ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

40944 Posts in 6071 Topics- by 6009 Members - Latest Member: raiton
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: สอวน.กลศาสตร์ม.ต้น บทที่ 1 ข้อ 24  (Read 46 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
PT_CIS
neutrino
*
Online Online

Posts: 126


« on: February 09, 2019, 07:46:43 PM »

24. กำหนดให้ว่าลูกปิงปองที่กระทบพื้นแข็งด้วยความเร็วต้น  v_0   ในแนวดิ่งลงจะกระดอนขึ้นด้วยความเร็วต้น  ev_0 ในแนวดิ่งขึ้น โดยที่  e   เป็นค่าคงที่ที่มีค่ามากกว่าศูนย์และน้อยกว่า หนึ่ง เรียก  e ว่าสัมประสิทธิ์ของการกระดอน (coefficient of restitution)
ก. จงแสดงว่าช่วงเวลาที่ลูกปิงปอง (ลอย) อยู่ในอากาศก่อนการกระดอนครั้งที่สอง คือ  \tau_1 = \dfrac {2ev_0} {g}
ข. จงแสดงว่านับตั้งแต่ลูกปิงปองตกกระทบพื้นครั้งแรกด้วยความเร็วต้น v_0 ในแนวดิ่งลงแล้ว จะกระดอนต่อเนื่องอยู่เป็นเวลานานเพียง  t_ {\infty } = \left( \dfrac {2e} {1-e} \right) \dfrac {v_0} {g}
ค. แต่ถ้าให้  t_n แทนช่วงเวลาที่นับจากกระดอนครั้งแรกจนถึงเริ่มครั้งที่ n ละก็  t_n มีค่าเท่าไร
ง. เสียงกระทบพื้น ป๊อก,ป๊อก,ป๊อก,... ที่จังหวะเวลา  t_n นั้นคิดเป็น " ความถี่  f_n " กี่ครั้งต่อวินาที (โดยประมาณในช่วงเวลาแถวนั้น)
คำแนะนำ
(i) \dfrac {1} {1-x} =  \dfrac { 1-x+x-x^2+x^2+....} {1-x} = 1+x+x^2+x^3+....  ถึงอนันต์ ใช้ได้สำหรับ  |x|<1 และประยุกต์ในข้อ ข.
(ii) 1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1} = \dfrac {1-x^n} {1-x}  x<1 ใช้ในข้อ ค. และ ข. ก็ได้เมื่อ n โตเป็นอนันต์
(iii) การกระจายแบบทวินาม (แบบไบโนเมียล = Binomial expansion)
 \left(a+b \right)^n =a^n + na^{n-1}b + \dfrac { n \left(n-1 \right) } {1 \times 2}a^ {n-2} b^2 + .... + nab^{n-1} + b^n
ซึ่งในกรณีที่  a=1 และ  b<1 จะได้โดยประมาณว่า  \left ( 1 + b) ^n \approx 1 + nb
 \Delta t \equiv [1- \left( 1-e)]^ {\Delta n}  \approx 1-\left(1-e \right)\Delta n
ใช้การประมาณนี้ในการหาว่า  \Delta t มีค่าประมาณเท่าไร เมื่อ  n เพิ่มขึ้นนิดหน่อย  \Delta n ซึ่งในที่นี้
 \Delta t \equiv t_n + t_ {n+1} + t_ {n+2} + ... + t_ {n+ \Delta n -1} (ดูข้อ ค.) และแสดงให้ได้ว่า  \Delta t \approx \dfrac {2v_0e^n} {g} \Delta n ซึ่งความถี่ของการกระทบพื้น ป็อก,ป็อก,ป็อก,... เท่ากับ \dfrac {g} {2v_0e^n} นั้นสามารถหาได้ทันทีจากส่วนกลับของช่วงเวลา  \tau_n = \dfrac{2v_0e^n} {g} ที่ลูกปิงปองลอยอยู่ในอากาศ หลังจากการดอนที่  n ไปถึงครั้งที่  n+1 แต่การคิดตามแนวทางที่แนะนำมานั้นจะช่วยให้เข้าใจปรากฎการณ์ได้ชัดเจนกว่า

« Last Edit: February 09, 2019, 09:12:09 PM by PT_CIS » Logged
PT_CIS
neutrino
*
Online Online

Posts: 126


« Reply #1 on: February 09, 2019, 09:30:42 PM »

หลักฟิสิกส์ ; เราต้องพยายามเขียน เวลาในการกระดอนครั้งที่  n ในรูปของ  e และ  v_0
การวิเคราะห์ ;
ก.)  v_1=ev_0 ,x_y=0 ; 0=ev_0t-\frac{1}{2}gt^2 = t (ev_0 -\frac{1}{2} g t )
t=0 หรือ  ev_0 - \frac{1}{2} gt =0
 \therefore t = \dfrac {2v_0e} {g}
ค.)  v_n=e^nv_0 , x_y=0;0 = e^nv_0t - \frac {1}{2}gt^2
 t =\dfrac {2e^nv_0}{g}
ง.)  f = \dfrac {1}{t} = \dfrac {g}{2v_0e^n}
ข.)  t_ {\infty }= \displaystyle \sum^{\infty}_{1} t_i ,t_n=\dfrac {2v_0e^n} {g}
 t_ {\infty} = \dfrac {2v_0}{g}e + \dfrac {2v_0}{g}e^2 + \dfrac {2v_0}{g} e^3 + ...
 \dfrac{2v_0e}{g} (1 +e +e^2 +...)
จากคำแนะนำ ;
 \therefore t_{\infty }= \left(\dfrac {2v_0}{g} \right) \left( \dfrac {e }{1-e} \right)
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น