ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41663 Posts in 6286 Topics- by 10004 Members - Latest Member: neutrino2561
« previous next »
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)  (Read 38559 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6370


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: March 03, 2006, 07:43:17 PM »
ในหนังสือเล่มนี้มีอินทิกรัลที่ต้องหาค่าหลายอินทิกรัลที่ผู้เขียนยกคำตอบมา  ถ้าเราช่วยกันทำอินทกรัลเหล่านั้นไว้ที่นี่ ก็น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ใช้หนังสือนั้น


ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

วันนี้เห็นมีการหาปริพันธ์ (การอินทิเกรต) เกี่ยวกับสนามไฟฟ้าเนื่องจากเปลือกทรงกลมประจุ (ที่จริงมีรูปแบบเดียวกับกันเปลือกมวลบางที่คำนวณในเรื่องแรงโน้มถ่วง) หลายคนอาจไม่คุ้น แต่มีเทคนิคที่ใช้กันอยู่สองสามวิธี

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ Grin)

\displaystyle{ {{(r - R\cos \theta )\sin \theta \,d\theta } \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }} = {1 \over {2r}}\left\{ {{1 \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{1 \over 2}}} }} + {{(r^2 - R^2 )} \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }}} \right\}\left( {{1 \over {2rR}}} \right)d\left( {r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta } \right)}

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน

ให้
     \displaystyle{r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta = s^2}
จะได้
     \displaystyle{\sin \theta \,d\theta = {1 \over {rR}}s\,ds,\quad r - R\cos \theta = {{r^2 - R^2 + s^2 } \over {2r}}}

เมื่อแทนค่าและจัดรูป จะทำให้ได้อินทิกรัลในรูปของ s ซึ่งหาค่าได้ง่าย
« Last Edit: February 28, 2010, 07:30:38 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6370


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: March 05, 2006, 05:53:15 PM »
ในตัวอย่าง 1.10 หน้า 22

\displaystyle{\int {{1 \over {\sqrt {1 - \cos \theta } }}} \,d\theta = \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}}}

ขั้นต่อไป ให้ \displaystyle{\xi = \tan (\theta/4) \Rightarrow d\xi = \sec ^2 (\theta/4)\;d(\theta/4) = {1 \over 4}\sec ^2 (\theta/4)\;d\theta }

 แล้วเปลี่ยนตัวแปรทั้งหมดให้อยู่ในรูปของ \xi สุดท้ายจะได้ว่า

\displaystyle{ \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}} = \pm \sqrt 2 \ln (\tan (\theta/4))}
« Last Edit: February 28, 2010, 07:31:21 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6370


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: March 08, 2006, 08:03:12 PM »
ตัวอย่าง 1.5 หน้า16 มีอินทิกรัลหน้าตาดังนี้

\displaystyle{E_z = (\frac{\sigma ah}{4\pi\epsilon_0}) \int^{+b/2}_{y=-b/2} \frac{1}{(y^2 + h^2)\sqrt{y^2 + h^2 + (\frac{a}{2})^2}} dy}

ที่จริงหลายข้อในเรื่องไฟฟ้าต้องใช้ตัวแปรมุมในการอินทิเกรต ข้อนี้ก็เช่นเดียวกัน

ให้ใช้มุมระหว่างเส้นแนวดิ่งกลางกับเส้นตรงจากจุด P ไปยังแถบประจุที่ระยะห่าง y (ดูรูปในหนังสือ) จากแนวกลาง
นั่นคือ ให้ \tan \theta = y/h ดังนั้น h \sec^2 \theta d \theta = dy
แล้วกำจัด y ในพจน์อื่น ๆ ให้อยู่ในรูปของมุม \theta ให้หมด

ทำไปทำมาจะได้อินทิกรัลในรูป


\displaystyle{\int {{{d(\sin \theta )} \over {\left[ {1 + \left( {{a \over {2h}}} \right)^2 - \left( {{a \over {2h}}\sin \theta } \right)^2 } \right]^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}} }

แล้วจัดสมการนี้อยู่ในรูป \displaystyle{\int {{{d\xi } \over {\left( {1 - \xi ^2 } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}} }

แทนค่า \xi = \sin \phi แล้วก็อินทิเกรตได้ง่าย

ใครทำได้แล้ว ช่วยพิมพ์เป็น TeX สวย ๆ ให้หน่อยสิ Grin
« Last Edit: February 28, 2010, 07:32:52 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


物理が 楽しいです　 Physics is fun


WWW
« Reply #3 on: April 19, 2006, 03:56:15 PM »
Quote from: ปิยพงษ์ on March 03, 2006, 07:43:17 PM
...
ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ Grin)

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน
...

3. โดยการ integral by part  ยาวสะใจ เหมาะสำหรับคนชอบถึกๆ Grin
Logged
สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


物理が 楽しいです　 Physics is fun


WWW
« Reply #4 on: April 20, 2006, 10:49:11 PM »
Quote from: ปิยพงษ์ on March 05, 2006, 05:53:15 PM
ในตัวอย่าง 1.10 หน้า 22

\displaystyle{\int {{1 \over {\sqrt {1 - \cos \theta } }}} \,d\theta = \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}}}
...


\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{1-\cos\theta}}d\theta}

แทน \displaystyle{\theta=4\tan^{-1}\xi} และ \displaystyle{d\xi=\frac{1}{4}\sec^2\frac{\theta}{4}d\theta}

\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{1-\cos(4\tan^{-1}\xi)}}(4\cos^2\tan^{-1}\xi)d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{1}{\sqrt{1-(1-2\sin^2(2\tan^{-1}\xi))}}(\frac{4}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{1}{\sqrt 2 \sin(2\tan^{-1}\xi)}(\frac{4}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{\sqrt 2}{\sin(\tan^{-1}\xi)\cos(\tan^{-1}\xi)}(\frac{1}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\pm \int \frac{\sqrt 2(\xi^2+1)}{\xi}(\frac{1}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\pm \int \frac{\sqrt 2}{\xi}d\xi}

\displaystyle{=\pm \sqrt{2}\ln\xi = \pm \sqrt{2}\ln(\tan(\frac{\theta}{4}))}
« Last Edit: March 01, 2010, 09:59:36 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
กฤษดา
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 97
« Reply #5 on: October 07, 2009, 07:32:14 PM »
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx 

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  idiot2
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6370


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #6 on: October 07, 2009, 11:00:11 PM »
Quote from: กฤษดา on October 07, 2009, 07:32:14 PM
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx  

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  idiot2

ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก x เป็น y โดยให้ x=\dfrac{l_1y}{2}  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6370


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #7 on: October 11, 2009, 08:27:42 AM »
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
Quote from: กฤษดา on October 07, 2009, 07:32:14 PM
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx  

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  idiot2

ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก x เป็น y โดยให้ x=\dfrac{l_1y}{2}  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

ตอบตั้งนานแล้ว เด็กชายกฤษดาไข่แล้วทิ้ง ไม่สนใจว่าได้ทำอะไรไปแล้ว ต่อไปจะถูกแบน  knuppel2 knuppel2 knuppel2
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
กฤษดา
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 97
« Reply #8 on: October 11, 2009, 07:23:23 PM »
ขอโทษครับที่หายไปนาน   bang head ผมคิดแล้วติดครับ

\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}y

จะได้ \displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{dy}{y\sqrt{y^2+1}}}

แทน y=\dfrac{2z}{1-z^2}  และ dy=\dfrac{2(1+z^2)dz}{(1-z^2)^2}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z(1-z^2)\sqrt{(\dfrac{2z}{1-z^2})^2+1}}}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z\sqrt{1+2z^2+z^4}}}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{1}{z}dz}  จะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln z

x=\dfrac{l_{1}z}{1-z^2} และ z=-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )
« Last Edit: October 11, 2009, 08:16:21 PM by กฤษดา » Logged
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23
« Reply #9 on: October 11, 2009, 08:16:52 PM »
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?
Logged
กฤษดา
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 97
« Reply #10 on: October 11, 2009, 08:30:36 PM »
ตอนแรกผมก็ใช้ตรีโกณช่วยในการอินทิเกรต ก็ได้คำตอบเท่ากัน
แต่ผมจัดรูปไม่ได้แบบในหนังสือครับ
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6370


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #11 on: October 11, 2009, 10:28:17 PM »
Quote from: 30th on October 11, 2009, 08:16:52 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  Grin

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  Grin
« Last Edit: October 11, 2009, 10:32:10 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23
« Reply #12 on: October 12, 2009, 01:23:53 AM »
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2009, 10:28:17 PM
Quote from: 30th on October 11, 2009, 08:16:52 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  Grin

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  Grin


มองยากนะครับ 55 Shocked Shocked
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6370


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #13 on: October 12, 2009, 05:37:06 AM »
Quote from: 30th on October 12, 2009, 01:23:53 AM
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2009, 10:28:17 PM
Quote from: 30th on October 11, 2009, 08:16:52 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  Grin

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  Grin


มองยากนะครับ 55 Shocked Shocked

ถ้าเรามีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ทำมาเลย  Wink
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23
« Reply #14 on: October 12, 2009, 10:34:25 AM »

\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ dx=\dfrac{l_{1}}{2}\sec^2 \theta d\theta

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

จาก  x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ \csc \theta = \pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}และ \cot \theta = \dfrac{l_{1}}{2x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )

โปรดชี้เเนะด้วยครับ ความจริงก็ไม่ค่อยต่างอะไร  buck2 buck2
« Last Edit: February 28, 2010, 07:33:47 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: