ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41244 Posts in 6175 Topics- by 8110 Members - Latest Member: Vigarnda
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: บทที่ 6 ข้อ 1  (Read 367 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Ittipat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 57

Ken


« on: November 10, 2019, 08:59:28 AM »

1. สำหรับระบบสองอนุภาคมวล m_1,m_2เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงด้วยความเร็ว  v_1,v_2ตามลำดับ จงแสดงว่า \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2-(\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2)=-\frac{1}{2} \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)^2
Logged
Ittipat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 57

Ken


« Reply #1 on: December 10, 2019, 06:15:24 AM »

พิจารณา กรอบของ v_{CM}

ให้ u_1\equiv v_1-v_{CM}และ u_2\equiv v_2-v_{CM}

หาจุดศูนย์กลางมวลจะได้ x_{CM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}โดย x_1 , x_2เป็นตำแหน่งของอนุภาค

จะได้ \frac{d}{dt}x_{CM}=\frac{d}{dt}(\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2})

v_{CM}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}

นำ v_{CM}แทนค่า

จะได้ u_1=v_1-(\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1v_1+m_2v_1-m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)

u_2=v_2-(\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1v_2+m_2v_2-m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}(v_2-v_1)

พิจารณาพลังงานจลน์เทียบ CM

จะได้ K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1(\frac{m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2))^2+\frac{1}{2}m_2(\frac{m_1}{m_1+m_2}(v_2-v_1))^2

พิจารณา เทียบกับ v_{CM}

ให้  u_1\equiv v_1-v_{CM}และ u_2\equiv v_2-v_{CM}

หาจุดศูนย์กลางมวลจะได้ x_{CM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}โดย x_1 , x_2เป็นตำแหน่งของอนุภาค

จะได้ \frac{d}{dt}x_{CM}=\frac{d}{dt}(\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2})

v_{CM}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}

นำ v_{CM}แทนค่า

จะได้ u_1=v_1-(\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1v_1+m_2v_1-m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)

u_2=v_2-(\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1v_2+m_2v_2-m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}(v_2-v_1)

พิจารณาพลังงานจลน์เทียบ CM

จะได้ K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1(\frac{m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2))^2+\frac{1}{2}m_2(\frac{m_1}{m_1+m_2}(v_2-v_1))^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2^2}{(m_1+m_2)^2}(v_1-v_2)^2+\frac{1}{2}\frac{m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2}(v_1-v_2)^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2^2}{(m_1+m_2)^2}+\frac{m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2})(v_1-v_2)^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^2})(v_1-v_2)^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2}{m_1+m_2})(v_1-v_2)^2

พิจารณา K.E._{System}=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2

จาก u_1\equiv v_1-v_{CM}และ u_2\equiv v_2-v_{CM}

จะได้ v_1=u_1+v_{CM}และ v_2=u_2+v_{CM}

จะได้ K.E._{System}=\frac{1}{2}m_1(u_1+v_{CM})^2+\frac{1}{2}m_2(u_2+v_{CM})^2

K.E._{System}=\frac{1}{2}m_1(u_1^2+2u_1v_{CM}+v_{CM}^2)+\frac{1}{2}m_2(u_2^2+2u_2v_{CM}+v_{CM}^2)

K.E._{System}=(\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2)+(m_1u_1+m_2u_2)v_{CM}+(\frac{1}{2}m_1v_{CM}^2+\frac{1}{2}m_2v_{CM}^2)

K.E._{System}=K.E._{rel,CM}+(m_1u_1+m_2u_2)v_{CM}+\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2

จาก ผลบวกโมเมนตัมเชิงเส้นทั้งหมดในกรอบของ CM=0เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ

จะได้ K.E._{System}=K.E._{rel,CM}+0+\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2

แทนค่า K.E._{rel,CM}และ K.E._{System}

\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2}{m_1+m_2})(v_1-v_2)^2+\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2

\therefore\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2-(\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2)=-\frac{1}{2} \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)^2
« Last Edit: December 10, 2019, 06:18:02 AM by Ittipat » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: