตึงในแต่ละเส้นเท่ากับT
ใช้สมการทอร์กรอบจุดCM
I_{cm}\dfrac{d^{2}}{dt^{2} }\theta =(-T\sin \psi )D+(-T\sin \psi )D
ใช้กฎข้อที่1ของนิวตันกับท่อนไม้
T\cos \psi +T\cos \psi =Mg
หากพิจารณาเป็นการสั่นเล็กๆ\psi น้อยๆ
\sin \psi \simeq \psi
\cos \psi \simeq 1
ดังนั่นสมการข้างต้นทั้ง2จะสลายไปเป็น
I_{cm}\dfrac{d^{2}}{dt^{2} }\theta =(-T\psi )D+(-T\psi )D
T=\dfrac{Mg}{2}
และจากรูปด้านล่างเราสังเกตเห็นว่า
\delta =D\theta =S\psi (ถ้า\psi และ\thetaเป็นมุมเล็กๆ)
ทำให้ได้
\psi =\dfrac{D}{S}\theta
และสำหรับท่อนไม้บางมากๆไม่คำนึงถึงรัศมีของหน้าตัดI_{cm}=\dfrac{1}{3}MR^{2}
แก้3สมการข้างต้นพร้อมกัน ได้ว่า
\dfrac{d^{2}}{dt^{2} }\theta =-(\dfrac{3gD^{2}}{R^{2}S})\theta
\therefore \omega =\dfrac{D}{R}\sqrt{\dfrac{3g}{S}}
T=2\pi \dfrac{R}{D}\sqrt{\dfrac{S}{3g}}
« Last Edit: July 08, 2009, 06:09:57 PM by tip » Logged
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น