ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

40626 Posts in 5981 Topics- by 5644 Members - Latest Member: Ittinun_menon
Pages: « 1 2   Go Down
Print
Author Topic: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)  (Read 22839 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6092


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #15 on: October 12, 2009, 12:10:30 PM »


...

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

...

ตรงนี้กระโดดข้ามขั้นตอนมาเยอะเหมือนกันไม่ใช่หรือ  Shocked
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23


« Reply #16 on: October 12, 2009, 01:56:30 PM »


...

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

...

ตรงนี้กระโดดข้ามขั้นตอนมาเยอะเหมือนกันไม่ใช่หรือ  Shocked

มันไม่ใช่รูปเเบบทั่วไปที่ควรรู้หรอครับ
 embarassedเเหะๆ
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6092


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #17 on: October 12, 2009, 01:58:39 PM »


...

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

...

ตรงนี้กระโดดข้ามขั้นตอนมาเยอะเหมือนกันไม่ใช่หรือ  Shocked

มันไม่ใช่รูปเเบบทั่วไปที่ควรรู้หรอครับ
 embarassedเเหะๆ

ทำให้ดูหน่อยสิว่ามาได้อย่างไร ต้องเปลี่ยนตัวแปรอย่างไร  Wink
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23


« Reply #18 on: October 12, 2009, 02:16:21 PM »


จาก             \displaystyle {d(\csc\theta - \cot\theta)} =  \csc\theta(\csc\theta - \cot\theta) d\theta

ได้ว่า            \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} = \int \dfrac{1}{\csc\theta - \cot\theta}d(\csc\theta - \cot\theta)
                                                                             
                                     = \displaystyle {\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}


ผิดถูกชี้เเนะด้วยครับ Smiley Smiley
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #19 on: October 12, 2009, 02:27:17 PM »


จาก             \displaystyle {d(\csc\theta - \cot\theta)} =  \csc\theta(\csc\theta - \cot\theta) d\theta

ได้ว่า            \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} = \int \dfrac{1}{\csc\theta - \cot\theta}d(\csc\theta - \cot\theta)
                                                                             
                                     = \displaystyle {\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}


ผิดถูกชี้เเนะด้วยครับ Smiley Smiley

มันจะไม่รวบรัดไปหน่อยเหรอนี่ ยังไงก็ตามวิธีนี้เป็นวิธีของคนที่รู้คำตอบอยู่แล้ว ถึงทำวิธีนี้ได้ ไม่งั้นใครจะทำ  Grin
ลองทำแบบวิธีที่ไม่รู้คำตอบดูหน่อยดีกว่ามั้งครับ  smitten
Logged
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23


« Reply #20 on: October 12, 2009, 04:10:39 PM »

ให้   \tan\theta = y  จะได้ว่า \sec^2\theta d\theta = dy


ทำให้  \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} =  \displaystyle {\int \dfrac{dy}{y\sqrt{y^2+1}}}



แทน y=\dfrac{2z}{1-z^2}  และ dy=\dfrac{2(1+z^2)dz}{(1-z^2)^2}

\displaystyle {\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z(1-z^2)\sqrt{(\dfrac{2z}{1-z^2})^2+1}}}

\displaystyle {\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z\sqrt{1+2z^2+z^4}}}

\displaystyle {\int \dfrac{1}{z}dz}  =  ln z



เนื่องจาก

 y =\dfrac{2z}{1-z^2} = \tan\theta

และ


\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  Grin


ได้ว่า z = \tan\frac{\theta}{2}


จาก \sin\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}   เเละ  \cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}


จะได้ว่า \tan \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 -\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta}

                      = \csc\theta - \cot\theta  = z


เเทนค่า ใน  \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} = \ln z = \ln (\csc\theta - \cot\theta)


เป็นอันจบบริบูรณ์

เหนื่อยมากมายครับ ยังใช้ Tex ไม่ค่อยคล่อง  buck2 buck2 buck2
« Last Edit: October 12, 2009, 04:13:12 PM by 30th » Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 929


« Reply #21 on: April 14, 2012, 09:41:52 AM »

ในหนังสือเล่มนี้มีอินทิกรัลที่ต้องหาค่าหลายอินทิกรัลที่ผู้เขียนยกคำตอบมา  ถ้าเราช่วยกันทำอินทกรัลเหล่านั้นไว้ที่นี่ ก็น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ใช้หนังสือนั้น


ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

วันนี้เห็นมีการหาปริพันธ์ (การอินทิเกรต) เกี่ยวกับสนามไฟฟ้าเนื่องจากเปลือกทรงกลมประจุ (ที่จริงมีรูปแบบเดียวกับกันเปลือกมวลบางที่คำนวณในเรื่องแรงโน้มถ่วง) หลายคนอาจไม่คุ้น แต่มีเทคนิคที่ใช้กันอยู่สองสามวิธี

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ Grin)

\displaystyle{ {{(r - R\cos \theta )\sin \theta \,d\theta } \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }} = {1 \over {2r}}\left\{ {{1 \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{1 \over 2}}} }} + {{(r^2 - R^2 )} \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }}} \right\}\left( {{1 \over {2rR}}} \right)d\left( {r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta } \right)}

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน

ให้
     \displaystyle{r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta = s^2}
จะได้
     \displaystyle{\sin \theta \,d\theta = {1 \over {rR}}s\,ds,\quad r - R\cos \theta = {{r^2 - R^2 + s^2 } \over {2r}}}

เมื่อแทนค่าและจัดรูป จะทำให้ได้อินทิกรัลในรูปของ s ซึ่งหาค่าได้ง่าย

ตรงอินทิเกรตตรงนี้อะครับผมลองใช้วิธีเปลี่ยนตัวแปรเป็นตรีโกณฯแล้วใส่ขอบเขตอะครับปรากฎว่าได้0ลองช่วยดูให้หน่อยครับว่ามันผิดตรงไหน
\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{(r-R\cos \theta)(\sin\theta ) }{(r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta )^{3/2}}dx
ขั้นแรกให้ \displaystyle \frac{r-R\cos\theta }{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta }}= \cos\phi
และ \displaystyle \frac{R\sin\theta }{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta }}= \sin\phi
จัดรูปจะได้ \displaystyle \int  \frac{(r-R\cos \theta)(\sin\theta ) }{(r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta )^{3/2}}d\theta = \displaystyle \frac{1}{R}\int \frac{\cos\phi \sin\phi }{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta }}d\theta
และ \displaystyle d\theta = \frac{(r-R\cos\theta )^{2}}{R\left ( r\cos\theta -R \right )}sec^{2}\phi d\phi
จัดรูปจะได้ \displaystyle \frac{1}{R^{2}} \int \sin\phi \frac{r-R\cos\theta }{r\cos\theta -R}d\phi
และ \displaystyle \cos\theta = \frac{r}{R}\sin^{2}\phi \pm \cos\phi \sqrt{-(\frac{r}{R})^{2}\sin^{2}\phi +1
ถ้าเอาค่าโคไซน์เป็นบวกจะได้ \displaystyle r-R\cos\theta = \cos\phi \left ( r\cos\phi -\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}} \right ) และ \displaystyle r\cos\theta -R= \frac{\sqrt{\left R^{2}-( r\sin\phi  \right )^{2}}}{R}\left ( r\cos\phi -\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}} \right )
\displaystyle \frac{r-R\cos\theta }{r\cos\theta -R }= \frac{R\cos\phi }{\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}}
นำค่าไปแทนจะได้ \displaystyle \int \frac{R\sin(\phi) \cos\phi }{\sqrt{R^2-\left ( r\sin(\phi) \right )^{2}}}d\phi
ทำต่อก็จะได้ \displaystyle \int \frac{R\sin\phi \cos\phi }{\sqrt{R^2-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}}d\phi= \frac{-R}{2r^{2}}\int \frac{1}{\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}}dR^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}
\displaystyle =2 \sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}} และ \displaystyle =\frac{-R}{r^{2}} \sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}
คูณกับ1/R^2ด้านหน้าจะได้ \displaystyle \frac{-1}{r^{2}}\sqrt{1-\left ( r\sin\phi /R \right )^{2}} แทนค่า sin จะได้ \displaystyle \frac{-1}{r^{2}}\frac{\left | R-r\cos\theta  \right |}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta }}
จากตรงนี้พอใส่ขอบเขตแล้วมันจะได้0อะครับช่วยดูหน่อยครับว่าผิดตรงไหน
« Last Edit: July 14, 2013, 06:30:56 PM by jali » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6092


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #22 on: April 14, 2012, 11:17:11 AM »

...
คูณกับ1/R^2ด้านหน้าจะได้ \frac{-1}{r^{2}}\sqrt{1-\left ( rsin\phi /R \right )^{2}} แทนค่า sin จะได้ \frac{-1}{r^{2}}\frac{\left | R-rcos\theta  \right |}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rrcos\theta }}
จากตรงนี้พอใส่ขอบเขตแล้วมันจะได้0อะครับช่วยดูหน่อยครับว่าผิดตรงไหน

ทำในกรณีอะไร จุดที่สนใจอยู่ภายในเปลือกทรงกลม หรืออยู่นอกเปลือกทรงกลม
ขอบเขตให้เป็นจากไหนไปไหน ไม่เห็นบอก  coolsmiley
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 929


« Reply #23 on: April 15, 2012, 09:15:52 AM »

...
คูณกับ1/R^2ด้านหน้าจะได้ \frac{-1}{r^{2}}\sqrt{1-\left ( rsin\phi /R \right )^{2}} แทนค่า sin จะได้ \frac{-1}{r^{2}}\frac{\left | R-rcos\theta \right |}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rrcos\theta }}
จากตรงนี้พอใส่ขอบเขตแล้วมันจะได้0อะครับช่วยดูหน่อยครับว่าผิดตรงไหน

ทำในกรณีอะไร จุดที่สนใจอยู่ภายในเปลือกทรงกลม หรืออยู่นอกเปลือกทรงกลม
ขอบเขตให้เป็นจากไหนไปไหน ไม่เห็นบอก  coolsmiley
ทำในกรณีเหมือนกับในหนังสือครับ คือจุดที่สนใจอยู่ภายนอกทรงกลม ขอบเขตก็จาก 0\to\pi
ผมลองใส่ลงใน wolfram แล้ว มันก็ไม่ติดค่าแอปฯครับ


* integrate.gif (3.02 KB, 475x50 - viewed 407 times.)

* x=0.gif (1.78 KB, 500x48 - viewed 400 times.)

* x=pi.gif (1.81 KB, 500x48 - viewed 426 times.)
« Last Edit: April 15, 2012, 09:35:04 AM by jali » Logged
CanonX
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 191


« Reply #24 on: September 16, 2012, 05:34:58 PM »


\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ dx=\dfrac{l_{1}}{2}\sec^2 \theta d\theta

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

จาก  x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ \csc \theta = \pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}และ \cot \theta = \dfrac{l_{1}}{2x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )

โปรดชี้เเนะด้วยครับ ความจริงก็ไม่ค่อยต่างอะไร  buck2 buck2

ผมสงสัยว่าทำไมเราอินทิเกรตออกมาได้สั้นๆแค่นี้ แต่คำตอบที่เขียนในหนังสือมันช่างยาวและเยอะจนน่ากลัวครับ ขอความกรุณาด้วยครับ  idiot2 Cry icon adore
Logged
Pages: « 1 2   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น