ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

...

เสรีภาพทางการศึกษาคือหัวใจของการศึกษาที่แท้จริง

คนแรกที่ควรได้รับการศึกษาคือผู้ให้การศึกษา

mPEC on Facebook

IPhO 2011 on Facebook

IPhO 2011

Further Academy
 
Advanced search

37984 Posts in 5626 Topics- by 4058 Members - Latest Member: Echelon
« previous next »
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)  (Read 15605 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5617


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: March 03, 2006, 07:43:17 PM »
ในหนังสือเล่มนี้มีอินทิกรัลที่ต้องหาค่าหลายอินทิกรัลที่ผู้เขียนยกคำตอบมา  ถ้าเราช่วยกันทำอินทกรัลเหล่านั้นไว้ที่นี่ ก็น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ใช้หนังสือนั้น


ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

วันนี้เห็นมีการหาปริพันธ์ (การอินทิเกรต) เกี่ยวกับสนามไฟฟ้าเนื่องจากเปลือกทรงกลมประจุ (ที่จริงมีรูปแบบเดียวกับกันเปลือกมวลบางที่คำนวณในเรื่องแรงโน้มถ่วง) หลายคนอาจไม่คุ้น แต่มีเทคนิคที่ใช้กันอยู่สองสามวิธี

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ Grin)

\displaystyle{ {{(r - R\cos \theta )\sin \theta \,d\theta } \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }} = {1 \over {2r}}\left\{ {{1 \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{1 \over 2}}} }} + {{(r^2 - R^2 )} \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }}} \right\}\left( {{1 \over {2rR}}} \right)d\left( {r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta } \right)}

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน

ให้
     \displaystyle{r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta = s^2}
จะได้
     \displaystyle{\sin \theta \,d\theta = {1 \over {rR}}s\,ds,\quad r - R\cos \theta = {{r^2 - R^2 + s^2 } \over {2r}}}

เมื่อแทนค่าและจัดรูป จะทำให้ได้อินทิกรัลในรูปของ s ซึ่งหาค่าได้ง่าย
« Last Edit: February 28, 2010, 07:30:38 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5617


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: March 05, 2006, 05:53:15 PM »
ในตัวอย่าง 1.10 หน้า 22

\displaystyle{\int {{1 \over {\sqrt {1 - \cos \theta } }}} \,d\theta = \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}}}

ขั้นต่อไป ให้ \displaystyle{\xi = \tan (\theta/4) \Rightarrow d\xi = \sec ^2 (\theta/4)\;d(\theta/4) = {1 \over 4}\sec ^2 (\theta/4)\;d\theta }

 แล้วเปลี่ยนตัวแปรทั้งหมดให้อยู่ในรูปของ \xi สุดท้ายจะได้ว่า

\displaystyle{ \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}} = \pm \sqrt 2 \ln (\tan (\theta/4))}
« Last Edit: February 28, 2010, 07:31:21 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5617


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: March 08, 2006, 08:03:12 PM »
ตัวอย่าง 1.5 หน้า16 มีอินทิกรัลหน้าตาดังนี้

\displaystyle{E_z = (\frac{\sigma ah}{4\pi\epsilon_0}) \int^{+b/2}_{y=-b/2} \frac{1}{(y^2 + h^2)\sqrt{y^2 + h^2 + (\frac{a}{2})^2}} dy}

ที่จริงหลายข้อในเรื่องไฟฟ้าต้องใช้ตัวแปรมุมในการอินทิเกรต ข้อนี้ก็เช่นเดียวกัน

ให้ใช้มุมระหว่างเส้นแนวดิ่งกลางกับเส้นตรงจากจุด P ไปยังแถบประจุที่ระยะห่าง y (ดูรูปในหนังสือ) จากแนวกลาง
นั่นคือ ให้ \tan \theta = y/h ดังนั้น h \sec^2 \theta d \theta = dy
แล้วกำจัด y ในพจน์อื่น ๆ ให้อยู่ในรูปของมุม \theta ให้หมด

ทำไปทำมาจะได้อินทิกรัลในรูป


\displaystyle{\int {{{d(\sin \theta )} \over {\left[ {1 + \left( {{a \over {2h}}} \right)^2 - \left( {{a \over {2h}}\sin \theta } \right)^2 } \right]^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}} }

แล้วจัดสมการนี้อยู่ในรูป \displaystyle{\int {{{d\xi } \over {\left( {1 - \xi ^2 } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}} }

แทนค่า \xi = \sin \phi แล้วก็อินทิเกรตได้ง่าย

ใครทำได้แล้ว ช่วยพิมพ์เป็น TeX สวย ๆ ให้หน่อยสิ Grin
« Last Edit: February 28, 2010, 07:32:52 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 783


物理が 楽しいです　 Physics is fun


WWW
« Reply #3 on: April 19, 2006, 03:56:15 PM »
Quote from: ปิยพงษ์ on March 03, 2006, 07:43:17 PM
...
ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ Grin)

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน
...

3. โดยการ integral by part  ยาวสะใจ เหมาะสำหรับคนชอบถึกๆ Grin
Logged
สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 783


物理が 楽しいです　 Physics is fun


WWW
« Reply #4 on: April 20, 2006, 10:49:11 PM »
Quote from: ปิยพงษ์ on March 05, 2006, 05:53:15 PM
ในตัวอย่าง 1.10 หน้า 22

\displaystyle{\int {{1 \over {\sqrt {1 - \cos \theta } }}} \,d\theta = \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}}}
...


\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{1-\cos\theta}}d\theta}

แทน \displaystyle{\theta=4\tan^{-1}\xi} และ \displaystyle{d\xi=\frac{1}{4}\sec^2\frac{\theta}{4}d\theta}

\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{1-\cos(4\tan^{-1}\xi)}}(4\cos^2\tan^{-1}\xi)d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{1}{\sqrt{1-(1-2\sin^2(2\tan^{-1}\xi))}}(\frac{4}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{1}{\sqrt 2 \sin(2\tan^{-1}\xi)}(\frac{4}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{\sqrt 2}{\sin(\tan^{-1}\xi)\cos(\tan^{-1}\xi)}(\frac{1}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\pm \int \frac{\sqrt 2(\xi^2+1)}{\xi}(\frac{1}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\pm \int \frac{\sqrt 2}{\xi}d\xi}

\displaystyle{=\pm \sqrt{2}\ln\xi = \pm \sqrt{2}\ln(\tan(\frac{\theta}{4}))}
« Last Edit: March 01, 2010, 09:59:36 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
กฤษดา
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 97
« Reply #5 on: October 07, 2009, 07:32:14 PM »
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx 

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  idiot2
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5617


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #6 on: October 07, 2009, 11:00:11 PM »
Quote from: กฤษดา on October 07, 2009, 07:32:14 PM
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx  

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  idiot2

ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก x เป็น y โดยให้ x=\dfrac{l_1y}{2}  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5617


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #7 on: October 11, 2009, 08:27:42 AM »
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
Quote from: กฤษดา on October 07, 2009, 07:32:14 PM
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx  

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  idiot2

ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก x เป็น y โดยให้ x=\dfrac{l_1y}{2}  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

ตอบตั้งนานแล้ว เด็กชายกฤษดาไข่แล้วทิ้ง ไม่สนใจว่าได้ทำอะไรไปแล้ว ต่อไปจะถูกแบน  knuppel2 knuppel2 knuppel2
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
กฤษดา
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 97
« Reply #8 on: October 11, 2009, 07:23:23 PM »
ขอโทษครับที่หายไปนาน   bang head ผมคิดแล้วติดครับ

\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}y

จะได้ \displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{dy}{y\sqrt{y^2+1}}}

แทน y=\dfrac{2z}{1-z^2}  และ dy=\dfrac{2(1+z^2)dz}{(1-z^2)^2}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z(1-z^2)\sqrt{(\dfrac{2z}{1-z^2})^2+1}}}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z\sqrt{1+2z^2+z^4}}}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{1}{z}dz}  จะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln z

x=\dfrac{l_{1}z}{1-z^2} และ z=-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )
« Last Edit: October 11, 2009, 08:16:21 PM by กฤษดา » Logged
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23
« Reply #9 on: October 11, 2009, 08:16:52 PM »
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?
Logged
กฤษดา
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 97
« Reply #10 on: October 11, 2009, 08:30:36 PM »
ตอนแรกผมก็ใช้ตรีโกณช่วยในการอินทิเกรต ก็ได้คำตอบเท่ากัน
แต่ผมจัดรูปไม่ได้แบบในหนังสือครับ
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5617


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #11 on: October 11, 2009, 10:28:17 PM »
Quote from: 30th on October 11, 2009, 08:16:52 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  Grin

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  Grin
« Last Edit: October 11, 2009, 10:32:10 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23
« Reply #12 on: October 12, 2009, 01:23:53 AM »
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2009, 10:28:17 PM
Quote from: 30th on October 11, 2009, 08:16:52 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  Grin

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  Grin


มองยากนะครับ 55 Shocked Shocked
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 5617


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #13 on: October 12, 2009, 05:37:06 AM »
Quote from: 30th on October 12, 2009, 01:23:53 AM
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2009, 10:28:17 PM
Quote from: 30th on October 11, 2009, 08:16:52 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  Grin

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  Grin

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  Grin


มองยากนะครับ 55 Shocked Shocked

ถ้าเรามีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ทำมาเลย  Wink
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23
« Reply #14 on: October 12, 2009, 10:34:25 AM »

\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ dx=\dfrac{l_{1}}{2}\sec^2 \theta d\theta

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

จาก  x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ \csc \theta = \pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}และ \cot \theta = \dfrac{l_{1}}{2x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )

โปรดชี้เเนะด้วยครับ ความจริงก็ไม่ค่อยต่างอะไร  buck2 buck2
« Last Edit: February 28, 2010, 07:33:47 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น