ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

40651 Posts in 5986 Topics- by 5670 Members - Latest Member: Thanyaluk
mPEC Forumฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุนฟิสิกส์โอลิมปิก ระหว่างประเทศข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ ครั้งที่ 45 ปี 2014 ที่กรุงอัสตานา ประเทศคาซัคสถาน
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ ครั้งที่ 45 ปี 2014 ที่กรุงอัสตานา ประเทศคาซัคสถาน  (Read 9060 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6102


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: July 15, 2014, 06:26:39 PM »

ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ ครั้งที่ 45 ปี 2014 ที่กรุงอัสตานา ประเทศคาซัคสถาน

ข้อสอบภาคทฤษฎี
มี 3 ข้อ เวลาทำ 5 ชั่วโมง

ทฤษฎีข้อที่ 1


* Theory1p1_2.jpg (122.44 KB, 750x971 - viewed 1356 times.)

* Theory1p2_2.jpg (50.58 KB, 750x971 - viewed 1348 times.)
« Last Edit: July 15, 2014, 06:48:58 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6102


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: July 15, 2014, 06:35:26 PM »

ทฤษฎีข้อ 2



* Theory2p1_4.jpg (146.82 KB, 750x1060 - viewed 1330 times.)

* Theory2p2_4.jpg (137.43 KB, 750x1060 - viewed 1338 times.)

* Theory2p3_4.jpg (137.19 KB, 750x1060 - viewed 1320 times.)

* Theory2p4_4.jpg (144.28 KB, 750x1060 - viewed 1339 times.)
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6102


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: July 15, 2014, 06:40:26 PM »

ทฤษฎีข้อ 3



* Theory3p1_4.jpg (139.67 KB, 750x1060 - viewed 1320 times.)

* Theory3p2_4.jpg (118.22 KB, 750x1060 - viewed 1315 times.)

* Theory3p3_4.jpg (160.71 KB, 750x1060 - viewed 1328 times.)

* Theory3p4_4.jpg (80.52 KB, 750x1060 - viewed 1311 times.)
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 375


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #3 on: July 16, 2014, 02:22:56 PM »

ข้อ 2 นะครับ

Part A

A1) 1 โมลของน้ำมี N_A โมเลกุล ซึ่งคิดเป็นปริมาตร \dfrac{4}{3} N_A \pi (d/2)^3 &=& \dfrac{ \pi d^3 N_A}{6}

ดังนั้นปริมาตรที่โมเลกุลแก๊สเข้าไปแทนที่คือ  b &=& \dfrac{ \pi d^3 N_A}{6}

** ตรงการคิดปริมาตรนี้ผมไม่แน่ใจว่ามีอะไรมากกว่านี้ไหม เพราะเท่าที่เคยทราบมา เหมือนกับว่า ปริมาตรที่แก๊ส 1 โมเลกุลไปแทนที่ จะต้องคิดเสมือนว่ามีทรงกลมรัศมีเป็น 2 เท่ามาครอบโมเลกุลไปอีก เนื่องจากศูนย์กลางของโมเลกุลน้ำใดๆ ไม่สามารถเข้าใกล้กันได้มากกว่าความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง  

A2) ตามโจทย์จุดที่เส้นตรงความดันคงที่เชื่อมอยู่ เมื่อเปลี่ยนอุณหภูมิจะเลื่อนเข้ามาใกล้กันเรื่อยๆ จนติดกันในที่สุด ซึ่งเราจะสังเกตจากรูปร่างของกราฟได้ว่า เมื่อจุดทั้ง 2 มาเชื่อมกันแล้วนั้น จุดร่วมของทั้งสองคือจุดเปลี่ยนเว้า (point of inflection) ของกราฟนี้ นั่นคือมีการเปลี่ยนแปลงสถานะจาก L เป็น G ทันทีโดยไม่มีสถานะ LG เลยนั่นเอง

ดังนั้นเงื่อนไขสำหรับจุดที่ว่านี้คือ  \dfrac{\partial P}{\partial V } &=& 0  และ  \dfrac{\partial^2 P}{\partial V^2 } &=& 0

จะได้เงื่อนไขออกมาว่า  \dfrac{2a}{V^3} &=& \dfrac{RT_c}{(V-b)^2}  กับ  \dfrac{a}{V^4} &=& \dfrac{RT_c}{3(V-b)^3}

แก้สมการได้ว่า V &=& 3b แทนในสมการสถานะของ VDW ได้ว่า P_c &=& \dfrac{RT_c}{2b} - \dfrac{a}{9b^2}

จากสมการเงื่อนไขแรกได้ว่า a &=& \dfrac{V^3 RT_c}{2(V-b)^2} &=& \dfrac{27 b^3 RT_c}{2(2b)^2} &=& \dfrac {27RT_c b}{8}

แทนในสมการ VDW ต่อได้ว่า P_c &=& \dfrac{RT_c}{2b} - \dfrac{3RT_c}{8b} &=& \dfrac{RT_c}{8b}

ดังนั้น b &=& \dfrac{RT_c}{8P_c} และ a &=& \dfrac {27RT_c b}{8} &=& \dfrac{27(RT_c)^2}{64P_c}

A3) แทนค่าเป็นตัวเลขได้ว่า  a_w &=& 5.5 \times 10^{-1} \; \mbox{ kg} \cdot \mbox{m^5} \cdot \mbox{s^{-2}} \cdot \mbox{mol^{-2}} และ b_w &=& 3.1 \times 10^{-5} \; \mbox{m^3}

A4) จาก A1) ได้ว่า d_w &=& \left( \dfrac{6b}{\pi N_A} \right)^{1/3} &=& 4.6 \times 10^{-10} \; \mbox{m}

Part B

B1) เนื่องจาก V_G \gg b เราประมาณสมการ VDW ได้เป็น P_0 \approx \dfrac{RT}{V_G} - \dfrac{a}{V_G^2}

จัดรูปได้ว่า P_0 V_G^2 - RTV_G + a &=& 0 ดังนั้น V_G &=& \dfrac{RT}{2P_0} \left\{ 1 + \sqrt{1 - \dfrac{4aP_0}{(RT)^2}}  \right\}

B2)  V_{G0} &=& \dfrac{RT}{P_0} ดังนั้น \dfrac{ \Delta V_G}{V_{G0}} &=& \dfrac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{4aP_0}{(RT)^2}} \right) \approx 0.58  \; \mbox{percent}

B3)  \dfrac{dP}{dV} &=& -\dfrac{RT}{V^2} + \dfrac{2a}{V^3} \leq 0 ได้ว่า V \geq \dfrac{2a}{RT} \Rightarrow  V_{G min} &=& \dfrac{2a}{RT}

ดังนั้น \dfrac{V_G}{V_ {G min}} \approx 87

B4) สำหรับของเหลวตามโจทย์ P \ll \dfrac{a}{V^2} เราสามารถประมาณสมการ VDW ได้ว่า \dfrac{a}{V^2} \approx \dfrac{RT}{V-b}

จัดรูปได้ว่า RTV^2 - aV + ab &=& 0  ดังนั้น  V_L &=& \dfrac{a}{2RT} \left\{ 1 - \sqrt{ 1 - \dfrac{4bRT}{a} } \right\}

B5) ถ้าประมาณอีกว่า bRT \ll a จะได้ว่า V_L \approx \dfrac{a}{2RT} - \dfrac{a}{2RT} \left( 1 - \dfrac{2bRT}{a}  \right) \approx b \left( 1 + \dfrac{bRT}{a} \right)

ดังนั้นความหนาแน่นน้ำคือ \rho_L &=& \dfrac{m}{V_L} &=& \dfrac{ \mu}{b \left( 1 + \dfrac{bRT}{a} \right) }

B6) \alpha &=& \dfrac{1}{V_L} \dfrac{ \partial V_L}{ \partial T} &=& \dfrac{bR}{a}

