ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41287 Posts in 6180 Topics- by 8387 Members - Latest Member: misterx
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: บทที่ 6 ข้อ 7  (Read 615 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
punpunyawish
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 32


Punyawish Patumhirunruksa


« on: November 12, 2019, 10:15:39 PM »

ข้อ. 7
 m_1 , m_2 กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว  v_1,v_2 ตามลำดับ จงแสดงว่าในระบบรูปนี้มีพลังงานจลน์เท่ากับ  \dfrac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{\text{{cm}}} ^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2} \left| \vec{v}_1- \vec{v}_2  \right| ^2 ในที่นี้ \vec{v}_{\text{{cm}}} เป็นความเร็วของศูนย์กลางมวลระบบ
« Last Edit: January 23, 2020, 08:05:12 PM by punpunyawish » Logged
Ittipat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 75

Ken


« Reply #1 on: January 26, 2020, 05:09:32 AM »

แนวคิดคล้าย บทที่ 6 ข้อ 1 แต่พิจารณาเป็นเวกเตอร์

พิจารณา กรอบของ \vec{v}_{CM}

ให้ \vec{u}_1\equiv \vec{v}_1-\vec{v}_{CM}และ \vec{u}_2\equiv \vec{v}_2-\vec{v}_{CM}

หาจุดศูนย์กลางมวลจะได้ \vec{x}_{CM}=\frac{m_1\vec{x}_1+m_2\vec{x}_2}{m_1+m_2}โดย \vec{x}_1 , \vec{x}_2เป็นตำแหน่งของอนุภาค

จะได้ \frac{d}{dt}\vec{x}_{CM}=\frac{d}{dt}(\frac{m_1\vec{x}_1+m_2\vec{x}_2}{m_1+m_2})

\vec{v}_{CM}=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}

นำ \vec{v}_{CM}แทนค่า

จะได้ \vec{u}_1=\vec{v}_1-(\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_1-m_1\vec{v}_1-m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{m_2}{m_1+m_2}(\vec{v}_1-\vec{v}_2)

\vec{u}_2=\vec{v}_2-(\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1\vec{v}_2+m_2\vec{v}_2-m_1\vec{v}_1-m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}(\vec{v}_2-\vec{v}_1)

พิจารณาพลังงานจลน์เทียบ CM

จะได้ K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1(\frac{m_2}{m_1+m_2}|\vec{v}_1-\vec{v}_2|)^2+\frac{1}{2}m_2(\frac{m_1}{m_1+m_2}|\vec{v}_2-\vec{v}_1|)^2

พิจารณา เทียบกับ \vec{v}_{CM}

ให้ \vec{u}_1\equiv \vec{v}_1-\vec{v}_{CM}และ \vec{u}_2\equiv \vec{v}_2-\vec{v}_{CM}

หาจุดศูนย์กลางมวลจะได้ \vec{x}_{CM}=\frac{m_1\vec{x}_1+m_2\vec{x}_2}{m_1+m_2}โดย \vec{x}_1 , \vec{x}_2เป็นตำแหน่งของอนุภาค

จะได้ \frac{d}{dt}\vec{x}_{CM}=\frac{d}{dt}(\frac{m_1\vec{x}_1+m_2\vec{x}_2}{m_1+m_2})

\vec{v}_{CM}=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}

นำ \vec{v}_{CM}แทนค่า

จะได้ \vec{u}_1=\vec{v}_1-(\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_1-m_1\vec{v}_1-m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{m_2}{m_1+m_2}(\vec{v}_1-\vec{v}_2)

\vec{u}_2=\vec{v}_2-(\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2})=\frac{m_1\vec{v}_2+m_2\vec{v}_2-m_1\vec{v}_1-m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}(\vec{v}_2-\vec{v}_1)

พิจารณาพลังงานจลน์เทียบ CM

จะได้ K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}m_1(\frac{m_2}{m_1+m_2}|\vec{v}_1-\vec{v}_2|)^2+\frac{1}{2}m_2(\frac{m_1}{m_1+m_2}|\vec{v}_2-\vec{v}_1|)^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2^2}{(m_1+m_2)^2}|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2+\frac{1}{2}\frac{m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2}|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2^2}{(m_1+m_2)^2}+\frac{m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2})|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^2})|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2

K.E._{rel,CM}=\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2}{m_1+m_2})|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2

พิจารณา K.E._{System}=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2

จาก \vec{u}_1\equiv \vec{v}_1-\vec{v}_{CM}และ \vec{u}_2\equiv \vec{v}_2-\vec{v}_{CM}

จะได้ \vec{v}_1=\vec{u}_1+\vec{v}_{CM}และ \vec{v}_2=\vec{u}_2+\vec{v}_{CM}

จะได้ K.E._{System}=\frac{1}{2}m_1|\vec{u}_1+\vec{v}_{CM}|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{u}_2+\vec{v}_{CM}|^2

K.E._{System}=\frac{1}{2}m_1(u_1^2+2\vec{u}_1\vec{v}_{CM}+v_{CM}^2)+\frac{1}{2}m_2(u_2^2+2\vec{u}_2\vec{v}_{CM}+v_{CM}^2)

K.E._{System}=(\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2)+(m_1\vec{u}_1+m_2\vec{u}_2)\vec{v}_{CM}+(\frac{1}{2}m_1v_{CM}^2+\frac{1}{2}m_2v_{CM}^2)

K.E._{System}=K.E._{rel,CM}+(m_1\vec{u}_1+m_2\vec{u}_2)v_{CM}+\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2

จาก ผลบวกโมเมนตัมเชิงเส้นทั้งหมดในกรอบของ CM=0เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ

จะได้ K.E._{System}=K.E._{rel,CM}+0+\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2

\therefore K.E._{System}=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{CM}^2+\frac{1}{2}(\frac{m_1m_2}{m_1+m_2})|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: