Problems Solving Marathon : Mechanics

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #180 on: November 27, 2006, 10:19:38 PM »

ข้อ 44)
Cavendish Problems 33*
A uniform plank stands on a smooth floor vertically against a smooth wall; its lower end is pushed gently so as toslide freely away from the wall. Show that when it makes an angle $\sin^{-1}\dfrac{2}{3}$ with the horizontal its upper end leaves the wall.

แปลไทย
คานสม่ำเสมออันนึง วางพิงกำแพงลื่นบนพื้นลื่น จงแสดงว่า เมื่อคานทำมุม $\sin^{-1}\dfrac{2}{3}$ กับแนวระดับ ปลายบนของคานจะหลุดจากกำแพง


	Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148

Mwit_Psychoror

SuperHelper

Offline

Posts: 782

Reality is the average of all illusion

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #181 on: December 28, 2006, 07:41:01 PM »

ท่าน G ขอรับ ข้อเรือ (นาย สมPOP ) ครับ ทำไมผมได้คำตอบว่า $\displaystyle{x=\frac{m_{pop}L}{m_{boat}+m_{pop}}$ ข้าพเจ้าดูวิธีทำท่าน G แล้วไม่เข้าใจครับ bang head

โปรดชี้แนะด้วยครับ


	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #182 on: February 18, 2007, 08:41:49 PM »

ขอบคุณ Mwit_Psycoror ที่มาบอกครับ ผมทำผิดเองแหละ buck2

ขอบคุณที่บอกนะครับ ผมไปแก้วิธีทำของผมแล้วครับ


	Logged

Peeravit

neutrino

Offline

Posts: 295

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #183 on: February 19, 2007, 02:08:46 PM »

ข้อ 44

สมการการเคลื่อนที่แนวราบ

$\displaystyle N=m\frac{d^2}{dt^2 }\left( \frac{l}{2}\cos \theta \right)$
$\displaystyle N=m\left(\ddot{\theta}\sin \theta+(\dot{\theta})^2\cos \theta \right)$

ปลายบนหลุดเมื่อ $\displaystyle N=0$ ดังนั้น

$\ddot{\theta}\sin \theta+(\dot{\theta})^2\cos \theta=0$ --------(1)

สมการพลังงาน
$\displaystyle mg\frac{l}{2}=mg\frac{l}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}m\left( \frac{d}{dt }\frac{l}{2}\sin \theta\right)^2+\frac{1}{2}m\left( \frac{d}{dt }\frac{l}{2}\cos \theta \right)^2 +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}ml^2 \right) (\dot{\theta})^2$

แทนค่าและจัดรูปได้

$\displaystyle (\dot{\theta})^2=\frac{3g}{l}(1-\sin \theta)$ --------(2)
$\displaystyle \ddot{\theta}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\theta}(\dot{\theta})^2=-\frac{3g}{2l}(\cos \theta)$ --------(3)

นำ (2) และ (3) แทนใน (1) จะได้ $\displaystyle \theta=\sin ^{-1} \frac{2}{3}$


	Logged

Peeravit

neutrino

Offline

Posts: 295

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #184 on: February 19, 2007, 02:37:22 PM »

ข้อ 45

ปั่นลูกบอลให้หมุนรอบแกนที่ขนานกับพื้นและลากผ่านจุดศูนย์กลางมวล (แกน $\displaystyle AB$ ในรูป)

แล้วปล่อยบอลให้ตกจากที่สูง $h$ พบว่าลูกบอลจะกระดอนขึ้นได้สูงสุดเป็น $\displaystyle \alpha$ เท่าของ $h$

ถ้าลูกบอลหมุนขูดพื้นตลอดเวลาที่มันสัมผัสพื้น และสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างผิวลูกบอลกับพื้นเป็น $\mu _k$

จงหาว่าลูกบอลจะกระดอนออกจากพื้นด้วยมุม $\theta$ เป็นเท่าไร


	Logged

toaster

neutrino

Offline

Posts: 466

ในเมื่อใจคิดว่าทำไม่ได้ แล้วมันจะทำได้ได้ยังไง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #185 on: February 19, 2007, 08:47:13 PM »

ข้อ45

ให้ความเร็วหลังกระทบพื้นตามแกนดิ่งเป็น $v_y$ จะได้ $v_y = \sqrt{2gh\alpha}$
ขณะที่ลูกบอลกระทบพื้น ให้แรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่พื้นกระทำเป็น $\overrightarrow{N}(t)$
จากเรื่องการดล-โมเมนตัม จะได้ว่า $\int_{\Delta t}N(t) dt = m(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh})$ (ให้ทิศขึ้นเป็นบวก)

แรงเสียดทานจลทีค่าเป็น $\mu N(t)$ และให้ความเร็วแนวระดับตอนหลังเป็น $v_x$
จากเรื่องการดล-โมเมนตัม จะได้ว่า $\int_{\Delta t} \mu N(t) dt = \mu m(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) = mv_x$ (ให้ทิศขึ้นเป็นบวก)

$\theta = \arctan v_y/v_x = \sqrt{2gh\alpha}/\mu(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) = \sqrt{\alpha }/\mu (\sqrt{\alpha }+1)$ ตอบ


	Logged

ระหว่างสิ่งที่เรารัก กับคนที่เรารัก เราควรเลือกสิ่งใดกัน
แต่ถ้าคนที่เรารัก ไม่รักเรา แล้วเราจะมีทางให้เลือกไหม

toaster

neutrino

Offline

Posts: 466

ในเมื่อใจคิดว่าทำไม่ได้ แล้วมันจะทำได้ได้ยังไง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #186 on: February 19, 2007, 09:12:11 PM »

ข้อ 46
วางเชือกสม่ำเสมอไว้บนแผ่น2แผ่นที่ต่างทำมุม $\theta$ กับพื้นดังรูป ให้ส.ป.ส.ความเสียดมานสถิตย์ระหว่างเชือกกับพื้นเป็น 1
และระบบมีความสมมาตร 1.ให้หาเศษส่วนของเชือกที่ไม่แตะกับพื้นแผ่นต่อเชือกทั้งหมด 2.หามุม $\theta$ ที่ทำให้ค่าจากข้อ 1.โตสุด


« Last Edit: March 14, 2010, 02:31:55 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #187 on: February 19, 2007, 10:54:14 PM »

วิธีทำข้อ 46
1.)
สมมติให้เชือกทั้งหมดยาว $l$ และส่วนที่ไม่แตะกับพื้นยาว $x$ ถ
ถ้าหากเชือกอยู่นิ่งเราสามารถบอกได้ว่า แรงลัพธ์ที่กระทำต่อเชือกทั้งส่วนที่สัมผัสพื้น และไม่สัมผัสพื้นมีค่าเป็นศูนย์
คิดแรงที่กระทำต่อส่วนที่ไม่สัมผัสพื้นจะได้
$2T\sin\theta =\lambda x g$ โดยที่ $\lambda$ เป็นมวลต่อความยาวของเชือก
คิดแรงที่กระทำต่อเชือกส่วนที่สัมผัสกับพื้นด้านใดด้านหนึ่ง จะได้ว่า
$T+\lambda (\dfrac{l-x}{2})g\sin\theta =\mu \lambda (\dfrac{l-x}{2})g\cos\theta$
แทนค่า $mu=1$ ลงไปจะได้
$2T+\lambda(l-x)g\sin\theta=\lambda(l-x)g\cos\theta$
แทนค่า $2T$ จากสมการแรกลงไปจะได้
$\dfrac{x}{\sin\theta}+(l-x)sin\theta=(l-x)\cos\theta$
$x\cos^2\theta+l\sin^2\theta=(l-x)\sin\theta\cos\theta$
$x\cos\theta (\sin\theta +\cos\theta)=l\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta)$
$\dfrac{x}{l}=\dfrac{\tan\theta (\cos\theta-\sin\theta)}{\sin\theta +\cos\theta}$

2.)
เราสามารถหาค่ามุมที่ทำให้ ค่า $\dfrac{x}{l}$ โตสุดได้โดยการ ดิฟเฟอเรนทิเอท เทียบกับตัวแปรอะไรซักตัวและจับเท่ากับศูนย์ เราลองจัดรูท เทอม $\dfrac{x}{l}$ จะได้ว่า
$\dfrac{x}{l}=\dfrac{\cos\theta}{\cos\theta}\times\dfrac{\tan\theta (\cos\theta-\sin\theta)}{\sin\theta +\cos\theta}$
$\dfrac{x}{l}=\dfrac{\tan\theta (1-\tan\theta)}{tan\theta +1}$
ดิฟเฟอเรนทิเอทเทียบกับ $\tan\theta$ จะได้
$(1+\tan\theta)(1-2\tan\theta)=\tan\theta(1+\tan\theta)$
$1-\tan\theta-2\tan^2\theta=\tan\theta+\tan^2\theta$
$0=3\tan^2\theta+2\tan\theta-1$
$\tan\theta=\dfrac{1}{3},-1$
แต่เราเลือกเฉพาะค่า $\tan\theta$ ที่มีค่าเป็นบวก ดังนั้น สรุปได้ว่า
$\theta_{(x/l)max}=\tan^{-1}\dfrac{1}{3}$


« Last Edit: March 14, 2010, 02:33:24 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #188 on: February 19, 2007, 11:17:59 PM »

ข้อ 47
ข้อนี้ไม่ยากเท่าไหร่ครับ เป็นโจทย์ที่อาจารย์เอามาปล่อยในค่าย
มีลูกตุ้มอันหนึ่ง แขวนด้วยเชือกเบายาว $l$ ไว้ที่เพดานรถคันหนึ่งดังรูป หากรถคันนี้ ถูกทำให้เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง $A$ ในทันที จงหามุมมากที่สุด ที่ลูกตุ้มนี้กระทำกับแนวดิ่ง


« Last Edit: March 14, 2010, 02:33:46 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Peeravit

neutrino

Offline

Posts: 295

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #189 on: February 20, 2007, 01:12:03 PM »

วิธีทำข้อ 47

สมการการเคลื่อนที่แนวราบ

$\displaystyle T\sin \theta = m \left(A + \frac{d^2}{dt^2 }x\right) =m\left(A + \frac{1}{2}\frac{d}{dx}v_x^2\right)$ ------(1)

แต่ $\displaystyle dx=d(-l sin\theta)=-l \cos\theta d\theta$

ทำการ $\displaystyle Integrate$ สมการ (1) เทียบกับ $-l \cos\theta d\theta$ จะได้ว่า

$\displaystyle -\int_{0}^{\theta}Tl sin\theta\cos\theta d\theta +mAl\sin \theta=\frac{1}{2}mv_x^2$ ------(2)

สมการการเคลื่อนที่แนวดิ่ง

$\displaystyle T\cos \theta - mg = \frac{1}{2}m \frac{d}{dy}v_y^2$ --------(3)

$\displaystyle dx=d(l -l\cos\theta)=l \sin\theta d\theta$

ทำการ $\displaystyle Integrate$ สมการ (3) เทียบกับ $l \sin\theta d\theta$ จะได้ว่า

$\displaystyle \int_{0}^{\theta}Tl sin\theta \cos\theta d \theta -mgl(1-\cos \theta)=\frac{1}{2}mv_y^2$ ------(4)

นำสมการ (2) +(4) โดยระลึกว่า $v_x^2+v_y^2 = v^2$ จะได้ว่า

$\displaystyle mAl\sin \theta = mgl(1-\cos \theta)+\frac{1}{2}mv^2$

ที่ตำแหน่งซึ่ง $\displaystyle \theta$ มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0 ดังนั้น

$\displaystyle mAl\sin \theta_{m} = mgl(1-\cos \theta_{m})$
$\displaystyle \frac{A}{g}= \cosec \theta_{m} - \cot \theta_{m} = \tan \left(\frac{\theta_{m}}{2}\right)$

$\displaystyle \therefore \theta_{m}=2\tan ^{-1}\left( \frac{A}{g}\right)$


« Last Edit: February 20, 2007, 05:49:03 PM by Peeravit »	Logged

Peeravit

neutrino

Offline

Posts: 295

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #190 on: February 20, 2007, 05:31:13 PM »

ข้อ 48

ท่อนไม้มวลสม่ำเสมอยาว $\displaystyle l = 30 \; \text{cm}$ วางเอียงทำมุม $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}\; \text{rad}$ กับพื้นลื่น

เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด ปลายบนของท่อนไม้จึงจะชนกับพื้น (ให้ใช้ค่า $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ )

ปล. สามารถใช้เครื่องคำนวณในการอินทิเกรตได้


« Last Edit: February 21, 2007, 09:33:28 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 5613

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #191 on: February 20, 2007, 07:23:01 PM »

Quote from: Peeravit on February 20, 2007, 01:12:03 PM

...
ที่ตำแหน่งซึ่ง $\displaystyle \theta$ มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0 ดังนั้น
...

ลูกตุ้มมีความเร็วเป็นศูนย์ แล้วมันไปกับรถที่กำลังเคลื่อนที่ได้อย่างไร Huh


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Peeravit

neutrino

Offline

Posts: 295

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #192 on: February 20, 2007, 07:54:19 PM »

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 20, 2007, 07:23:01 PM

Quote from: Peeravit on February 20, 2007, 01:12:03 PM

ความเร็วในสมการมันหมายถึงความเร็วของลูกตุ้มเทียบกับรถครับ icon adore


	Logged

ccchhhaaammmppp

SuperHelper

Offline

Posts: 783

物理が楽しいです　 Physics is fun

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #193 on: February 21, 2007, 08:27:37 PM »

เสียวๆว่ามันจะกระดก เหอะๆ แต่คิดว่าไม่น่าจะกระดกเพราะเคยพิสูจน์แล้วว่าไม่กระดก buck2


	Logged

สาธิตจุฬาCUD42 , 37-38th IPhO , 08' Monbusho Scholar , CUIntania91 , UCE17/19/21

ccchhhaaammmppp

SuperHelper

Offline

Posts: 783

物理が楽しいです　 Physics is fun

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #194 on: February 22, 2007, 06:15:25 PM »

ปลายไม้อันล่างไม่กระดก - ต้องพิสูจน์ไหม?? เอาเป็นว่ายังไม่ต้องก่อนละกัน

ให้ $\theta$ เป็นมุมที่ไม้กระทำต่อพื้นระดับ

ความสูงของ $cm$ เท่ากับ $\dfrac{l\sin\theta}{2}$
ทำให้ทราบความเร็วแนว $y$ เท่ากับ $\dfrac{l\cos\theta}{2}\dfrac{d}{dt}\theta$

จากสมการอนุรักษ์พลังงาน และไม่มีแรงในแนวระดับทำให้ไม่มีความเร็วในแนวระดับ

$mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha=mg\dfrac{l}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}mv_y^2+\dfrac{1}{2}I_c_m(\dfrac{d}{dt}\theta)^2$

$mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha=mg\dfrac{l}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{8}ml^2\cos^2\theta(\dfrac{d}{dt}\theta)^2+\dfrac{1}{24}ml^2(\dfrac{d}{dt}\theta)^2$
ตัด $\frac{ml}{2}$ ทั้ง2ข้าง
$g\sin\alpha=g\sin\theta+\dfrac{1}{4}l\cos^2\theta(\dfrac{d}{dt}\theta)^2+\dfrac{1}{12}l(\dfrac{d}{dt}\theta)^2$

$-\dfrac{d}{dt}\theta=\sqrt{(\dfrac{g}{12l})(\dfrac{\sin\alpha-\sin\theta}{1+3\cos^2\theta})}$

$T\sqrt{\dfrac{g}{12l}}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\dfrac{1+3\cos^2\theta}{\sin\frac{\pi}{4}-\sin\theta}}d\theta$

กดเครื่องคิดเลขๆๆได้ว่า

$T\sqrt{\dfrac{g}{12l}}=3.54$

$T=3.54\times 0.606s=2.15s$


« Last Edit: March 14, 2010, 02:34:38 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

สาธิตจุฬาCUD42 , 37-38th IPhO , 08' Monbusho Scholar , CUIntania91 , UCE17/19/21

Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 » Go Up

« previous next »

คุณสมบัติของเด็กดี