B7) จากกฎข้อ 1 ของ Thermodynamics จะได้ว่า dQ = dW + dU = PdV + c_vdT + \dfrac{a}{V^2} dV โดยในการเปลี่ยนเฟสนั้น dT &=& 0

จึงได้ dQ &=& Ldm &=& \left( P + \dfrac{a}{V^2} \right) dV

L \mu &=& P_0 (V_G - V_L) + \displaystyle \int_{V_L}^{V_G} \dfrac{a}{V^2} dV &=& P_0 (V_G - V_L) + a \left( \dfrac{1}{V_L} - \dfrac{1}{V_G} \right)

จากข้อก่อนๆ V_L \approx b และ V_G \approx \dfrac{RT}{P_0}

ได้ว่า L &=& \dfrac{1}{\mu} \left\{ P_0 \left( \dfrac{RT}{P_0} - b \right) + a \left( \dfrac{1}{b} - \dfrac{P_0}{RT}  \right)    \right\}

Part C

C1) ที่ระดับผิวเรียบของฟองอากาศ จะได้ว่า \rho_s h \pi r^2 g + \sigma (2 \pi r) &=& \rho_L h \pi r^2 g (สมดุลของผิวน้ำเรียบ)

จึงได้ว่า h &=& \dfrac{ 2 \sigma}{( \rho_L - \rho_S)gr}

ดังนั้นเราได้ว่าไอน้ำบนผิวโค้งน้ำต้องมีความดันเป็น  \Delta p_T &=& \rho_s gh &=& \dfrac{ 2 \rho_S \sigma}{( \rho_L - \rho_S)r} เพื่อรักษารูปร่างผิวน้ำไว้

C4) (สังเกตว่าไม่มี C2 , C3)  เดี๋ยวมาต่อครับ
« Last Edit: July 19, 2014, 01:31:39 PM by dy » Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« Reply #4 on: July 16, 2014, 10:39:15 PM »

ขอลองทำข้อ 1 นะครับ Smiley

ตอน A
สมมติว่าตอนที่ก้อนมวล m อยู่ที่ตำแหน่งต่ำสุด มันเคลื่อนที่ไปทางขวาเร็ว v เทียบกับจุดศูนย์กลางทรงกระบอก และตอนนั้นจุดศูนย์กลางทรงกระบอกเคลื่อนที่ไปทางซ้ายเร็ว V เทียบกับพื้น


หลักอนุรักษ์พลังงานบ่งว่า

\displaystyle mgR = \frac{1}{2}m\left( v-V \right)^2 + \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}\left( MR^2 \right)\left( \frac{V}{R} \right)^2 --> (1)


พิจารณาเฉพาะทรงกระบอกกลวง ให้จุดศูนย์กลางทรงกระบอกเป็นจุดอ้างอิงของการคิดทอร์กและโมเมนตัมเชิงมุม
มีทอร์กเนื่องจากแรงเสียดทาน f ที่พื้นทำต่อทรงกระบอก สมมติว่าก้อนมวลใช้เวลา T จึงเคลื่อนลงมาถึงจุดต่ำสุด


\displaystyle \int_{0}^{T}fRdt = MR^2\left( \frac{V}{R} \right)

\displaystyle \int_{0}^{T}fdt = MV --> (2)


พิจารณาเฉพาะก้อนมวล มีแรงแนวราบทำต่อก้อนมวลคือ แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก(ในแนวราบ) N_x ซึ่งกระบอกทำต่อก้อนมวล

\displaystyle \int_{0}^{T}N_xdt = m(v-V) --> (3)


พิจารณาเฉพาะทรงกระบอกกลวง มีแรงแนวราบทำต่อทรงกระบอกกลวง คือ f และ N_x

\displaystyle \int_{0}^{T}\left( N_x - f \right)dt = MV --> (4)

แทน (2) และ (3) ใน (4) จะได้ \displaystyle v = \frac{2M+m}{m}V --> (5) เอาไปแทนใน (1)

\displaystyle mgR = \left( \frac{1}{2}m\left( \frac{2M}{m} \right)^2 + M \right)V^2

\displaystyle V^2 = \frac{m^2}{M\left( 2M+m \right)}gR --> (6) เอาไปแทนใน (5)

ดังนั้น \displaystyle v^2 = \frac{\left( 2M+m \right)}{M}gR --> (7)


พิจารณาในกรอบที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับจุดศูนย์กลางทรงกระบอก
ขณะที่ก้อนมวลเคลื่อนลงมาถึงจุดต่ำสุดพอดี กรอบนี้เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย!
ในกรอบนี้มองเห็นว่าก้อนมวลเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี R
กรอบนี้มองเห็นว่าก้อนมวลมีความเร็ว v


\displaystyle F-mg = \frac{mv^2}{R}

\displaystyle F = \left( \frac{3M+m}{M} \right)mg ตอบ


Logged
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« Reply #5 on: July 16, 2014, 11:34:31 PM »

ข้อ 1 ตอน B

1)
ความจุความร้อนต่อโมล \displaystyle = \frac{dQ}{dT} = \frac{dU + PdV}{dT} --> (0)

แก๊สอุดมคติอะตอมคู่หนึ่งโมล \displaystyle dU = C_VdT = \frac{5}{2}RdT --> (1)


พิจารณาขณะที่ฟองสบู่มีรัศมี r

ฟองสบู่อยู่ในสุญญากาศ ดังนั้นความดันภายนอกเป็น 0 และจากที่ลาปลาซบอก (เงื่อนไขสมดุลเชิงกลของฟอง) ความดันภายในจึงเป็น \displaystyle P = \frac{2\sigma}{r} --> (2) ***หลุมพราง ฟองสบู่มี 2 ผิว แต่มีเฉพาะผิวในเท่านั้นที่สัมผัสกับแก๊ส (ผิวนอกสัมผัสกับสุญญากาศ) ดังนั้นแรงตึงผิวจะมีเฉพาะที่ผิวใน ค่าความตึงผิวในตารางที่คุ้นเคย คือความตึงผิวที่ liquid-gas interface ถ้ามีแต่ liquid ไม่มี gas ก็ไม่มีความตึงผิว

\displaystyle \frac{dV}{dT} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dT} --> (3)


แก๊สหนึ่งโมล \displaystyle PV = RT

\displaystyle PdV + VdP = RdT

\displaystyle \left( \frac{2\sigma}{r} \right)4\pi r^2 dr + \frac{4}{3}\pi r^3 \left( -\frac{2\sigma}{r^2}dr \right) = RdT

\displaystyle 4\pi r^2 dr \left( \frac{4\sigma}{3r} \right) = RdT

\displaystyle 4\pi r^2 \frac{dr}{dT} = R\frac{3r}{4\sigma} --> (4)


แทนทั้งหมดลงใน (0)

\displaystyle \frac{dQ}{dT} = \frac{5}{2}R + \left( \frac{2\sigma}{r} \right)R\frac{3r}{4\sigma}

\displaystyle \frac{dQ}{dT} = 4R ตอบ



2) ความจุความร้อนของฟิล์มสบู่สูงมากๆๆๆ แปลว่า ต้องใช้ความร้อนสูงมากๆๆๆ กว่าอุณหภูมิของฟิล์มสบู่จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วย
ดังนั้นจึงประมาณได้ว่า อุณหภูมิของฟิล์มสบู่ไม่เปลี่ยน

ให้ถือว่าการแลกเปลี่ยนความร้อนเข้าสู่สมดุลอุณหภูมิ... หมายความว่า แก๊สอยู่ในสมดุลอุณหภูมิกับฟิล์มสบู่ตลอด
และฟิล์มสบู่มีอุณหภูมิคงที่ ดังนั้น แก๊สจึงมีอุณหภูมิคงที่ด้วย (เอ่อ คือบอกมาตรงๆ ว่าเป็นกระบวนการ isothermal ก็ไม่มีใครว่าหรอกนะครับ Grin )


\displaystyle P_0 V_0 = PV

\displaystyle \left( \frac{2\sigma}{r} \right) \frac{4}{3}\pi r_0^3 = P \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right)

\displaystyle P = \frac{2\sigma r_0^2}{r^3} --> (1)


พิจารณาแรงที่กระทำต่อครึ่งฟอง ขณะที่ฟองมีรัศมี r

\displaystyle P\pi r^2 - \sigma 2\pi r = ma_{\text{cm}}

m คือมวลครึ่งฟอง \displaystyle = \rho 2\pi r_0h

a_{\text{cm}} คืออัตราเร่งของศูนย์กลางมวลครึ่งทรงกลมกลวง

\displaystyle P - \frac{2\sigma}{r} = 2\rho\frac{r_0^2}{r^2}ha_{\text{cm}}


ศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวงรัศมี r อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะ r/2 (ในห้องสอบคงต้องพิสูจน์)

เพราะฉะนั้น \displaystyle a_{\text{cm}} = \frac{1}{2}\ddot{r}

\displaystyle \frac{2\sigma r_0^2}{r^3} - \frac{2\sigma}{r} = \rho\frac{r_0^2}{r^2}h\ddot{r}


กำหนดให้ \displaystyle r = r_0 + \delta ดังนั้น \displaystyle \ddot{r} = \ddot{\delta}

การสั่นน้อยๆ \displaystyle \delta\ll r_0 ทำให้ประมาณ Binomial ได้

\displaystyle \frac{2\sigma}{r_0}\left( 1 - 3\frac{\delta}{r_0} \right) - \frac{2\sigma}{r_0}\left( 1 - \frac{\delta}{r_0} \right) = \rho h \left( \delta - \frac{2 \delta \ddot{\delta}}{r_0} \right)

เทอมขวาสุดเป็น second order ตัดทิ้ง

\displaystyle -\left( \frac{4\sigma}{\rho h r_0^2} \right) \delta = \ddot{\delta}

ดังนั้น \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{4\sigma}{\rho h r_0^2}} ตอบ
« Last Edit: July 19, 2014, 12:45:06 AM by saris2538 » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 375


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #6 on: July 17, 2014, 02:12:44 PM »

ขอลองข้อ 3 Part A ต่อเลยนะครับ

A1) สมการที่บรรยายอัตราการเปลี่ยนแปลงจำนวน e- ต่อหน่วยปริมาตรคือ  \dfrac{d}{dt} n_e &=& Z_{ext} - Z_{rec} &=& Z_{ext} - rn_en_i

ทั้งนี้เนื่องจากตอนแรกสุดไม่มีทั้งไอออนและ e- และที่ทุกขณะหลังจากนั้นไอออนกับ e- ถูกผลิตออกมาและกลับมารวมกันเป็น "คู่ๆ" ตลอด ดังนั้นเราได้ว่าทุกขณะเวลา จำนวนของไอออนกับ e- ต้องเท่ากันตลอดเพราะมันเป็นคู่นั่นเอง

เราได้ว่า  \dfrac{d}{dt} n_e &=& Z_{ext} - rn_e^2

อินทิเกรตดังนี้  \displaystyle \int_{n_e = 0}^{n_e = n_e(t)} \dfrac{dn_e}{1 - \left( \dfrac{rn_e^2}{Z_{ext}} \right)}&=& Z_{ext} \displaystyle \int_{0}^{t}dt

จะได้  \sqrt{ \dfrac{Z_{ext}}{r}} \mbox{arctanh} \left( \sqrt{\dfrac{r}{Z_{ext}}} n_e \right) &=& Z_{ext} t

ดังนั้น n_e(t) &=& \sqrt{ \dfrac{Z_{ext}}{r}} \tanh \left( \sqrt{rZ_{ext}}t  \right)

จึงได้ว่า  n_0 &=& 0 กับ a &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} และ b &=& \sqrt{rZ_{ext}}

A2) ที่สมดุลนั้น ได้ว่า \dfrac{d}{dt} n_e &=& 0 ดังนั้น  n_e &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}}

จึงได้ว่า สำหรับเครื่องแรก \left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_1 &=& 12 \times 10^{10} \; \mbox{cm^{-3}}

สำหรับเครื่องที่ 2  \left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_2 &=& 16 \times 10^{10} \; \mbox{cm^{-3}}

พอเปิด 2 เครื่องพร้อมกัน จะได้ว่า \dfrac{d}{dt} n_e &=& (Z_{ext1} + Z_{ext2} ) - rn_e^2

ดังนั้นคราวนี้จำนวนอิเล็กตรอนต่อปริมาตรที่สมดุลคือ n_e &=& \sqrt { \left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_1^2 + \left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_2 ^2 }

ได้ n_e &=& 2.0 \times 10^{11} \; \mbox{cm^{-3}}

A3) เมื่อสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นคงตัวแล้ว เราได้ว่า E &=& \dfrac{U}{L} ดังนั้นอัตราเร็วของ e- คือ v &=& \beta E &=& \beta \dfrac{U}{L}

เนื่องจากระบบสมดุลแล้ว ได้ว่า  n_e &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}}

ดังนั้นกระแสไฟฟ้าที่ไหลระหว่างแผ่นมีค่าเป็น I &=& n_e evS &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \dfrac{e \beta US}{L}

A4) ความต้านทานไฟฟ้าของระบบนี้คือ R &=& \dfrac{U}{I} &=& \dfrac{L}{e \beta S} \sqrt { \dfrac{r}{Z_{ext}}} &=& \dfrac{ \rho_{gas} L}{S}

จึงได้สภาพต้านทานไฟฟ้าเป็น \rho_{gas} &=& \dfrac{1}{e \beta} \sqrt { \dfrac{r}{Z_{ext}}}

ตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« Reply #7 on: July 17, 2014, 10:59:42 PM »

ข้อ 1 ตอน C ครับ

(i) เมื่อเริ่มต้น

(ii) เมื่อกระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำมีค่าสูงสุด \displaystyle \frac{dI}{dt} = 0 ดังนั้นความต่างศักย์คร่อมตัวเหนี่ยวนำทั้งสองมีค่าเป็นศูนย์
ดังนั้น เมื่อกระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำมีค่าสูงสุด ตัวเหนี่ยวนำทั้งสองจะทำตัวเป็นเส้นลวดเปล่าๆ และสถานการณ์จะเหมือนตัวเก็บประจุทั้งสองต่อขนานกัน

ให้ประจุในตัวเก็บประจุ 2C เป็น Q
ให้ประจุในตัวเก็บประจุ C เป็น q

(i) Q = q_0 และ q = 0
(ii) Q = ? และ q = ? จึงจะทำให้ความต่างศักย์คร่อมตัวเก็บประจุทั้งสองเท่ากัน และ ทำให้ประจุรวมอนุรักษ์


คำตอบก็คือ
(ii) \displaystyle Q = \frac{2q_0}{3} และ \displaystyle q = \frac{q_0}{3} โดยที่

    - ขั้วบนของ 2C เป็นขั้วบวก และ
    - ขั้วล่างของ C เป็นขั้วบวก


หลังจากนี้เราเริ่มสับสวิตช์ให้ลัดวงจร

วงจรรวมสามารถมองได้เป็น 2 วงจรขนาน LC มาต่อกัน

ระลึกว่าในวงจรขนาน LC ถ้ามีตัวเหนี่ยวนำ L ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C ประจุในตัวเก็บประจุจะมีค่าแกว่งแบบ sinusoidal ด้วยความถี่เชิงมุม \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}

(t ในสมการต่อจากนี้ ถือว่าเป็น 0 เมื่อเริ่มสับสวิตช์ให้ลัดวงจร นั่นคือนิยามคนละแบบกับที่ทำมาข้างบน)

กำหนดตัวแปรเพิ่มเติม ให้ I_1 เป็นกระแสที่ไหลตามเข็มนาฬิกาใน loop บน นั่นคือออกจากขั้วบวกของตัวเก็บประจุ 2C ผ่านตัวเหนี่ยวนำ L จากบนลงล่าง และไหลเข้าสู่ขั้วลบของตัวเก็บประจุ 2C
เพราะว่ากระแสนี้ไหลเข้าขั้วลบของตัวเก็บประจุ ดังนั้น I_1 = -\dot{Q} หลุมพรางหลุมที่ 1 ถ้าลืมเครื่องหมายลบก็ผิด

กำหนดตัวแปรเพิ่มเติม ให้ I_2 เป็นกระแสที่ไหลทวนเข็มนาฬิกาใน loop ล่าง ออกจากขั้วบวกของตัวเก็บประจุ C ผ่านตัวเหนี่ยวนำ 2L จากล่างขึ้นบน และไหลเข้าสู่ขั้วลบของตัวเก็บประจุ C
เพราะว่ากระแสนี้ไหลเข้าขั้วลบของตัวเก็บประจุ ดังนั้น I_2 = -\dot{q}

ดังนั้น กระแสที่ไหลผ่านสวิตช์ S จะเป็น I_1 + I_2


วงจรบน:
\displaystyle Q = A\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t + B\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t โดยที่ A และ B เป็น arbitrary constant ซึ่งหาได้จาก initial conditions

initial conditions คือ ที่ t=0 นั้น \displaystyle Q = \frac{2q_0}{3} และ \displaystyle I_1 \left( = -\dot{Q} \right) = เท่าไหร่น้า buck2


I ที่เราจะหาตัวนี้ ไม่ใช่ 0 ครับ!! หลุมพรางหลุมที่ 2 แต่มันเท่ากับ I ที่ผ่านตัวเหนี่ยวนำทั้งสอง ในช่วง (ii) [ก่อนสับสวิตช์ลัดวงจร] พอดีเปรี๊ยะ (เพราะ I เปลี่ยนค่าโดยฉับพลันไม่ได้)
เราหา I ได้โดยใช้หลักอนุรักษ์พลังงาน

\displaystyle \frac{1}{2}\frac{q_0^2}{(2C)} = \frac{1}{2}\frac{\left( \frac{2q_0}{3} \right)^2}{(2C)} + \frac{1}{2}\frac{\left( \frac{q_0}{3} \right)^2}{(C)}+ \frac{1}{2} (3L) I^2

แก้สมการออกมาจะได้ \displaystyle I=\sqrt{\frac{1}{18LC}}q_0 --> (*) ไหลจากบนลงมาล่าง


สรุปว่าเรามี initial conditions คือ ที่ t=0 นั้น \displaystyle Q = \frac{2q_0}{3} และ \displaystyle I_1 \left( = -\dot{Q} \right) = +\sqrt{\frac{1}{18LC}}q_0 (ให้ I_1 เป็นบวก เพราะ I ในสมการ (*) มีทิศเดียวกันกับที่สมมติไว้)

แก้สมการหา A,B ออกมาจะได้ว่า \displaystyle I_1 = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0 \left( \frac{2}{3}\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t + \frac{1}{3}\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t \right)



วงจรล่าง:
\displaystyle q = D\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t + E\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t โดยที่ D และ E เป็น arbitrary constant ซึ่งหาได้จาก initial conditions

initial conditions คือ ที่ t=0 นั้น \displaystyle q = \frac{q_0}{3} และ \displaystyle I_2 \left( = -\dot{q} \right) = -\sqrt{\frac{1}{18LC}}q_0 (ให้ I_2 เป็นลบ เพราะ I ในสมการ (*) มีทิศสวนกันกับที่สมมติไว้) หลุมพรางหลุมที่ 3 ถ้าให้ I_2 เป็นบวกก็ผิดอีก

แก้สมการหา D,E ออกมาจะได้ว่า \displaystyle I_2 = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0 \left( \frac{1}{3}\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t - \frac{1}{3}\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t \right)



กระแสที่ไหลผ่านสวิตช์ S คือ I\equiv I_1 + I_2

\displaystyle I = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0 \sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t \right)

ค่าสูงสุดของ I จึงเป็น

\displaystyle I_{\text{max}} = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0 ตอบ สวยงามเกินคาด!!

