ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

39888 Posts in 5848 Topics- by 4513 Members - Latest Member: Madgentle
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Down
Print
Author Topic: Problems Solving Marathon : Mechanics  (Read 254359 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1222


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #180 on: November 27, 2006, 10:19:38 PM »

ข้อ 44)
Cavendish Problems 33*
A uniform plank stands on a smooth floor vertically against a smooth wall; its lower end is pushed gently so as toslide freely away from the wall. Show that when it makes an angle \sin^{-1}\dfrac{2}{3}with the horizontal its upper end leaves the wall.

แปลไทย
คานสม่ำเสมออันนึง วางพิงกำแพงลื่นบนพื้นลื่น จงแสดงว่า เมื่อคานทำมุม \sin^{-1}\dfrac{2}{3} กับแนวระดับ ปลายบนของคานจะหลุดจากกำแพง
Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion


« Reply #181 on: December 28, 2006, 07:41:01 PM »

ท่าน G ขอรับ  ข้อเรือ (นาย สมPOP ) ครับ  ทำไมผมได้คำตอบว่า \displaystyle{x=\frac{m_{pop}L}{m_{boat}+m_{pop}} ข้าพเจ้าดูวิธีทำท่าน G แล้วไม่เข้าใจครับ   bang head bang head bang head bang head bang head bang head bang head bang head bang head bang head



โปรดชี้แนะด้วยครับ
Logged
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1222


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #182 on: February 18, 2007, 08:41:49 PM »

ขอบคุณ Mwit_Psycoror ที่มาบอกครับ ผมทำผิดเองแหละ  buck2
ขอบคุณที่บอกนะครับ ผมไปแก้วิธีทำของผมแล้วครับ
Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
Peeravit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 295



« Reply #183 on: February 19, 2007, 02:08:46 PM »

ข้อ 44

สมการการเคลื่อนที่แนวราบ

\displaystyle N=m\frac{d^2}{dt^2 }\left( \frac{l}{2}\cos \theta \right)
\displaystyle N=m\left(\ddot{\theta}\sin \theta+(\dot{\theta})^2\cos \theta  \right)

ปลายบนหลุดเมื่อ \displaystyle N=0ดังนั้น

\ddot{\theta}\sin \theta+(\dot{\theta})^2\cos \theta=0  --------(1)

สมการพลังงาน
\displaystyle mg\frac{l}{2}=mg\frac{l}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}m\left( \frac{d}{dt }\frac{l}{2}\sin \theta\right)^2+\frac{1}{2}m\left( \frac{d}{dt }\frac{l}{2}\cos \theta  \right)^2 +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}ml^2  \right) (\dot{\theta})^2

แทนค่าและจัดรูปได้

\displaystyle (\dot{\theta})^2=\frac{3g}{l}(1-\sin \theta)  --------(2)
\displaystyle \ddot{\theta}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\theta}(\dot{\theta})^2=-\frac{3g}{2l}(\cos \theta)  --------(3)

นำ (2) และ (3) แทนใน (1) จะได้ \displaystyle \theta=\sin ^{-1} \frac{2}{3}


* slide.jpg (47.79 KB, 524x446 - viewed 701 times.)
Logged
Peeravit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 295



« Reply #184 on: February 19, 2007, 02:37:22 PM »

ข้อ 45

ปั่นลูกบอลให้หมุนรอบแกนที่ขนานกับพื้นและลากผ่านจุดศูนย์กลางมวล (แกน \displaystyle AB ในรูป)

แล้วปล่อยบอลให้ตกจากที่สูง h พบว่าลูกบอลจะกระดอนขึ้นได้สูงสุดเป็น \displaystyle \alpha เท่าของ h

ถ้าลูกบอลหมุนขูดพื้นตลอดเวลาที่มันสัมผัสพื้น  และสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างผิวลูกบอลกับพื้นเป็น \mu _k

จงหาว่าลูกบอลจะกระดอนออกจากพื้นด้วยมุม \theta  เป็นเท่าไร


* ball.jpg (43.26 KB, 484x406 - viewed 694 times.)
Logged
toaster
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 466

ในเมื่อใจคิดว่าทำไม่ได้ แล้วมันจะทำได้ได้ยังไง


« Reply #185 on: February 19, 2007, 08:47:13 PM »

ข้อ45

ให้ความเร็วหลังกระทบพื้นตามแกนดิ่งเป็นv_y จะได้ v_y = \sqrt{2gh\alpha}
ขณะที่ลูกบอลกระทบพื้น ให้แรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่พื้นกระทำเป็น \overrightarrow{N}(t)
จากเรื่องการดล-โมเมนตัม จะได้ว่า \int_{\Delta t}N(t) dt = m(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) (ให้ทิศขึ้นเป็นบวก)

แรงเสียดทานจลทีค่าเป็น \mu N(t) และให้ความเร็วแนวระดับตอนหลังเป็นv_x
จากเรื่องการดล-โมเมนตัม จะได้ว่า \int_{\Delta t} \mu N(t) dt = \mu m(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) = mv_x (ให้ทิศขึ้นเป็นบวก)

\theta = \arctan v_y/v_x = \sqrt{2gh\alpha}/\mu(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) = \sqrt{\alpha }/\mu (\sqrt{\alpha }+1) ตอบ
Logged

ระหว่างสิ่งที่เรารัก กับคนที่เรารัก เราควรเลือกสิ่งใดกัน
แต่ถ้าคนที่เรารัก ไม่รักเรา แล้วเราจะมีทางให้เลือกไหม
toaster
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 466

ในเมื่อใจคิดว่าทำไม่ได้ แล้วมันจะทำได้ได้ยังไง


« Reply #186 on: February 19, 2007, 09:12:11 PM »

ข้อ 46
วางเชือกสม่ำเสมอไว้บนแผ่น2แผ่นที่ต่างทำมุม \theta กับพื้นดังรูป ให้ส.ป.ส.ความเสียดมานสถิตย์ระหว่างเชือกกับพื้นเป็น 1
และระบบมีความสมมาตร 1.ให้หาเศษส่วนของเชือกที่ไม่แตะกับพื้นแผ่นต่อเชือกทั้งหมด 2.หามุม \theta ที่ทำให้ค่าจากข้อ 1.โตสุด


* rope_on_plank.jpg (92.88 KB, 500x500 - viewed 653 times.)
« Last Edit: March 14, 2010, 02:31:55 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ระหว่างสิ่งที่เรารัก กับคนที่เรารัก เราควรเลือกสิ่งใดกัน
แต่ถ้าคนที่เรารัก ไม่รักเรา แล้วเราจะมีทางให้เลือกไหม
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1222


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #187 on: February 19, 2007, 10:54:14 PM »

วิธีทำข้อ 46
1.)
สมมติให้เชือกทั้งหมดยาว lและส่วนที่ไม่แตะกับพื้นยาว x
ถ้าหากเชือกอยู่นิ่งเราสามารถบอกได้ว่า แรงลัพธ์ที่กระทำต่อเชือกทั้งส่วนที่สัมผัสพื้น และไม่สัมผัสพื้นมีค่าเป็นศูนย์
คิดแรงที่กระทำต่อส่วนที่ไม่สัมผัสพื้นจะได้
2T\sin\theta =\lambda x gโดยที่ \lambdaเป็นมวลต่อความยาวของเชือก
คิดแรงที่กระทำต่อเชือกส่วนที่สัมผัสกับพื้นด้านใดด้านหนึ่ง จะได้ว่า
T+\lambda (\dfrac{l-x}{2})g\sin\theta =\mu \lambda (\dfrac{l-x}{2})g\cos\theta
แทนค่า mu=1ลงไปจะได้
2T+\lambda(l-x)g\sin\theta=\lambda(l-x)g\cos\theta
แทนค่า 2Tจากสมการแรกลงไปจะได้
\dfrac{x}{\sin\theta}+(l-x)sin\theta=(l-x)\cos\theta
x\cos^2\theta+l\sin^2\theta=(l-x)\sin\theta\cos\theta
x\cos\theta (\sin\theta +\cos\theta)=l\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta)
\dfrac{x}{l}=\dfrac{\tan\theta (\cos\theta-\sin\theta)}{\sin\theta +\cos\theta}

2.)
เราสามารถหาค่ามุมที่ทำให้ ค่า \dfrac{x}{l}โตสุดได้โดยการ ดิฟเฟอเรนทิเอท เทียบกับตัวแปรอะไรซักตัวและจับเท่ากับศูนย์ เราลองจัดรูท เทอม \dfrac{x}{l}จะได้ว่า
\dfrac{x}{l}=\dfrac{\cos\theta}{\cos\theta}\times\dfrac{\tan\theta (\cos\theta-\sin\theta)}{\sin\theta +\cos\theta}
\dfrac{x}{l}=\dfrac{\tan\theta (1-\tan\theta)}{tan\theta +1}
ดิฟเฟอเรนทิเอทเทียบกับ \tan\thetaจะได้
(1+\tan\theta)(1-2\tan\theta)=\tan\theta(1+\tan\theta)
1-\tan\theta-2\tan^2\theta=\tan\theta+\tan^2\theta
0=3\tan^2\theta+2\tan\theta-1
\tan\theta=\dfrac{1}{3},-1
แต่เราเลือกเฉพาะค่า \tan\thetaที่มีค่าเป็นบวก ดังนั้น สรุปได้ว่า
\theta_{(x/l)max}=\tan^{-1}\dfrac{1}{3}
« Last Edit: March 14, 2010, 02:33:24 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1222


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #188 on: February 19, 2007, 11:17:59 PM »

ข้อ 47
ข้อนี้ไม่ยากเท่าไหร่ครับ เป็นโจทย์ที่อาจารย์เอามาปล่อยในค่าย
มีลูกตุ้มอันหนึ่ง แขวนด้วยเชือกเบายาว lไว้ที่เพดานรถคันหนึ่งดังรูป หากรถคันนี้ ถูกทำให้เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง Aในทันที จงหามุมมากที่สุด ที่ลูกตุ้มนี้กระทำกับแนวดิ่ง


* pendulum_in_car.jpg (13.18 KB, 441x287 - viewed 655 times.)
« Last Edit: March 14, 2010, 02:33:46 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
Peeravit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 295



« Reply #189 on: February 20, 2007, 01:12:03 PM »

วิธีทำข้อ 47

สมการการเคลื่อนที่แนวราบ

\displaystyle T\sin \theta = m \left(A + \frac{d^2}{dt^2 }x\right) =m\left(A + \frac{1}{2}\frac{d}{dx}v_x^2\right) ------(1)

แต่ \displaystyle dx=d(-l sin\theta)=-l \cos\theta d\theta

ทำการ \displaystyle Integrate สมการ (1) เทียบกับ  -l \cos\theta d\theta จะได้ว่า

\displaystyle -\int_{0}^{\theta}Tl sin\theta\cos\theta d\theta +mAl\sin \theta=\frac{1}{2}mv_x^2 ------(2)

สมการการเคลื่อนที่แนวดิ่ง

\displaystyle T\cos \theta - mg = \frac{1}{2}m \frac{d}{dy}v_y^2 --------(3)

\displaystyle dx=d(l -l\cos\theta)=l \sin\theta d\theta

ทำการ \displaystyle Integrate สมการ (3) เทียบกับ   l \sin\theta d\theta จะได้ว่า

\displaystyle \int_{0}^{\theta}Tl sin\theta \cos\theta d \theta -mgl(1-\cos \theta)=\frac{1}{2}mv_y^2 ------(4)

นำสมการ (2) +(4) โดยระลึกว่า v_x^2+v_y^2 = v^2   จะได้ว่า

\displaystyle mAl\sin \theta = mgl(1-\cos \theta)+\frac{1}{2}mv^2

ที่ตำแหน่งซึ่ง \displaystyle \theta มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0  ดังนั้น

\displaystyle mAl\sin \theta_{m} = mgl(1-\cos \theta_{m})
\displaystyle \frac{A}{g}= \cosec \theta_{m} - \cot \theta_{m} = \tan \left(\frac{\theta_{m}}{2}\right)

\displaystyle \therefore \theta_{m}=2\tan ^{-1}\left( \frac{A}{g}\right)



