ข้อ 8 ครับ

กลับไปดูข้อ 2
เราพิจารณาขนาดของแรงที่กระทำต่อวัตถุมวล m ในพิกัด x-y โดยมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของ Dark matter เป็น

เราได้ว่า

เรากำหนดเวกเตอร์รัศมีเป็น

ชี้ออกจากจุดศูนย์กลางวงกลม
เนื่องจากแรงมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง เราจึงสามารถะบุได้ว่า

จากรูปเราแตกแรงในแนวแกน x-y ที่อยู่ในระนาบเดียวกับการเคลื่อนที่
เราได้ว่า





ในทำนองเดียวกัน

จากสองสมการนี้ เราได้ว่า

และ


และ

แก้สมการดิฟเฟอเราเชียลจะได้ว่าความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่เท่ากันคือ

ดังนั้น คาบการโคจรของวัตถุ(ครบรอบวงรี)คือ

ทั้งนี้ คาบที่ได้ไม่ขึ้นกับ มวลของวัตถุและ ความเร็วต้น ดังนั้น คาบการโคจรของราฟาเอลกับถ้วยจึงมีค่าเท่ากัน
และจากข้อที่ 7 เราได้ว่าความยาวครึ่งแกน x ของวัตถุทั้งสองยาวเท่ากันคือ D
และเนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงรีตรงดังรูป
เราได้ว่า วัตถุทั้งสองจะพบกันที่อีกฟากหนึ่งของวงรี โดยเวลาที่ใช้จะมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของคาบการโคจร
เราได้

นั่นคือ

เราแทนค่าจะได้

จบการพิสูจน์
