ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41244 Posts in 6175 Topics- by 8110 Members - Latest Member: Vigarnda
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Down
Print
Author Topic: Problems Solving Marathon : Mechanics  (Read 454843 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #465 on: May 26, 2009, 11:04:35 PM »

ข้อย่อยที่7 น้อง Amber ยังไม่ได้หาคำตอบสุดท้ายของ a และ b ในรูปของพารามิเตอร์ที่กำหนดให้ครับ
ถ้าหากเป็นการสอบจริงอาจโดนผู้ตรวจหักคะแนนได้นะครับ เพราะถ้าหากมีคนที่แทนค่าสำเร็จ นั่นแปลว่าเขาทำโจทย์ได้สมบูรณ์กว่า

ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
pawin wongkunnasaap
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 31


« Reply #466 on: May 27, 2009, 01:07:48 AM »

ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
พี่Greatไปเอามาจากไหนเหรอครับ
Logged
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166


« Reply #467 on: May 27, 2009, 08:54:15 PM »

ข้อย่อยที่7 น้อง Amber ยังไม่ได้หาคำตอบสุดท้ายของ a และ b ในรูปของพารามิเตอร์ที่กำหนดให้ครับ
ถ้าหากเป็นการสอบจริงอาจโดนผู้ตรวจหักคะแนนได้นะครับ เพราะถ้าหากมีคนที่แทนค่าสำเร็จ นั่นแปลว่าเขาทำโจทย์ได้สมบูรณ์กว่า
ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
ขอบคุณมากๆนะครับสำหรับคำแนะนำ  Smiley  Smiley  icon adore  icon adore
ดังนั้นผมจะทำการแทนค่าต่อนะครับ
จากเดิม เมื่อ b เป็นความยาวครึ่งแกนเอก และ a เป็นความยาวครึ่งแกนโท
และ a=\dfrac{P}{\sqrt{1+Q}};b=\dfrac{P}{\sqrt{1-Q}}
(เปลี่ยนเป็นa=\sqrt{\dfrac{P^2}{1+Q}};b=\sqrt{\dfrac{P^2}{1-Q}})
และจากเดิม\alpha=\dfrac{mv_0^2}{2}และ\beta=KD^2
แทนค่า \alpha ,\betaลงไปใน P
เรากลับไปดูข้อ 6
\because P^2=\dfrac{mv_0^2D^2}{\frac{mv_0^2}{2}+KD^2}
P^2=\dfrac{2\alpha \beta /K}{\alpha +\beta}
และจากเดิมQ=\dfrac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}
แทนค่า P^2 และ Q
ดังนั้นa=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta /K(\alpha +\beta)}{1+\dfrac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}}
จัดรูปอีกครั้งได้ a=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta}{2\alpha K}}=\sqrt{\dfrac{\beta}{K}}
แทนค่าใน\betaได้a=\sqrt{\dfrac{KD^2}{K}}=D
ในทำนองเดียวกันb=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta /K(\alpha +\beta)}{1-\dfrac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}}
จัดรูปอีกครั้งได้ b=\sqrt{\dfrac{2\alpha \beta}{2\beta K}}=\sqrt{\dfrac{\alpha}{K}}
แทนค่าใน\alphaได้b=\sqrt{\dfrac{mv_0^2}{2K}}
เมื่อ K=\frac{2}{3}\pi Gm\rho
แทนค่ากลับได้ b=\sqrt{\dfrac{mv_0^2}{\frac{4}{3}\pi Gm\rho}}=\sqrt{\dfrac{3v_0^2}{4\pi G\rho}}
จบการพิสูจน์  Smiley  Smiley
ps. ในกรณีนี้ถ้าเราพิจารณา ณ จุดยิง แล้วเราคิดระยะทางจากจุดศูนย์กลางมายังจุดยิง ซึ่งจะได้เท่ากับ D
อยากทราบว่าอ้างได้เลยหรือเปล่าครับว่าเป็นค่าครึ่งแกน x ของวงรีนั้น  Huh  Huh เพราะเราได้แสดงแล้วว่ามันเป็นวงรีตรง
ps. ข้อ 8 นี่ไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ เพราะถ้ามันอนุรักษ์โมเมนตัมนี่ ความเร็วต้นของถ้วยมันจะมีค่าสูงมากๆนะครับ  Shocked  Shocked
นั่นคือต้องตอบว่า ไม่มีโอกาส  Huh
หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด  uglystupid2  uglystupid2
ช่วยๆกันตรวจสอบและแสดงความเห็นด้วยนะครับ  icon adore  icon adore  smitten
« Last Edit: June 13, 2009, 04:01:11 PM by Amber » Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #468 on: May 27, 2009, 10:14:16 PM »

ปล.นี่คือข้อสอบจริงครับ  Shocked
พี่Greatไปเอามาจากไหนเหรอครับ
ค่าย5คนปีนี้  Grin
ความจริงข้อนี้ให้เวลาทำ 1ใน3 ของ 5 ชั่วโมง  Smiley

...
ps.4. ข้อ 8 นี่ไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ เพราะถ้ามันอนุรักษ์โมเมนตัมนี่ ความเร็วต้นของถ้วยมันจะมีค่าสูงมากๆนะครับ  Shocked  Shocked
นั่นคือต้องตอบว่า ไม่มีโอกาส  Huh
หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด  uglystupid2  uglystupid2
ช่วยๆกันตรวจสอบและแสดงความเห็นด้วยนะครับ  icon adore  icon adore  smitten
ถ้วยแชมป์มีความเร็วมากก็จริง แต่ว่า Dark Matter นั้นกว้างขวางมากๆ ทำให้ถ้วยแชมป์ไม่หลุดออกไปจาก Dark Matter
ที่ให้ถ้วยแชมป์มวลน้อยก็เพราะจะได้ละผลเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเพิ่มเติมระหว่างราฟาเอลกับถ้วยแชมป์ และอีกอย่างคือ.... สังเกตว่าโจทย์ไม่ได้ให้มวลของราฟาเอลมา  Shocked
แนะ: มีคำตอบที่เป็นตัวเลขแน่นอนว่าอีกนานเท่าไร  Wink

...
ps.1. ในกรณีนี้ถ้าเราพิจารณา ณ จุดยิง แล้วเราคิดระยะทางจากจุดศูนย์กลางมายังจุดยิง ซึ่งจะได้เท่ากับ D
อยากทราบว่าอ้างได้เลยหรือเปล่าครับว่าเป็นค่าครึ่งแกน x ของวงรีนั้น  Huh  Huh เพราะเราได้แสดงแล้วว่ามันเป็นวงรีตรง
...
ถึงเราจะรู้ว่าเป็นครึ่งของแกนวงรีในแนวแกนX แต่เราก็ไม่อาจรู้ได้ว่ามันเป็นครึ่งแกนเอก (Semi Major Axis) หรือครึ่งแกนโท (Semi Minor Axis) ซึ่งต้องพิสูจน์จากสมการเส้นวิถี r(\theta)
Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #469 on: May 28, 2009, 05:20:30 PM »

ps.4. ข้อ 8 นี่ไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ เพราะถ้ามันอนุรักษ์โมเมนตัมนี่ ความเร็วต้นของถ้วยมันจะมีค่าสูงมากๆนะครับ  Shocked  Shocked
นั่นคือต้องตอบว่า ไม่มีโอกาส  Huh
หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด  uglystupid2  uglystupid2

เกรทบอกว่าให้ DARK MATTER มีขนาดใหญ่มากๆครับ ไม่ต้องกลัวว่าถ้วยจะหลุด Daek matter ดังนั้นจะเห็นว่ายิ่งถ้วยแชมป์ไปไกลเท่าไรก็จะยิ่งมีแรงดึงกลับมามากเท่านั้น ดังนั้นเป็นไปได้ที่ราฟาเอลจะมาเจอถ้วยแชมป์อีกครับ แต่อาจจะให้เวลานานมาก จนเกินอายุขุยที่เกรทกำหนดมา Grin

โจทย์ข้อนี้อาจจะฟังดูง่ายขึ้นถ้าถามว่า "เมื่อไหร่ราฟาเอลจะโคจรมาพบกับถ้วยแชมป์อีกที และเกินอายุขัยของเขาหรือไม่"

ปล. สำหรับหงส์คงอีกนานครับ  2funny 2funny 2funny
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #470 on: May 30, 2009, 07:47:31 PM »

เห็นค้างไว้นานแล้ว จะใบ้ข้อย่อยสุดท้ายให้แล้วกันครับ

"ให้พิจารณาอัตราการกวาดพื้นที่ต่อเวลาของการเคลื่อนที่ ( \dfrac{dA}{dt} ) ว่าสัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมอย่างไร"
Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166


« Reply #471 on: May 30, 2009, 08:27:27 PM »

ข้อ 8 ครับ  Smiley
กลับไปดูข้อ 2
เราพิจารณาขนาดของแรงที่กระทำต่อวัตถุมวล m ในพิกัด x-y โดยมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของ Dark matter เป็น r
เราได้ว่า
|\vec{F}|=\frac{4}{3}\pi Gm\rho r
เรากำหนดเวกเตอร์รัศมีเป็น \vec{r}ชี้ออกจากจุดศูนย์กลางวงกลม
เนื่องจากแรงมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง เราจึงสามารถะบุได้ว่า
\vec{F}=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \vec{r}
จากรูปเราแตกแรงในแนวแกน x-y ที่อยู่ในระนาบเดียวกับการเคลื่อนที่
เราได้ว่า
\vec{x}=r\cos \theta (\hat{x});\vec{F}_x=-|\vec{F}|\cos \theta (\hat{x})
\vec{y}=r\sin \theta (\hat{y});\vec{F}_y=-|\vec{F}|\sin \theta (\hat{y})
\vec{F}_x=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho r\cos \theta (\hat{x})
\vec{F}_x=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \{r\cos \theta (\hat{x})\}
\vec{F}_x=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \vec{x}
ในทำนองเดียวกัน \vec{F}_y=-\frac{4}{3}\pi Gm\rho \vec{y}
จากสองสมการนี้ เราได้ว่า
m\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi Gm\rho )xและ m\dfrac{d^2 y}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi Gm\rho )y
\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi G\rho)xและ \dfrac{d^2 y}{dt^2}=-(\frac{4}{3}\pi G\rho)y
แก้สมการดิฟเฟอเราเชียลจะได้ว่าความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่เท่ากันคือ
\omega \equiv \dfrac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho}
ดังนั้น คาบการโคจรของวัตถุ(ครบรอบวงรี)คือ T=2\pi \sqrt{\dfrac{3}{4\pi G\rho}}
ทั้งนี้ คาบที่ได้ไม่ขึ้นกับ มวลของวัตถุและ ความเร็วต้น ดังนั้น คาบการโคจรของราฟาเอลกับถ้วยจึงมีค่าเท่ากัน
และจากข้อที่ 7 เราได้ว่าความยาวครึ่งแกน x ของวัตถุทั้งสองยาวเท่ากันคือ D
และเนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงรีตรงดังรูป
เราได้ว่า วัตถุทั้งสองจะพบกันที่อีกฟากหนึ่งของวงรี โดยเวลาที่ใช้จะมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของคาบการโคจร
เราได้ \Delta t=\dfrac{1}{2}T=\pi \sqrt{\dfrac{3}{4\pi G\rho}}
นั่นคือ \Delta t=\sqrt{\dfrac{3\pi}{4G\rho}}
เราแทนค่าจะได้
\Delta t\approx 6\times 10^2 \mbox{yrs.}
จบการพิสูจน์  Smiley  Smiley
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #472 on: May 30, 2009, 09:02:21 PM »

ใช้กฎข้อสองของKepler จะง่ายและสั้นกว่าครับ
พื้นที่ที่กวาดไปเมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นมุม d \theta คือ dA = \dfrac{1}{2} (r) (rd\theta) = \dfrac{1}{2} r^2 d \theta
นั่นคือ
\dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2} r^2 \dfrac{d \theta}{dt} = \dfrac{L}{2m} = \mbox{const.}
จะได้ว่า
\dfrac{A}{t} = \dfrac{\pi a b}{2t} = \dfrac{m v_o D}{2m}
แทนค่า a = \sqrt{\dfrac{3v_o^2}{4\pi G \rho}} และ b=Dจะได้ว่า
t = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{3 \pi}{G \rho}}
« Last Edit: May 30, 2009, 10:28:48 PM by Great » Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166


« Reply #473 on: May 30, 2009, 09:17:43 PM »

ขอบคุณมากๆที่แนะนำครับ  icon adore  icon adore
Logged
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166


« Reply #474 on: May 30, 2009, 11:35:34 PM »

ข้อ 82. แรงต้านอากาศ
สมมติให้การชนของอนุภาคอากาศเป็นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ และ แรงปฏิกิริยาเกิดขึ้นตั้งฉากกับผิวหน้าของวัตถุเท่านั้น
วัตถุมวล Mในข้อ 1 และ 2 ถูกบังคับให้เคลื่อนที่ในแนวนอนอย่างเดียวเท่านั้น
กำหนดให้ระบบทั้งหมดไม่อยู่ในสนามโน้มถ่วง

(i).วัตถุมวล Mเคลื่อนที่เข้าชนอนุภาคมวล mดัวยอัตราเร็ว vดังรูป หา \delta vของ Mในกรณีที่ m<<M
(แนะ: คิดในกรอบของวัตถุมวล M)

(ii).กำหนดให้อากาศมีความหนาแน่น \rhoสม่ำเสมอ และวัตถุมีพื้นที่หน้าตัด Aเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว Vเทียบกับอากาศ
ให้แสดงวิธีพิสูจน์ว่า แรงต้านอากาศที่กระทำต่อวัตถุผิวเรียบที่มีเวกเตอร์พื้นผิวทำมุม \thetaกับความเร็ว ดังรูป อยู่ในรูปของ F_b=-\rho AV^2\times\phi (\theta)และแสดงวิธีหาค่า \phi (\theta)

(iii).ให้แสดงวิธีพิสูจน์ว่า แรงต้านอากาศที่กระทำต่อวัตถุทรงกลมรัศมี R ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว Vเทียบกับอากาศ
อยู่ในรูปของ F_b=-\alpha\rho (\pi R^2)V^2และแสดงวิธีหาค่า \alpha
« Last Edit: May 31, 2009, 12:15:20 AM by Amber » Logged
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #475 on: June 07, 2009, 12:25:48 AM »

ตอบข้อ 82
(i) ให้  \vec{u} เป็นเวคเตอร์ความเร็วของ m หลังชน (ทั้งหมดคิดในกรอบของ  M ) จากหลักอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ว่า
 m\vec{v} = m\vec{u}+M\vec{\delta v}
เนื่องจากแรงกระทำในทิศตั้งฉากกับผิว ดังนั้น  \vec{\delta v} ทำมุม  \theta กับ  \vec{v}
ได้  m^{2}u^{2} = m^{2}v^{2}+M^{2}(\delta v)^{2}-2mvM\delta v \cos\theta -------------------------(1)
จากกฎอนุรักษ์พลังงานได้ว่า  m^{2}v^{2}=m^{2}u^{2}+mM(\delta v)^{2} -----------------------------(2)
แทน 1 ลงใน 2 จะได้ว่า  \delta v = \dfrac{2mv\cos\theta}{m+M} และถ้าเคลื่อนในแกน  x อย่างเดียวและ  M \gg m แล้ว
 \delta v_{x} = \dfrac{2mv\cos^{2}\theta}{M}                     Ans (i)
(ii) เราได้มวลที่มากระทบผิวในเวลา  \delta t เป็น  \rho Av\delta t
จากนิพจน์ของข้อ (i) เราได้ว่า  M\dfrac{\delta v}{\delta t} = 2\rho Av^{2}\cos^{2}\theta
ได้ว่า  F_{b} = -\rho Av^{2}(2\cos^{2}\theta)  โดย  \phi(\theta) = 2\cos^{2}\theta         Ans (ii)
(iii) พื้นที่เล็กๆที่ตั้งฉากกับทิศการเคลื่อนที่  dA_{\perp}  ในช่วงมุม  \theta \to \theta + \dlta\theta คือ
 dA_{\perp} = 2\pi R^{2}\cos\theta\sin\theta d\theta = -2\pi R^{2}\cos\theta d\cos\theta
จะได้  F = \displaystyle 4\rho\pi R^{2}v^{2} \int_{0}^{\pi} \cos^{3}\theta d\cos\theta (อินติเกรทจาก 0 \to \pi เพราะส่วนที่ปะทะอากาศมีเฉพาะส่วนหน้า )
ได้ว่า   F_{b} = -\rho (\pi R^{2})v^{2}                    Ans (iii)
โดยที่  \alpha = 1
« Last Edit: March 13, 2010, 06:46:03 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #476 on: June 07, 2009, 04:30:18 PM »

ข้อ 83
มีอนุภาคตัวหนึ่ง ถูกบังคับให้เคลื่อนที่ในสนามที่มีพลังงานศักย์หนึ่งมิติซึ่งบรรยายตามสมการ  U(x) = k\left|x  \right| ^{n}  
จงหาว่า คาบของอนุภาคนี้ ขึ้นอยู่กับพลังงานรวม  E อย่างไร (ตอบในรูปของ  n  E และค่าคงที่ )
« Last Edit: June 08, 2009, 09:25:22 PM by nklohit » Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166


« Reply #477 on: June 25, 2009, 11:31:20 PM »

ตอบข้อ 83 นะครับ  Smiley
เริ่มต้นจาก เลื่อนวัตถุออกมาเป็นระยะ x_0=+\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}และปล่อยให้เคลื่อนที่อย่างอิสระ
ดังนั้นพลังงานรวมของวัตถุคือ kx_0^n
เราหาเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่สู่ตำแหน่งสมดุลคือตั้งแต่ x_0\to  0 จะมีค่า =\dfrac{T}{4}
เราได้ว่า จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน
E=K+U
E=\dfrac{m\dot{x}^2}{2}+k|x|^n
E-k|x|^n=\dfrac{m\dot{x}^2}{2}
\dfrac{2}{m}(E-kx^n)=\dot{x}^2
เนื่องจากการพิจารณาข้างต้น ความเร็วจะเป็นค่าติดลบเพราะวัตถุเคลื่อนที่กลับสู่ตำแหน่งสมดุล
\therefore \sqrt{\dfrac{2}{m}(E-kx^n)}=-\dfrac{dx}{dt}
dt=-\dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-kx^n)}}
\displaystyle \dfrac{T}{4}=\int dt=-\int_{x_0}^{0} \dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-kx^n)}}=\int_{0}^{x_0}}\dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-kx^n)}}
\displaystyle \dfrac{T}{4}=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{E-kx^n}}
\displaystyle T=2\sqrt{2m}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{E-kx^n}}
\displaystyle T=2\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\frac{kx^n}{E}}}
\displaystyle T=2\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\frac{kx^n}{kx_0^n}}}
\displaystyle T=2x_0\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{x=0}^{x=x_0}\dfrac{d(x/x_0)}{\sqrt{1-(\frac{x}{x_0})^n}}
กำหนดให้ A=x/x_0
\displaystyle T=2x_0\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
เมื่ออินทิกรัลตัวหลังเป็นค่าคงตัวที่ไม่มีหน่วย กำหนดเป็น S
\therefore \displaystyle T=2x_0\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
จาก x_0=\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}ทำการแทนค่า
จะได้ว่า \therefore \displaystyle T=2\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}\sqrt{\dfrac{2m}{E}}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
หรือ \therefore \displaystyle T=\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}\sqrt{\dfrac{m}{E}}2\sqrt{2}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}
แต่ 2\sqrt{2}\int_{A=0}^{A=1}\dfrac{dA}{\sqrt{1-A^n}}เป็นค่าคงตัวที่ไม่ขึ้นกับตัวแปรใดๆ
เราเขียนคาบที่หาได้ใหม่เป็นหรือ \displaystyle T=\sqrt[n]{\dfrac{E}{k}}\sqrt{\dfrac{m}{E}}S
\therefore T=E^{\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\left(\dfrac{m^n}{k^2}\right)^{1/2n}S
โดยที่ S เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นกับตัวแปรใดๆ
จบการพิสูจน์  Smiley  Smiley
« Last Edit: March 13, 2010, 06:48:14 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166


« Reply #478 on: June 26, 2009, 12:00:24 AM »

ข้อ 84
จงหาคาบการสั่นของลูกตุ้มแบบท่อนไม้บิด หรือ bifilar pendulum
กำหนดให้ ท่อนไม้ยาว 2R เชือก 2 เส้นผูกห่างกัน 2D และยาว S
โดยกำหนดให้ท่อนไม้หมุนด้วย amplitude เล็กๆรอบแกนดังรูป
« Last Edit: June 26, 2009, 06:22:51 PM by Amber » Logged
tip
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 194


« Reply #479 on: July 03, 2009, 05:50:37 PM »

ตอบข้อ84
รูปอยู่ด้านล้างนะครับ
กำหนดให้เชือกมีแรงตึงในแต่ละเส้นเท่ากับT
ใช้สมการทอร์กรอบจุดCM
I_{cm}\dfrac{d^{2}}{dt^{2} }\theta =(-T\sin \psi )D+(-T\sin \psi )D
ใช้กฎข้อที่1ของนิวตันกับท่อนไม้
T\cos \psi +T\cos \psi =Mg
หากพิจารณาเป็นการสั่นเล็กๆ\psi น้อยๆ
\sin \psi \simeq \psi
\cos \psi \simeq 1
ดังนั่นสมการข้างต้นทั้ง2จะสลายไปเป็น
I_{cm}\dfrac{d^{2}}{dt^{2} }\theta =(-T\psi )D+(-T\psi )D
T=\dfrac{Mg}{2}
และจากรูปด้านล่างเราสังเกตเห็นว่า
\delta =D\theta =S\psi (ถ้า\psi และ\thetaเป็นมุมเล็กๆ)
ทำให้ได้
\psi =\dfrac{D}{S}\theta
และสำหรับท่อนไม้บางมากๆไม่คำนึงถึงรัศมีของหน้าตัดI_{cm}=\dfrac{1}{3}MR^{2}
แก้3สมการข้างต้นพร้อมกัน ได้ว่า
\dfrac{d^{2}}{dt^{2} }\theta =-(\dfrac{3gD^{2}}{R^{2}S})\theta
\therefore \omega =\dfrac{D}{R}\sqrt{\dfrac{3g}{S}}
T=2\pi \dfrac{R}{D}\sqrt{\dfrac{S}{3g}}
« Last Edit: July 08, 2009, 06:09:57 PM by tip » Logged
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Up
Print
Jump to: