ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ ครั้งที่ 45 ปี 2014 ที่กรุงอัสตานา ประเทศคาซัคสถาน

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6288

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ ครั้งที่ 45 ปี 2014 ที่กรุงอัสตานา ประเทศคาซัคสถาน

« on: July 15, 2014, 06:26:39 PM »

ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ ครั้งที่ 45 ปี 2014 ที่กรุงอัสตานา ประเทศคาซัคสถาน

ข้อสอบภาคทฤษฎี
มี 3 ข้อ เวลาทำ 5 ชั่วโมง

ทฤษฎีข้อที่ 1


« Last Edit: July 15, 2014, 06:48:58 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6288

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ ครั้งที่ 45 ปี 2014 ที่กรุงอัสตานา ประเทศคาซัคสถาน

« Reply #1 on: July 15, 2014, 06:35:26 PM »

ทฤษฎีข้อ 2


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6288

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

« Reply #2 on: July 15, 2014, 06:40:26 PM »

ทