Problems Solving Marathon : Mechanics

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #45 on: April 23, 2006, 11:31:32 AM »

คุยกะโพเรื่องนี้แล้วครับ เห็นบอกว่าจะรอกระทู้นี้บูมก่อน ค่อยทำหัวข้ออื่น
(หรือถ้ากระทู้นี้แป็ก ก็จะได้แป็กแค่กระทู้นี้กระทู้เดียว)

ป.ล.Mwitish คือพี่เอิงเปล่่าคับ


	Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148

Tung

neutrino

Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #46 on: April 23, 2006, 02:36:39 PM »

ผมงงนิดหน่อยครับ icon adore

Quote from: Mwitish on April 23, 2006, 12:17:16 AM

จากสมบัติเบื้องต้นในการ integral ฟังก์ชันพหุนาม $\displaystyle{ \int_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int_{-a}^{a}{P(x)dx}$

ผมเข้าใจว่าน่าจะเป็น $\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}$ ใช่ป่ะครับ แล้วมันใช้ได้ในทุกพหุนามหรอครับ

Quote from: Mwitish on April 23, 2006, 12:17:16 AM

แทน $\displaystyle{\lambda = \frac{M}{L}}$ แล้วจัดรูป

อันนี้คงเป็น $\displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}}$
แล้วเราสามารถประมาณ $\displaystyle{(L+x)^3 \approx L^3}$ ได้เลยหรอครับ icon adore


« Last Edit: March 14, 2010, 03:06:59 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #47 on: April 23, 2006, 07:11:19 PM »

ผมยังไม่ค่อยเข้าใจเรื่องลิมิตของมุมกระเจิงเท่าไหร่อะครับ
พี่ Mwitishช่วยมาอธิบายด้วยได้ไม๊ครับ Grin


	Logged

Mwitish

neutrino

Offline

Posts: 142

When the solution is simple, God is answering.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #48 on: April 23, 2006, 09:36:53 PM »

Quote from: Tung on April 23, 2006, 02:36:39 PM

ผมงงนิดหน่อยครับ icon adore

Quote from: Mwitish on April 23, 2006, 12:17:16 AM

จากสมบัติเบื้องต้นในการ integral ฟังก์ชันพหุนาม $\displaystyle{ \int_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int_{-a}^{a}{P(x)dx}$

Quote from: Mwitish on April 23, 2006, 12:17:16 AM

แทน $\displaystyle{\lambda = \frac{M}{L}}$ แล้วจัดรูป

$\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}$
ใช้ได้ในฟังก์ชันพหุนามที่ดีกรี $\displaystyle{x}$ เป็นคี่ ถ้าดีกรีคู่จะได้ 0

$\displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}}$

สำหรับอื่นๆวิธีทำแก้แล้วครับเพิ่มให้ละเอียดขึ้นนิดหน่อย

ขอโทดนะฮับที่พิมพ์ผิด(เมาไปหน่อย) icon adore

ขอบคุณมากๆที่ช่วยเตือน


« Last Edit: March 14, 2010, 03:07:44 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Tung

neutrino

Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #49 on: April 23, 2006, 09:49:35 PM »

Quote from: Mwitish on April 23, 2006, 09:36:53 PM

$\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}$
ใช้ได้ทุกฟงก์ชันพหุนามครับ

แล้วถ้าสมมติ $\displaystyle{P(x) = x^3+x^2+x+1}$
จะได้ $\displaystyle{\int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = \frac{2a^3}{3}+2a = 2\times (\frac{a^3}{3}+a)}$
แต่ $\displaystyle{2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx = 2\times (\frac{a^4}{4}+\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}+a)}$
จะได้ $\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx \ne 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}$ ครับ Cry


« Last Edit: March 14, 2010, 03:08:16 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา

Mwitish

neutrino

Offline

Posts: 142

When the solution is simple, God is answering.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #50 on: April 23, 2006, 09:51:17 PM »

