ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41576 Posts in 6275 Topics- by 9812 Members - Latest Member: kaew
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์การสั่นของวัตถุผูกกับสปริงในกล่องที่เคลื่อนที่ได้
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: การสั่นของวัตถุผูกกับสปริงในกล่องที่เคลื่อนที่ได้  (Read 513 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6345


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: August 07, 2020, 10:48:38 PM »
การสั่นของวัตถุผูกกับสปริงในกล่องที่เคลื่อนที่ได้
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
hakkobun
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5
« Reply #1 on: December 16, 2020, 11:27:48 PM »
ขอลองทำดูนะครับ

12.1) ตอบ เมื่อแอมปลิจูดของการแกว่ง A > \mu (m+M)g/ k

  [1] ขนาดของแรงคืนตัวที่สปริงดึงวัตถุมวล m กลับสู่จุดสมดุล มีค่าเท่ากับขนาดของแรงที่สปริงทำต่อ M
  [2] เขียนกฏข้อสองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุ m ในกล่องได้ -kx = m\ddot{x} ซึ่งมีผลเฉลยเป็น x = A\cos(\omega t) ดังนั้นแรงคืนตัวจึงเท่ากับ -m\omega ^{2}A\cos(\omega t) ซึ่งมีแอมปลิจูด m\omega ^{2}A เมื่อ \omega ^{2} = k/m
  [3] ถ้าแอมปลิจูดของแรงคืนตัวมีค่าน้อยกว่าขนาดของแรงเสียดทานสถิตสูงสุด กล่องจะไม่ขยับไปบนผิวโต๊ะ พูดอีกอย่างก็คือ กล่องจะเริ่มขยับไปบนผิวโต๊ะเมื่อ ขนาดของแรงคืนตัวสูงสุดใน [2] มีค่ามากกว่าขนาดของแรงเสียดทานสถิตสูงสุด

  จาก [1], [2], [3] แก้อสมการของกฏนิวตันข้อ 2 สำหรับกล่องมวล M

  m\omega ^{2}A > \mu N = \mu(m+M)g ได้ A > \mu (m+M)g/ k

12.2) ตอบ เมื่อแอมปลิจูดของการแกว่ง A^\prime > \mu (m+M)g/ (k_{1} + k_{2})

  การจัดสปริงในลักษณะดังกล่าวสมมูลกับการติดวัตถุมวล m เข้ากับผนังด้านเดียวของกล่องดังในข้อ 12.1) โดยใช้สปริงซึ่งมีค่านิจ  k’ = k1 + k2 ดังนั้น
  A^\prime > \mu (m+M)g/ k^\prime = \mu (m+M)g/ (k_{1} + k_{2})

12.3) ตอบ คาบ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}}

  [1] เมื่อแรงลัพธ์ภายนอกที่กระทำต่อระบบเป็น 0 ความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลจะเป็น 0
  [2] ณ ขณะเริ่มปล่อยวัตถุ m ระบบมีความเร็วจุดศูนย์กลางมวลเป็น 0 ดังนั้น ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลระบบจะเป็น 0 ตลอด และพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลจะนิ่ง
  [3] ตั้งพิกัดในแนวราบโดยให้พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของระบบมีค่า x_cm = 0
  [4] ให้ x(t), y(t)  แทนตำแหน่ง ที่เวลาใด ๆ ของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ m และ กล่อง M ตามลำดับ พิจารณาตำแหน่ง, ความเร็ว, ความเร่ง CM ของทั้งระบบที่เวลาใด ๆ และ
  เขียนย่อ x(t), y(t) ด้วย x, y

  \frac{mx + My}{m+M} = x_{cm} = 0
  mx + My = x_{cm} (m+M) = 0

  หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองเทียบกับเวลา

  m\dot{x} + M\dot{y} = v_{cm} (m+M) = 0
  m\ddot{x} + M\ddot{y} = a_{cm} (m+M) = 0
 
  [5] แปลงกฏนิวตันข้อ 2 สำหรับวัตถุมวล m ให้เป็นกฏนิวตันข้อสองสำหรับกล่องมวล M โดยใช้ผลจาก [4]

  -(k1+k2)x = m\ddot{x}
  -(k1+k2) (-\frac{My}{m}) = (-M\ddot{y})
  -(k1+k2)y = m\ddot{y}

  ได้ว่า y(t) เป็นฟังก์ชันรูปไซน์ที่มีคาบ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}} เพราะฉะนั้นกล่องจะเคลื่อนที่บนโต๊ะตามฟังก์ชัน y(t) นี้โดยมีคาบการแกว่ง T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}}
 

อาจารย์ครับ คาบนี้ไม่ขึ้นกับขนาดของมวล M หรอครับ รบกวนชี้แนะด้วยครับ 
« Last Edit: December 16, 2020, 11:42:42 PM by hakkobun » Logged
Khet
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 7
« Reply #2 on: December 17, 2020, 02:30:56 AM »
Quote from: hakkobun on December 16, 2020, 11:27:48 PM
ขอลองทำดูนะครับ

12.1) ตอบ เมื่อแอมปลิจูดของการแกว่ง A > \mu (m+M)g/ k

  [1] ขนาดของแรงคืนตัวที่สปริงดึงวัตถุมวล m กลับสู่จุดสมดุล มีค่าเท่ากับขนาดของแรงที่สปริงทำต่อ M
  [2] เขียนกฏข้อสองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุ m ในกล่องได้ -kx = m\ddot{x} ซึ่งมีผลเฉลยเป็น x = A\cos(\omega t) ดังนั้นแรงคืนตัวจึงเท่ากับ -m\omega ^{2}A\cos(\omega t) ซึ่งมีแอมปลิจูด m\omega ^{2}A เมื่อ \omega ^{2} = k/m
  [3] ถ้าแอมปลิจูดของแรงคืนตัวมีค่าน้อยกว่าขนาดของแรงเสียดทานสถิตสูงสุด กล่องจะไม่ขยับไปบนผิวโต๊ะ พูดอีกอย่างก็คือ กล่องจะเริ่มขยับไปบนผิวโต๊ะเมื่อ ขนาดของแรงคืนตัวสูงสุดใน [2] มีค่ามากกว่าขนาดของแรงเสียดทานสถิตสูงสุด

  จาก [1], [2], [3] แก้อสมการของกฏนิวตันข้อ 2 สำหรับกล่องมวล M

  m\omega ^{2}A > \mu N = \mu(m+M)g ได้ A > \mu (m+M)g/ k

12.2) ตอบ เมื่อแอมปลิจูดของการแกว่ง A^\prime > \mu (m+M)g/ (k_{1} + k_{2})

  การจัดสปริงในลักษณะดังกล่าวสมมูลกับการติดวัตถุมวล m เข้ากับผนังด้านเดียวของกล่องดังในข้อ 12.1) โดยใช้สปริงซึ่งมีค่านิจ  k’ = k1 + k2 ดังนั้น
  A^\prime > \mu (m+M)g/ k^\prime = \mu (m+M)g/ (k_{1} + k_{2})

12.3) ตอบ คาบ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}}

  [1] เมื่อแรงลัพธ์ภายนอกที่กระทำต่อระบบเป็น 0 ความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลจะเป็น 0
  [2] ณ ขณะเริ่มปล่อยวัตถุ m ระบบมีความเร็วจุดศูนย์กลางมวลเป็น 0 ดังนั้น ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลระบบจะเป็น 0 ตลอด และพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลจะนิ่ง
  [3] ตั้งพิกัดในแนวราบโดยให้พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของระบบมีค่า x_cm = 0
  [4] ให้ x(t), y(t)  แทนตำแหน่ง ที่เวลาใด ๆ ของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ m และ กล่อง M ตามลำดับ พิจารณาตำแหน่ง, ความเร็ว, ความเร่ง CM ของทั้งระบบที่เวลาใด ๆ และ
  เขียนย่อ x(t), y(t) ด้วย x, y

  \frac{mx + My}{m+M} = x_{cm} = 0
  mx + My = x_{cm} (m+M) = 0

  หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองเทียบกับเวลา

  m\dot{x} + M\dot{y} = v_{cm} (m+M) = 0
  m\ddot{x} + M\ddot{y} = a_{cm} (m+M) = 0
 
  [5] แปลงกฏนิวตันข้อ 2 สำหรับวัตถุมวล m ให้เป็นกฏนิวตันข้อสองสำหรับกล่องมวล M โดยใช้ผลจาก [4]

  -(k1+k2)x = m\ddot{x}
  -(k1+k2) (-\frac{My}{m}) = (-M\ddot{y})
  -(k1+k2)y = m\ddot{y}

  ได้ว่า y(t) เป็นฟังก์ชันรูปไซน์ที่มีคาบ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}} เพราะฉะนั้นกล่องจะเคลื่อนที่บนโต๊ะตามฟังก์ชัน y(t) นี้โดยมีคาบการแกว่ง T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}}
 

อาจารย์ครับ คาบนี้ไม่ขึ้นกับขนาดของมวล M หรอครับ รบกวนชี้แนะด้วยครับ 

เรารบกวนมวล m ให้เกิดการสั่นอย่างเดียว(ในตอนแรกฝั่งที่ติด M ไม่ได้ยืด) คาบก็ควรเป็นคาบของมวล m อย่างเดียวมั้ยครับ? และถ้า cm อยู่นิ่ง วัตถุทั้งสองจะสั่นด้วยความถี่เท่ากัน
Logged
hakkobun
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5
« Reply #3 on: December 17, 2020, 07:51:06 AM »
Quote from: Khet on December 17, 2020, 02:30:56 AM
เรารบกวนมวล m ให้เกิดการสั่นอย่างเดียว(ในตอนแรกฝั่งที่ติด M ไม่ได้ยืด) คาบก็ควรเป็นคาบของมวล m อย่างเดียวมั้ยครับ? และถ้า cm อยู่นิ่ง วัตถุทั้งสองจะสั่นด้วยความถี่เท่ากัน

ผมเห็นด้วยว่าถ้า cm อยู่นิ่ง ความถี่ในการสั่นของกล่องกับก้อนวัตถุต้องเท่ากัน แต่ผมไม่คิดว่าคาบมันจะเป็นอิสระโดยสิ้นเชิงจากค่ามวล M ครับ ตอนที่ทำผมจินตนการไว้ว่าคำตอบน่าจะติดพจน์ M+m หรือ Mm/M+m ที่มีความสมมาตร ครับ

แต่ผมไม่เห็นด้วยตรงที่คุณ Khet บอกว่า “เรารบกวนมวล m ให้เกิดการสั่นอย่างเดียว (ในตอนแรกฝั่งที่ติด M ไม่ได้ยืด)”

สปริงสองเส้นมีความยาวรวมคงที่เท่ากับความกว้างกล่องเสมอ ดังนั้นเมื่อรบกวน m จากสมดุล (โดยที่เอามือจับล็อกกล่องข้างนอกไว้) สปริงทั้งเส้นที่มีค่านิจ k1 และ k2 ก็จะยืด / หดทั้งคู่

นอกจากนี้ ถ้าลองมองกลับกัน สมมติว่าเราจับก้อนวัตถุตรึงไว้ แล้วรบกวนสมดุลโดยขยับกล่องข้างนอกแทนดู การสั่นที่เกิดขึ้นมันก็ควรจะเป็นแบบเดียวกับในข้อ 12.3) นี้ ? มันยิ่งชอบกล ๆ ไหมครับว่าทำไมคาบนี้ไม่ติด M
« Last Edit: December 17, 2020, 07:52:43 AM by hakkobun » Logged
Khet
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 7
« Reply #4 on: December 17, 2020, 02:48:46 PM »
Quote from: hakkobun on December 17, 2020, 07:51:06 AM
Quote from: Khet on December 17, 2020, 02:30:56 AM
เรารบกวนมวล m ให้เกิดการสั่นอย่างเดียว(ในตอนแรกฝั่งที่ติด M ไม่ได้ยืด) คาบก็ควรเป็นคาบของมวล m อย่างเดียวมั้ยครับ? และถ้า cm อยู่นิ่ง วัตถุทั้งสองจะสั่นด้วยความถี่เท่ากัน

ผมเห็นด้วยว่าถ้า cm อยู่นิ่ง ความถี่ในการสั่นของกล่องกับก้อนวัตถุต้องเท่ากัน แต่ผมไม่คิดว่าคาบมันจะเป็นอิสระโดยสิ้นเชิงจากค่ามวล M ครับ ตอนที่ทำผมจินตนการไว้ว่าคำตอบน่าจะติดพจน์ M+m หรือ Mm/M+m ที่มีความสมมาตร ครับ

แต่ผมไม่เห็นด้วยตรงที่คุณ Khet บอกว่า “เรารบกวนมวล m ให้เกิดการสั่นอย่างเดียว (ในตอนแรกฝั่งที่ติด M ไม่ได้ยืด)”

สปริงสองเส้นมีความยาวรวมคงที่เท่ากับความกว้างกล่องเสมอ ดังนั้นเมื่อรบกวน m จากสมดุล (โดยที่เอามือจับล็อกกล่องข้างนอกไว้) สปริงทั้งเส้นที่มีค่านิจ k1 และ k2 ก็จะยืด / หดทั้งคู่

นอกจากนี้ ถ้าลองมองกลับกัน สมมติว่าเราจับก้อนวัตถุตรึงไว้ แล้วรบกวนสมดุลโดยขยับกล่องข้างนอกแทนดู การสั่นที่เกิดขึ้นมันก็ควรจะเป็นแบบเดียวกับในข้อ 12.3) นี้ ? มันยิ่งชอบกล ๆ ไหมครับว่าทำไมคาบนี้ไม่ติด M



คือผมลองเขียนสมการการเคลื่อนที่ของ M แรงสปริงมันไม่ขึ้นจะขึ้นกับการกระจัดของ M อะครับแต่ผมทำต่อให้เป็นสมการเดียวไม่ได้  buck2
Logged
hakkobun
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5
« Reply #5 on: December 21, 2020, 01:19:34 AM »
ผมคิดว่าพอจะเข้าใจแล้วครับ

มันสมเหตุสมผลที่คาบนี้จะไม่ขึ้นกับมวล M (และตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล y ของกล่องด้วย) เพราะเรารบกวนให้สปริงมันยืดหดออกจากตำแหน่งสมดุลเดิมของมัน โดยท่ีระยะรบกวนนี้มันสะท้อนออกมาผ่านตำแหน่ง x ของมวล m เท่านั้น นั่นคือถ้าฐานที่ใช้ยึดมวล m เป็นแบบเดิม แต่เปลี่ยน’ยอด’ของกล่อง ให้เป็นรูปทรงอะไรก็ตาม คาบก็ยังคงเดิมเสมอ

ขอบคุณค้าบ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: