ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41461 Posts in 6253 Topics- by 9036 Members - Latest Member: ธัญชนก
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: บทที่ 6 ข้อ 28  (Read 193 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Ittipat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 180

Ken


« on: March 20, 2020, 09:44:56 AM »

28. ชามมีผิวในที่ราบและลื่น และมีรูปร่างเป็นทรงกลมรัศมี Rมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ Oซึ่งอยู่ที่ระดับเดียวกันกับปากชาม ABเป็นเท่อนมวล mยาว \ellท่อนนี้มีรัศมีที่เล็กมากเมื่อเทียบกับความยาวของมัน กำหนดว่า \ell>2Rจงวิเคราะห์ว่า สามารถมีสมดุลสถิตสำหรับการวางดังรูปหรือไม่ มุมที่ \overrightarrow{AB}ทำกับ \overrightarrow{CO}เป็นเท่าไร
Logged
Ittipat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 180

Ken


« Reply #1 on: May 06, 2020, 03:41:26 PM »

ถ้า มีสมดุลสถิตจะได้ว่า  \dfrac{dU}{d\alpha}=0\;(\Sigma F=0)

จากรูป จะได้

r=R(1-\sin2\alpha)

y=\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha

y_{CM}=r+y=R(1-\sin2\alpha)+\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha

U=mg[R(1-\sin2\alpha)+\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha]

U=mgR-mgR\sin2\alpha+mg\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha

\dfrac{dU}{d\alpha}=-2mgR\cos2\alpha+mg\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

0=-2mgR\cos2\alpha+mg\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

0=-2R\cos2\alpha+\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

จาก \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1

0=-2R(2\cos^2\alpha-1)+\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

0=-4R\cos^2\alpha+2R+\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

ถ้า มีสมดุลสถิตจะได้  \dfrac{dU}{d\alpha}=0\;(\Sigma F=0)

จากรูป จะได้

r=R(1-\sin2\alpha)

y=\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha

y_{CM}=r+y=R(1-\sin2\alpha)+\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha

U=mg[R(1-\sin2\alpha)+\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha]

U=mgR-mgR\sin2\alpha+mg\dfrac{\ell}{2}\sin\alpha

\dfrac{dU}{d\alpha}=-2mgR\cos2\alpha+mg\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

0=-2mgR\cos2\alpha+mg\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

0=-2R\cos2\alpha+\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

จาก \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1

0=-2R(2\cos^2\alpha-1)+\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

0=-4R\cos^2\alpha+2R+\dfrac{\ell}{2}\cos\alpha

0=8R\cos^2\alpha-\ell\cos\alpha-4R

\cos\alpha=\dfrac{\ell\pm\sqrt{\ell^2+128R^2}}{16R}

เลือกค่าบวกเพราะ \cos\alpha\geqslant 0 (ด้านมีความยาวเป็นบวก)

จัดรูปต่อจะได้ \cos\alpha=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\ell}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{\ell}{4R}\right)^2+8}\right)

จากรูปจะได้ว่า \cos\alpha=\sin\theta

\thereforeมีสมดุลสถิตเมื่อ \theta=\arcsin\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\ell}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{\ell}{4R}\right)^2+8}\right)\right)
« Last Edit: May 06, 2020, 09:04:40 PM by Ittipat » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6298


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: May 06, 2020, 07:05:44 PM »

ทำแบบไม่ใช่แคลคูลัสได้ไหมครับ ใช้สมดุลแรงและโมเมนต์ของแรงธรรมดา
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Ittipat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 180

Ken


« Reply #3 on: May 07, 2020, 06:54:33 AM »

ทำแบบไม่ใช่แคลคูลัสได้ไหมครับ ใช้สมดุลแรงและโมเมนต์ของแรงธรรมดา

จาก \Sigma F_x=0

F_N\cos2\alpha=n\sin\alpha -\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}

จาก Law of Cosines

จะได้ ความยาวแท่งไม้  =\sqrt{2R^2-2R^2\cos(\pi-2\alpha)}

เพราะว่า ความยาวจาก Aถึงศูนย์กลางมวล =\dfrac{\ell}{2}

ดังนั้น ความยาวศูนย์กลางมวลถึง D=\sqrt{2R^2-2R^2\cos(\pi-2\alpha)}-\dfrac{\ell}{2}

จาก \Sigma \tau=0

(\dfrac{\ell}{2})(F_N\sin\alpha)=(\sqrt{2R^2-2R^2\cos(\pi-2\alpha)}-\dfrac{\ell}{2})n -\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}

\dfrac{\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}}{\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}}\;;\;\dfrac{\ell\sin\alpha}{2\cos2\alpha}=\dfrac{[R\sqrt{2}(\sqrt{1+\cos2\alpha})-\dfrac{\ell}{2}]}{\sin\alpha}

\ell\sin^2\alpha=2\sqrt{2}R\cos2\alpha\sqrt{1+\cos2\alpha}-\ell\cos2\alpha

\ell(\sin^2\alpha+\cos2\alpha)=2\sqrt{2}R\cos2\alpha\sqrt{1+\cos2\alpha}

จาก \cos2\alpha=1-2\sin^2\alphaและ \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1

จะได้ \ell(1-\sin^2\alpha)=2\sqrt{2}R(2\cos^2\alpha-1)\sqrt{1+(2\cos^2\alpha-1)}

จาก \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha แทนในฝั่งซ้ายและจัดรูปฝั่งขวาเพิ่มเติม

จะได้ \ell\cos^2\alpha=4R(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha

0=\cos\alpha(8R\cos^2\alpha-\ell\cos\alpha-4R)

\because \cos\alpha\neq0\;\therefore 8R\cos^2\alpha-\ell\cos\alpha-4R=0

ก็จะได้เหมือนวิธีแรก จากนั้นแก้สมการและจัดรูปจะได้ \cos\alpha=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\ell}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{\ell}{4R}\right)^2+8}\right)

และเนื่องจาก \cos\alpha=\sin\theta

\thereforeมีสมดุลสถิตเมื่อ \theta=\arcsin\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\ell}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{\ell}{4R}\right)^2+8}\right)\right)
« Last Edit: May 07, 2020, 07:10:33 AM by Ittipat » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: