บทที่ 6 ข้อ 13

13. จงทำการวิเคราะห์และประมาณค่ามุม $\alpha$ ในตัวอย่าง 6.10 ในเรื่องแนวดิ่งปรากฎ โดยใช้ระบบอ้างอิง $XOY$ ที่ตรึงติดกับโลกและหมุนไปกับโลก นั่นคือใช้ระบบอ้างอิงที่หมุน ดังนั้นจึงใช้แรงหนีศูนย์กลาง ในการคิดได้

ตัวอย่าง 6.10
กำหนดให้โลกมวล $M$ มีลักษณะเป็นรูปทรงกลมตันรัศมี $R$ ศูนย์กลางอยู่ที่ $O$ ส่วน $m$ เป็นมวลของลูกตุ้มซึ่งห้อยอยู่ที่ผิวโลกจากปลายเสา $AB$ ซึ่งตั้งอยู่ในแนวดิ่ง $AO$ ที่จุดบนผิวโลกตรงตำแหน่งเส้นรุ้ง $\theta$ องศาเหนือ( latitude $\theta$ ) ระบบนี้กำลังหมุนรอบแกน $OY$ ด้วยความเร็วเชิงมุม $\omega$ เราได้ถือว่า $M>>m$ ดังนั้นจุดศูนย์กลางมวลของระบบจึงอนุโลมเป็นจุดศูนย์กลางของโลก เราต้องการวิเคราะห์หาว่าสายลูกตุ้มเบา $B_m$ ทำมุมกับแนวดิ่ง $AB$ เท่ากับ $\alpha$ ค่า $\alpha$ ขึ้นกับค่าใดบ้าง และรูปความสัมพันธ์เป็นอย่างไร

ผมขออนุญาตสรุปการแก้ข้อตัวอย่าง ฉบับจริงอยู่ที่หน้าที่ 171-172

สมการการเคลื่อนที่ วงกลม ของลูกตุ้ม

$f\cos \theta - \tau \cos ( \theta + \alpha ) = m \omega ^2 R \cos \theta -- ( i )$

$f\sin \theta = \tau \sin ( \theta + \alpha ) -- ( ii )$

ระรึกว่า

$f = \dfrac{GMm}{R^2} = gm , g \equiv \dfrac{GM}{R^2}$

รวมสมการได้ว่า

$\sin \alpha = \dfrac { \omega ^2 R }{g} \cos \theta \sin( \theta + \alpha ) \approx \dfrac{\omega^2 R}{g} \cos \theta \sin \theta$

ประมาณ $\alpha << \theta$ จาก $\dfrac{\omega^2R}{g} << 1$ จากการแทนเลข

ได้

$\tau \approx \dfrac{GMm}{R^2} - m\omega^2R \cos ^2 \theta$