Quote from: G on April 23, 2006, 07:11:19 PM

มวลสองก้อนมันวิ่งมาใชนกันแล้วกระเจิงออกไป จะมีกรณีนึงมุมกระเจิงของ $\displaystyle{m_1}$ นี่จะมีลิมิตอยู่ว่าจะไม่เก


	Logged

Mwitish

neutrino

Offline

Posts: 142

When the solution is simple, God is answering.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #51 on: April 23, 2006, 10:02:25 PM »

Quote from: Tung on April 23, 2006, 09:49:35 PM

Quote from: Mwitish on April 23, 2006, 09:36:53 PM

$\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}$
ใช้ได้ทุกฟงก์ชันพหุนามครับ

แก้ให้แล้วครับ โทดทีมือพาไปใจไม่ได้สั่ง ทีหลังจะรอบคอบกว่านี้ bang head


« Last Edit: March 14, 2010, 03:08:35 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Mwitish

neutrino

Offline

Posts: 142

When the solution is simple, God is answering.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #52 on: April 23, 2006, 10:31:43 PM »

Quote from: G on April 23, 2006, 11:31:32 AM

ตัวตนที่แท้จริงของป๋ม ดูในชื่อเอ็มก้อรู้ครับ


« Last Edit: March 14, 2010, 03:08:55 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #53 on: April 24, 2006, 12:57:15 AM »

ข้อ 9
จาก Conservation of Momentum and Energy จะได้ว่า
1. $m_1 v^\prime_1\sin\theta_1=m_2 v^\prime_2\sin\theta_2$
2. $m_1 v_1=m_1 v^\prime_1\cos\theta_1+m_2 v^\prime_2\cos\theta_2$
3. $\displaystyle{\frac{1}{2}m_1 v^2_1=\frac{1}{2}m_1 {v^\prime}^2_1+\frac{1}{2}m_2 {v^\prime}^2_2}$

จากสมการที่ 2 ได้ว่า
$m_1 v_1-m_1 v^\prime_1\cos\theta_1=m_2 v^\prime_2\cos\theta_2$
ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้
4. $m^2_1 v^2_1-2m^2_1 v_1 v^\prime_1\cos\theta_1+m^2_1 {v^\prime}^2_1\cos^2\theta_1=m^2_2 {v^\prime}^2_2\cos^2\theta_2$

จากสมการที่ 1 นำมายกกำลังสองเช่นกัน จะได้
5. $m^2_1 {v^\prime}^2_1\sin^2\theta_1=m^2_2 {v^\prime}^2_2\sin^2\theta_2$

นำสมการ 4 และ 5 มาบวกกัน แล้วอาศัย Trigonometric Identity $\sin^2A+\cos^2A=1$ จะได้
6. $m^2_1 v^2_1-2m^2_1 v_1 v^\prime_1\cos\theta_1+m^2_1 {v^\prime}^2_1=m^2_2 {v^\prime}^2_2$

นำสมการที่ 3 มาคูณสอง จะได้
$m_1 v^2_1=m_1 {v^\prime}^2_1+m_2 {v^\prime}^2_2}$
7. $m_1 v^2_1-m_1 {v^\prime}^2_1=m_2 {v^\prime}^2_2}$

จับสมการ 6 และ 7 มาเท่ากัน แล้วจัดรูปให้เป็น Quadratic Eqution $ax^2+bx+c=0$ แล้วหารด้วย $m_1$ ทั้งสองข้าง จะได้
8. $(m_1+m_2){v^\prime}^2_1-(2m_1 v_1\cos\theta_1) v^\prime_1+(m_1-m_2)v^2_1=0$

แก้สมการนี้ด้วย form ที่ได้เรียนมาตอน ม.3 Grin

$\displaystyle{v^\prime_1=\frac{2m_1 v_1\cos\theta_1 \pm \sqrt{4m^2_1 v^2_1\cos^2\theta_1-4(m^2_1-m^2_2)v^2_1}}{2(m_1+m_2)}}$
$\displaystyle{v^\prime_1=\frac{2m_1 v_1\cos\theta_1 \pm 2v_1\sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1}}{2(m_1+m_2)}}$

9. $\displaystyle{v^\prime_1=v_1[\frac{m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1}}{(m_1+m_2)}]}$

สมการนี้ทำให้เราสามารถข้ามไปตอบคำถามข้อ 2 และ 3 ได้เลย
พิจารณาว่าค่าที่ได้นี้ต้องเป็น real number
ดังนั้น $m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1\geq 0$ จะแก้อสมการได้สองคำตอบดังนี้
10.1 $m_2\geq m_1\sin\theta_1$
10.2 $m_2\leq -m_1\sin\theta_1$
(เราจะไม่พิจารณากรณี 10.2 นี้เนื่องจากสมการบ่งว่ามุม $\theta_1$ เป็นลบหรือมีค่ามากกว่า $\pi$ ซึ่งไม่ใช่กรณีในโจทย์ข้อนี้)

จาก 10.1 จะได้ว่า
$\displaystyle{\sin^{-1}(\frac{m_2}{m_1})\geq \theta_1}$
ค่า $\theta_1$ นี้จะถูกลิมิตเมื่อ $m_1 > m_2$ แต่ถ้าหากว่า $m_1 <m_2$ $\theta_1$ จะมีค่าเป็นเท่าไรก็ได้ ตอบ 2
และ $\displaystyle{\theta_{max}=\sin^{-1}(\frac{m_2}{m_1})}$ ตอบ 3

หันกลับมาทำข้อ 1 ต่อ
พิจารณา $v_{cm}$ โดยหาจากช่วงก่อนการชนเพราะง่ายกว่า และมีค่าเท่ากันเนื่องจากไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ จะได้ว่า
$\displaystyle{v_{cm}=\frac{m_1 v_1}{m_1+m_2}}$ ซึ่งมีในแนวแกน $X$ เท่านั้น(ตามรูปในโจทย์)
พิจารณาความเร็วสัมพัทธ์ ได้ว่า
11. $\displaystyle{\tan\Theta=\frac{v^\prime_1 \sin\theta_1}{v^\prime_1 \cos\theta_1-\frac{m_1 v_1}{m_1+m_2}}}$

แทนค่า $v^\prime_1$ จากสมการที่ 9 ลงในสมการที่ 11 ตัดทอนเศษส่วน จะได้ว่า
12. $\displaystyle{\tan\Theta=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\sin\theta_1}{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\cos\theta_1-m_1}}$

จากปีทากอรัสจะได้ว่า

13. $\displaystyle{\sin\Theta=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\sin\theta_1}{m_2}}$

14. $\displaystyle{\cos\Theta=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\cos\theta_1-m_1}{m_2}}$
เราก็จะหยุดตรงนี้เพราะไม่รู้จะทำอะไรต่อ !!!
เนื่องจากผมเห็นคำตอบที่สวยงามจากผู้ post โจทย์แล้ว เราสามารถจัดรูปสมการต่อได้ เพื่อกำจัดเครื่องหมาย $\pm$ ที่กวนใจอยู่ดังนี้

จากสมการที่ 14 ย้ายข้าง
15. $\displaystyle{\cos\Theta+\frac{m_1}{m_2}=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\cos\theta_1}{m_2}}$

หารสมการที่ 13 ด้วย 15 ได้ว่า
$\displaystyle{\tan\theta_1=\frac{\sin\Theta}{\cos\Theta+\frac{m_1}{m_2}}}$ ตอบ 1


« Last Edit: March 14, 2010, 03:10:09 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #54 on: April 24, 2006, 01:26:28 AM »

ข้อ 10
ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ-Special Relativity นั้นจะมีการแปลงค่าของระยะทาง เวลา ความเร็วในทิศต่างๆ ที่สังเกตได้ระหว่างๆ กรอบอ้างอิงนั้นๆ ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน
เมื่อให้กรอบอ้างอิง $S^\prime$ เคลื่อนที่สัมพัทธ์ในแนวแกน $X$ กับกรอบอ้างอิง $S$ ด้วยอัตราเร็ว $u$
จะมีสมการการแปลงแบบลอเรนต์ซของความเร็วในแนวแกน $X, Y,Z$ ดังนี้
$\displaystyle{v^\prime_x}=\frac{v_x-u}{1-\frac{uv_x}{c^2}}}$
$\displaystyle{v^\prime_y}=\frac{v_y}{\gamma(1-\frac{uv_x}{c^2})}}$
$\displaystyle{v^\prime_z}=\frac{v_z}{\gamma(1-\frac{uv_x}{c^2})}}$
จงทำการพิสูจน์สมการการแปลงโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ
$\displaystyle{\boxed{P^\prime_x=\gamma(P_x-\frac{VE}{c^2}), P^\prime_y=P_y, P^\prime_z=P_z}}$
เมื่อ $\displaystyle{\vec P=\frac{m_0\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}$


« Last Edit: April 24, 2006, 01:33:43 AM by BD&MwitStu. »	Logged

ampan

SuperHelper

Offline

Posts: 1140

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #55 on: April 24, 2006, 05:02:35 AM »

Quote from: Tung on April 23, 2006, 09:49:35 PM

เหอๆๆ มันหมายความแบบนี้ที่ไหนเหรอ สับสน
เราบอกว่า ถ้า เป็น $x^3$ จะใช้ที่เขียนได้ แต่ $x^2$ มันจะเป็น 0 ไป เพราะฉะนั้น .......


« Last Edit: March 14, 2010, 03:10:36 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #56 on: April 24, 2006, 03:11:43 PM »

ข้อ10

ขั้นแรกเปลี่ยนกลับเป็น
$cdt^\prime=\gamma(cdt-\displaystyle{\frac{vdx}{c^2}})$
$dx^\prime=\gamma(dx-vdt$
$dy^\prime=dy$
$dz^\prime=dz$

จากนั้นเราก็เขียนเป็น
$\left( \begin{array}{*{20}c} cdt^\prime \\ dx^\prime \\ dy^\prime \\ dz^\prime \\\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}c} \gamma & -\displaystyle{\frac{v}{c}} & 0 & 0 \\ -\displaystyle{\frac{v}{c}} & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {cdt} \\ {dx} \\ {dy} \\ dz \\\end{array}} \right)$

ซึ่งเราเรียกตัวนี้ว่า 4-vector เขียนแทนด้วย dX จากนั้นเรารู้ว่า $V=\displaystyle{\frac{d}{d\tau}}X$ โดยที่ $\tau$ เป็น proper-time ของกรอบที่กำลังวิ่ง ซึ่งเท่ากับ $\gamma d\tau=dt$ เราจะได้ว่า
V $=\left( \begin{array}{*{20}c} c \\ v_{x^\prime} \\ v_{y^\prime} \\ v_{z^\prime} \\\end{array}} \right)=\gamma \left( {\begin{array}{*{20}c} \gamma & -\displaystyle{\frac{v}{c}} & 0 & 0 \\ -\displaystyle{\frac{v}{c}} & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {c} \\ v_{x} \\ v_{y} \\ v_z \\\end{array}} \right)$

และเรารู้อีกว่า P $=m$ V โดยที่ Pเป็น 4-momentum และ $m$ เป็น rest massเราจะได้ว่า

P $=\left( \begin{array}{*{20}c} mc \\ mv_{x^\prime} \\ mv_{y^\prime} \\ mv_{z^\prime} \\\end{array}} \right)=m\gamma \left( {\begin{array}{*{20}c} \gamma & -\displaystyle{\frac{v}{c}} & 0 & 0 \\ -\displaystyle{\frac{v}{c}} & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {c} \\ v_{x} \\ v_{y} \\ v_z \\\end{array}} \right)$

แตก Matrix ตัวนี้ให้เป็น 4 สมการจากนั้น เราคิดเฉพาะสามสมการล่างตามที่โจทย์สั่ง จะได้ว่า
${P_x}^\prime=-\gamma mv+{\gamma}^2mv_x$
และเรารู้ว่า $E=\gamma mc^2$
${P_x}^\prime=\gamma(mv_x-\displaystyle{\frac{Ev}{c^2}})$ ----------------------------------------------(1)
และในแถวที่ 3 และ 4 จะได้เป็น
$m{v_y}^\prime={P_y}^\prime=\gamma m{v_y}^\prime=P_y$ --------------------------------------------(2)
และ
$m{v_z}^\prime={P_z}^\prime=\gamma m{v_z}^\prime=P_z$ ---------------------------------------------(3)

ป.ล.ถ้า Matrix มันเบี้ยวเล็กๆก้อขออภัยด้วยนะครับ คิดซะว่ามือใหม่หัดพิมพ์


« Last Edit: March 14, 2010, 03:11:58 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #57 on: April 24, 2006, 03:29:53 PM »

ใครเห็นที่ผิด หรือไม่เข้าใจ กรุณาติดต่อทาง Personal Message นะครับ เนื้อที่ในบอร์ดจะได้มีไว้แค่ทำโจทย์ข้อต่อไป

ข้อ 11)
ทีเวลา $t=0$ แท่งวัตถุตรงบางสม่ำเสมอยาว $L=2R$ และมีมวล $M$ แท่งหนึ่งถูกปล่อยจากหยุดนิ่งภายใต้สนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ $g$ โดยที่ปลายล่างแตะกับพื้นระดับลื่นตลอดเวลา ที่เวลา $t$ ใดๆ แท่งวัตุเอียงทำมุม $\theta$ กับแนวดิ่ง โดยที่ $\theta=\theta_0$ ที่เวลา $t=0$ จงหาความสมการ(แค่สมการเดียว)ที่บอกความสัมพันธ์ระหว่าง ${\theta},\displaystyle{\frac{d}{dt}}\theta,\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}\theta$ ในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้

แนะนำ: หา $\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}\theta$ ในรูปของ ${\theta},\displaystyle{\frac{d}{dt}}\theta$


« Last Edit: March 14, 2010, 03:13:42 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

P o W i i

neutrino

Offline

Posts: 174

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #58 on: April 24, 2006, 07:54:34 PM »

ข้อ 11

ในเมื่อไม่มีแรงในแนวระดับกระทำต่อแท่งจึงไม่มีความเร่งในแนวระดับ
ความเร่งในแนวดิ่ง $\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}y=R[\sin\theta\frac{d^2}{dt^2}\theta+\cos\theta(\frac{d}{dt}\theta)^2}]$
สมการนิวตันในแนวดิ่ง ทิศลงใช้เครื่องหมายบวก $\displaystyle{Mg-N=M\frac{d^2}{dt^2}y}$
ได้ $\displaystyle{N=M[g-R\sin\theta\frac{d^2}{dt^2}\theta-R\cos\theta(\frac{d}{dt}\theta)^2}]$
สมการทอร์กรอบศูนย์กลางมวล $\displaystyle{(\frac{1}{3}MR^2)\frac{d^2}{dt^2}\theta=RN\sin\theta}$
แทนค่าและจัดรูปได้ $\displaystyle {\frac{R}{g}\frac{d^2}{dt^2}\theta=\frac{\sin\theta-\frac{R}{g}\cos\theta\sin\theta(\frac{d}{dt}\theta)^2}{\frac{1}{3}+\sin^2\theta}}$
เป็นอันจบ

$\mathfrak{By\;PoWii}\spadesuit$


« Last Edit: March 14, 2010, 03:14:35 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

P o W i i

neutrino

Offline

Posts: 174

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #59 on: April 24, 2006, 08:09:43 PM »

ข้อ 12
ยิงโปรเจกไทล์มวล $m$ ขึ้นในแนวดิ่งด้วยความเร็ว $u$ ผ่านอากาศแรงต้าน $kv^2$ เมื่อ $v$ คือความเร็วขณะนั้น
แล้วกลับลงมาถึงพื้นด้วยความเร็ว $w$ จงแสดงว่า $\displaystyle{\frac{1}{w^2}=\frac{1}{u^2}+\frac{k}{mg}}$


« Last Edit: March 14, 2010, 03:15:08 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 » Go Up

« previous next »