* tum_in_car.jpg (46.69 KB, 512x400 - viewed 629 times.)
« Last Edit: February 20, 2007, 05:49:03 PM by Peeravit » Logged
Peeravit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 295



« Reply #190 on: February 20, 2007, 05:31:13 PM »

ข้อ 48

ท่อนไม้มวลสม่ำเสมอยาว \displaystyle l = 30 \; \text{cm} วางเอียงทำมุม  \displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}\;  \text{rad} กับพื้นลื่น

เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด  ปลายบนของท่อนไม้จึงจะชนกับพื้น (ให้ใช้ค่า g = 9.8 \text{ m/s}^2 )


ปล. สามารถใช้เครื่องคำนวณในการอินทิเกรตได้


* wood.jpg (34.03 KB, 232x181 - viewed 589 times.)
« Last Edit: February 21, 2007, 09:33:28 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5833


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #191 on: February 20, 2007, 07:23:01 PM »

...
ที่ตำแหน่งซึ่ง \displaystyle \theta มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0  ดังนั้น
...

ลูกตุ้มมีความเร็วเป็นศูนย์ แล้วมันไปกับรถที่กำลังเคลื่อนที่ได้อย่างไร  Huh
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Peeravit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 295



« Reply #192 on: February 20, 2007, 07:54:19 PM »

...
ที่ตำแหน่งซึ่ง \displaystyle \theta มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0  ดังนั้น
...

ลูกตุ้มมีความเร็วเป็นศูนย์ แล้วมันไปกับรถที่กำลังเคลื่อนที่ได้อย่างไร  Huh

ความเร็วในสมการมันหมายถึงความเร็วของลูกตุ้มเทียบกับรถครับ  icon adore
Logged
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 783


物理が 楽しいです  Physics is fun


WWW
« Reply #193 on: February 21, 2007, 08:27:37 PM »

เสียวๆว่ามันจะกระดก เหอะๆ แต่คิดว่าไม่น่าจะกระดกเพราะเคยพิสูจน์แล้วว่าไม่กระดก buck2
Logged

สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 783


物理が 楽しいです  Physics is fun


WWW
« Reply #194 on: February 22, 2007, 06:15:25 PM »

ปลายไม้อันล่างไม่กระดก - ต้องพิสูจน์ไหม?? เอาเป็นว่ายังไม่ต้องก่อนละกัน

ให้ \theta เป็นมุมที่ไม้กระทำต่อพื้นระดับ

ความสูงของ cm เท่ากับ \dfrac{l\sin\theta}{2}  
ทำให้ทราบความเร็วแนว y เท่ากับ \dfrac{l\cos\theta}{2}\dfrac{d}{dt}\theta

จากสมการอนุรักษ์พลังงาน และไม่มีแรงในแนวระดับทำให้ไม่มีความเร็วในแนวระดับ

mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha=mg\dfrac{l}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}mv_y^2+\dfrac{1}{2}I_c_m(\dfrac{d}{dt}\theta)^2

mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha=mg\dfrac{l}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{8}ml^2\cos^2\theta(\dfrac{d}{dt}\theta)^2+\dfrac{1}{24}ml^2(\dfrac{d}{dt}\theta)^2
ตัด \frac{ml}{2}ทั้ง2ข้าง
g\sin\alpha=g\sin\theta+\dfrac{1}{4}l\cos^2\theta(\dfrac{d}{dt}\theta)^2+\dfrac{1}{12}l(\dfrac{d}{dt}\theta)^2

-\dfrac{d}{dt}\theta=\sqrt{(\dfrac{g}{12l})(\dfrac{\sin\alpha-\sin\theta}{1+3\cos^2\theta})}

T\sqrt{\dfrac{g}{12l}}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\dfrac{1+3\cos^2\theta}{\sin\frac{\pi}{4}-\sin\theta}}d\theta

กดเครื่องคิดเลขๆๆได้ว่า

T\sqrt{\dfrac{g}{12l}}=3.54

T=3.54\times 0.606s=2.15s
« Last Edit: March 14, 2010, 02:34:38 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 »   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น