ป.ล. 3 คะแนนกับข้อนี้ Shocked มันคุ้มไหมครับ Grin
ป.ล. 2 หลังจากการแก้ไขหลายรอบ เพราะคิดเลข,เครื่องหมายผิดตรงนู้นนิดตรงนี้หน่อย ตอนนี้น่าจะถูกหมดแล้วครับ buck2
ขอบคุณคุณ dy ที่ช่วยตรวจทาน icon adore
« Last Edit: July 17, 2014, 11:37:28 PM by saris2538 » Logged
It is GOL
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 337


« Reply #8 on: July 18, 2014, 05:49:35 PM »

ข้อ 1B.2 แรงตึงผิวมี 2 ผิวนะครับ  Grin

ข้อ 1C นี่รู้สึกว่าตายก่อนหลุมพรางที่ 1 อีก ฮ่วย!  Angry
« Last Edit: July 18, 2014, 05:53:45 PM by It is GOL » Logged

It is GOL coming !!! ผมจะเอาชนะความไม่รู้ให้ได้!!
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 375


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #9 on: July 18, 2014, 09:34:40 PM »

ข้อ 1B.2 แรงตึงผิวมี 2 ผิวนะครับ  Grin

ข้อ 1C นี่รู้สึกว่าตายก่อนหลุมพรางที่ 1 อีก ฮ่วย!  Angry

ข้อ 1B.2  แต่มี 1 ผิวที่สัมผัสกับสุญญากาศนะครับ  ขณะที่อีกรอยต่อสัมผัสกับแก๊ส 
Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6102


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #10 on: July 20, 2014, 04:26:06 PM »

ข้อ 1B.2 แรงตึงผิวมี 2 ผิวนะครับ  Grin

ข้อ 1C นี่รู้สึกว่าตายก่อนหลุมพรางที่ 1 อีก ฮ่วย!  Angry

ข้อ 1B.2  แต่มี 1 ผิวที่สัมผัสกับสุญญากาศนะครับ  ขณะที่อีกรอยต่อสัมผัสกับแก๊ส 

ผิวด้านนอกที่เป็นสุญญากาศมีความตึงผิวด้วย สมบัติความตึงผิวเกิดจากการที่โมเลกุลส่วนที่อยู่ในของเหลวถูกโมเลกุลเพื่อนบ้านรอบตัวออกแรงดึงดูด ทำให้มีพลังงานศักย์ต่ำ  ส่วนโมเลกุลที่ผิวถูกโมเลกุลชนิดเดียวกันดึงดูดจากด้านในผิวด้านเดียว ทำให้มีพลังงานศักย์สูงกว่า  ระบบพยายามทำให้มีพลังงานศักย์ต่ำด้วยการทำให้พื้นที่ผิวน้อยสุด จึงเกิดเป็นแรงตึงผิวที่ผิว ไม่สำคัญว่าอีกด้านหนึ่งเป็นสุญญากาศหรือเปล่า  ปัญหามันน่าจะอยู่ว่าฟองสบู่นี่มันจะอยู่ได้นานแค่ไหนก่อนที่มันจะระเหยจนแตกไป  สรุปข้อนี้ควรคิดความตึงผิวทั้งสองผิว และให้คิดประมาณว่ามันขนาดเท่ากันมิฉะนั้นมันจะทำไม่ได้เพราะโจทย์ให้ค่าความตึงผิวมาค่าเดียว
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น