แบบฝึกหัดในค่าย

ขอลองทำข้อแรกดูครับ
ข้อ1

กำหนดให้ตอนเริ่มต้นหยดน้ำมีรัศมี $r_{0}$ อัตราการเพิ่มรัศมี $\beta$ ความหนาแน่น $\rho$ อยู่สูงจากพื้น $h$
ให้ที่เวลา $t$ ใดๆหยดน้ำมีรัศมี $r$ ในเวลา $\delta t$ เล็กๆน้ำกวาดมวลละอองน้ำมา $\delta m$ ซึ่งแรงที่หยดน้ำทำกับละอองน้ำคือ

$F = \dfrac{\delta mv}{\delta t}$

$\delta m = \rho 4 \pi r^{2}\delta r$

$F = \rho 4 \pi r^2 v\dfrac{\delta r}{\delta t} = \rho 4 \pi r^2v\beta$

จากกฎข้อที่สามของนิวตันแรงที่ทำกับละอองน้ำต้องมีขนาดเท่ากับแรงละอองน้ำทำกับหยดน้ำ

จากกฎข้อที่สองของนิวตันเราจะได้สมการการเคลื่อนที่ของหยดน้ำ

$mg - \rho 4\pi r^2v\beta = m\dot{v}$

$g - \dfrac{\rho 4\pi r^2v\beta}{m} = \dot{v}$

จาก $m = \rho \dfrac{4}{3} \pi r^3$ จะได้ว่า

$g - \dfrac{3\beta v}{r} = \dot{v}$

คูณ $r^3$ ทั้งสมการ

$gr^3 = \dot{v} r^3 + 3r^2\dot{r} v$

$gr^3 = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(vr^3\right)$

$\displaystyle\int gr^3\mathrm{d} t = \displaystyle\int \mathrm{d}\left(vr^3\right)$

$\dfrac{g}{\beta}\displaystyle\int \left(r_0 + \beta t\right)^3\mathrm{d}\left(r_0 + \beta t\right) = \displaystyle\int \mathrm{d}\left(vr^3\right)$

$\dfrac{g}{4\beta}\left(r_0 + \beta t\right)^4 = \left(r_0 + \beta t\right)^3v + \displaystyle C$

จากเงื่อนไขตั้งต้นที่ $t = 0, v = 0$ แทนลงไปในสมการจะได้

$\displaystyle C = \dfrac{gr_0^4}{4\beta}$

$v = \dfrac{g}{4\beta}\left(r_0 + \beta t\right) - \dfrac{gr_0^4}{4\beta\left(r_0 + \beta t\right)^3}$

จาก $v = \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ จะได้

$\dfrac{g}{4\beta^2}\displaystyle\int_{0}^{T} \left(r_0 + \beta t\right)\mathrm{d}\left(r_0 + \beta t\right) - \dfrac{gr_0^4}{4\beta}\displaystyle\int_{0}^{T} \left(r_0 + \beta t\right)^{-3}\mathrm{d}\left(r_0 + \beta t\right) = \displaystyle\int_{0}^{h}\mathrm{d}x$

$\dfrac{g}{8\beta^2}\left(r_0 + \beta T\right)^2 - \dfrac{gr_0^2}{8\beta^2} + \dfrac{gr_0^4}{8\beta^2\left(r_0 + \beta T\right)^2} - \dfrac{gr_0^2}{8\beta^2} = h$

ให้ $r_0 + \beta T = R , \dfrac{g}{8\beta^2} = \alpha , h + \dfrac{gr_0^2}{4\beta^2} = \gamma$ จัดรูปเล็กน้อยจะได้

$\alpha R^4 - \gamma R^2 + \alpha r_0^4 = 0$

$R = \pm \sqrt{\dfrac{\gamma}{2\alpha}\pm \sqrt{\dfrac{\gamma^2}{4\alpha^2}-r_0^4}}$

เลือกค่าบวก

$R = \sqrt{\dfrac{\gamma}{2\alpha} + \sqrt{\dfrac{\gamma^2}{4\alpha^2}-r_0^4}$

ช่วยเช็คคำตอบหน่อยครับถ้าผิดหรือว่ามีวิธีที่ง่ายกว่าก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