ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41461 Posts in 6253 Topics- by 9054 Members - Latest Member: kim28680
Pages: « 1 2 3 4   Go Down
Print
Author Topic: โจทย์อุ่นเครื่องก่อนเข้าค่าย 2  (Read 62771 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit


« Reply #45 on: April 02, 2006, 01:21:36 PM »

อ๋อ พอจะรู้แนวคิดแล้วครับ ขอทำข้อหลังก่อนละกัน
\displaystyle{\int e^{ax} \sin bx dx} ใช้ Integrate by part \displaystyle{\int udv = uv-\int vdu}
\displaystyle{\begin{array}{r l r l}u &= \sin bx \quad & dv &= e^{ax} dx \\ du &= b \cos bx dx & v &= \dfrac{e^{ax}}{a} \end{array}}
\displaystyle{\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \sin bx - \int \frac{e^{ax}}{a} b \cos bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \sin bx - \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos bx dx} แล้ว
\displaystyle{\int e^{ax} cos bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \cos bx + \int \frac{e^{ax}}{a} b \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \cos bx + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx dx}
แทนค่า \displaystyle{\int e^{ax} cos bx dx} ในสมการแรก จะได้
\displaystyle{\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a} \sin bx - \frac{b}{a} [\frac{e^{ax}}{a} \cos bx + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx dx]} แล้วแก้สมการก็จะได้ค่า
\displaystyle{\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{a \sin bx - b \cos bx}{a^2+b^2} e^{ax} + C}


« Last Edit: April 08, 2006, 11:24:07 AM by Tung » Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit


« Reply #46 on: April 02, 2006, 03:09:49 PM »

วิธีทำสุดยืดยาว อาจจะผิดด้วย  Undecided
\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^n x dx} ใช้ Integrate by part \displaystyle{\int udv = uv-\int vdu}
\displaystyle{\begin{array}{r l r l}u &= \sin^{n-1} x \quad & dv &= \sin x dx \\ du &= (n-1) \sin^{n-2} x \cos x dx & v &= -\cos x \end{array}}
\displaystyle{\int \sin^n x dx = - \sin^{n-1} x \cos x + \int \cos^2 x (n-1) \sin^{n-2} x dx}
เนื่องจาก \displaystyle{\cos^2 x = 1- \sin^2 x} แทนค่าเข้าไป
\displaystyle{\int \sin^n x dx = - \sin^{n-1} x \cos x + \int (1- \sin^2 x) (n-1) \sin^{n-2} x dx}
\displaystyle{\int \sin^n x dx = - \sin^{n-1} x \cos x + \int (n-1) \sin^{n-2} x dx - \int (n-1) \sin^n x dx}
\displaystyle{n \int \sin^n x dx = - \sin^{n-1} x \cos x + \int (n-1) \sin^{n-2} x dx}
\displaystyle{\int \sin^n x dx = \frac{1}{n} [- \sin^{n-1} x \cos x + \int (n-1) \sin^{n-2} x dx]}______1
ในทำนองเดียวกันก็จะได้
\displaystyle{\int \sin^{n-2} x dx = \frac{1}{(n-2)} [- \sin^{n-3} x \cos x + \int (n-3) \sin^{n-4} x dx]}
\displaystyle{\int \sin^{n-4} x dx = \frac{1}{(n-4)} [- \sin^{n-5} x \cos x + \int (n-5) \sin^{n-6} x dx]}
 ...
\displaystyle{\int \sin x dx = - \cos x}
\displaystyle{\int \sin^0 x dx = x}
แล้วเอาค่าต่างๆ ไปแทนค่าในสมการที่ 1
\displaystyle{\int \sin^n x dx = \frac{1}{n} [- \sin^{n-1} x \cos x + \frac{(n-1)}{(n-2)} [- \sin^{n-3} x \cos x + \frac{(n-3)}{(n-4)} [- \sin^{n-5} x \cos x + ...]]}
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่จะได้เป็น
\displaystyle{\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x - \frac{(n-1)}{n(n-2)} \sin^{n-3} x \cos x - \frac{(n-1)(n-3)}{n(n-2)(n-4)} \sin^{n-5} x \cos x +... + \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... (n-1)}{1 \cdot 3 \cdot 5... n} \int \sin x dx}
ซึ่งจะลงท้ายด้วยตัว พจน์ \displaystyle{\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... (n-1)}{1 \cdot 3 \cdot 5... n} \int \sin x dx}
พอใส่ลิมิตแล้วจะได้ว่าพจน์ที่ประกอบด้วยไซน์และโคไซน์จะกลายเป็น 0 ไป และ \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = 1} เพราะฉะนั้น
\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... (n-1)}{1 \cdot 3 \cdot 5... n}} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ที่ไม่ใช่ 1
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ จะได้ว่า
\displaystyle{\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x - \frac{(n-1)}{n(n-2)} \sin^{n-3} x \cos x - \frac{(n-1)(n-3)}{n(n-2)(n-4)} \sin^{n-5} x \cos x +... + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7... (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... n} \int \sin^0 x dx}
พอใส่ลิมิตแล้วจะได้ว่าพจน์ที่ประกอบด้วยไซน์และโคไซน์จะกลายเป็น 0 ไป และ \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x dx = \frac{\pi}{2}}
จะได้ว่า  \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7... (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... n} \frac{\pi}{2}} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่
« Last Edit: March 06, 2010, 07:18:14 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #47 on: April 02, 2006, 08:55:39 PM »

เหมือนมีที่ผิดอยู่นะครับ
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit


« Reply #48 on: April 02, 2006, 09:06:12 PM »

ผมก็ว่างั้นครับ คำตอบถ้า n เป็นเลขคู่มานไม่ตรง ใครรู้ที่ผิดช่วยบอกทีครับ  icon adore จะได้แก้ไข
Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #49 on: April 03, 2006, 09:09:08 AM »

\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7... (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... n} \frac{\pi}{4}}

มันผิดแถวๆๆ สุดท้าย นะครับ ลองทำดูนะ
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง


« Reply #50 on: April 03, 2006, 09:51:12 AM »

.....
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่จะได้เป็น
\displaystyle{\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x - \frac{(n-1)}{n(n-2)} \sin^{n-3} x \cos x - \frac{(n-1)(n-3)}{n(n-2)(n-4)} \sin^{n-5} x \cos x +... + \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... (n-1)}{1 \cdot 3 \cdot 5... n} \int \sin x dx}
ซึ่งจะลงท้ายด้วยตัว พจน์ \displaystyle{\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... (n-1)}{1 \cdot 3 \cdot 5... n} \int \sin x dx}
.....
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ จะได้ว่า
\displaystyle{\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x - \frac{(n-1)}{n(n-2)} \sin^{n-3} x \cos x - \frac{(n-1)(n-3)}{n(n-2)(n-4)} \sin^{n-5} x \cos x +... + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7... (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... n} \int \sin^2 x dx}
พอใส่ลิมิตแล้วจะได้ว่าพจน์ที่ประกอบด้วยไซน์และโคไซน์จะกลายเป็น 0 ไป และ \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \frac{\pi}{4}}
.....
ทำไมกรณีที่ n เป็นจำนวนคี่ ผลที่ได้ถึงลงท้ายด้วย \displaystyle{k_1(n)\int \sin x dx}
ทำไมกรณีที่ n เป็นจำนวนคู่ ผลที่ได้ถึงลงท้ายด้วย \displaystyle{k_2(n)\int \sin^2 x dx} อะครับ Huh
« Last Edit: April 03, 2006, 09:53:51 AM by BDStu. » Logged
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #51 on: April 03, 2006, 11:59:20 AM »

ว่างๆผมจะมาทำให้ดู จริงๆ โจทย์นี่มายาก แต่ยาว ผมเลยโดนคนว่า เอามาอุ่นจนเครื่องร้อนเลย  redfaced
แต่ผมรอ Tung มาแก้ก่อนนะ
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit


« Reply #52 on: April 03, 2006, 12:06:50 PM »

ทำไมกรณีที่ n เป็นจำนวนคี่ ผลที่ได้ถึงลงท้ายด้วย \displaystyle{k_1(n)\int \sin x dx}
ทำไมกรณีที่ n เป็นจำนวนคู่ ผลที่ได้ถึงลงท้ายด้วย \displaystyle{k_2(n)\int \sin^2 x dx} อะครับ Huh
ก็จากบรรทัด \displaystyle{\int \sin^n x dx = \frac{1}{n} [- \sin^{n-1} x \cos x + \int (n-1) \sin^{n-2} x dx]}
จะเห็นว่า ถ้า \displaystyle{\int \sin^n x dx} โดยใช้ by part มันจะติดอินทิกรัลของ \displaystyle\sin^{n-2} x } ซึ่งมี ดีกรีลดลง 2 แล้วอินทิเกรตต่อไปเรื่อยๆ มันก็จะลดลงเรื่อยๆทีละ 2 แล้วก็ขึ้นอยู่กับว่า n เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ ถ้า n เป็นเลขคู่ มันก็จะสิ้นสุดที่การอินทิเกรต \displaystyle\sin^0 x } แต่ถ้า n เป็นเลขคี่มันก็จะสิ้นสุดที่ \displaystyle\sin x }
ส่วนสัมประสิทธิ์หน้าแต่ละพจน์ก็เกิดจากการกระจายบรรทัดนี้
\displaystyle{\int \sin^n x dx = \frac{1}{n} [- \sin^{n-1} x \cos x + \frac{(n-1)}{(n-2)} [- \sin^{n-3} x \cos x + \frac{(n-3)}{(n-4)} [- \sin^{n-5} x \cos x + ...]]}
ผมเข้าใจว่าอย่างนี้ครับ icon adore ไม่รู้เหมือนกันว่าถูกเปล่่า
แต่ที่แน่ๆ
\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7... (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8... n} \frac{\pi}{4}}
มันผิดครับ Cry แล้วยังไม่รู้ว่าผิดตรงไหนด้วย bang head พี่ ampan บอกหน่อยสิครับ
« Last Edit: March 06, 2010, 07:19:09 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง


« Reply #53 on: April 03, 2006, 02:28:48 PM »

พอเข้าใจละครับ ผมเบลอเอง icon adore
Logged
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit


« Reply #54 on: April 03, 2006, 03:17:54 PM »

รู้ละครับ สัมประสิทธิ์ที่ผมใช้ น่าจะต้องต่อมาถึง \displaystyle\sin^0 x } ของเลขคู่ แต่ผมยังงงๆ ว่าถ้าใส่ลิมิตมัน \displaystyle\sin^0 0 } หาค่าไม่ได้  Undecided
Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง


« Reply #55 on: April 03, 2006, 03:33:36 PM »

ผมสงสัยว่าเราสามารถใช้กฎของโลบิตาล differentiate ฐานและเลขชี้กำลังของ \sin^x x ให้เป็น \cos^1 x แล้วค่อยแทนค่าลิมิตเข้าใกล้ 0 ได้ค่าออกมาเป็น 1 ได้ไหมครับ Huh
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6298


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #56 on: April 03, 2006, 04:18:18 PM »

ผมสงสัยว่าเราสามารถใช้กฎของโลบิตาล differentiate ฐานและเลขชี้กำลังของ \sin^x x ให้เป็น \cos^1 x แล้วค่อยแทนค่าลิมิตเข้าใกล้ 0 ได้ค่าออกมาเป็น 1 ได้ไหมครับ Huh

กฎที่ว่านั้นกล่าวว่าอย่างไรล่ะ  ปริมาณที่เราตัองการหาสอดคล้องกับเงื่อนไขการใช้กฎนั้นหรือไม่  ??
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Tung
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit


« Reply #57 on: April 03, 2006, 06:40:14 PM »

อ๋อ เข้าใจละครับ ตอนอินทิเกรตเสร็จแล้วมัน ก้อเหลือแค่ \displaystyle{x} พอใส่ลิมิตก้อได้ ขอโทษครับเบลอเอง  icon adore
Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา
Pages: « 1 2 3 4   Go Up
Print
Jump to: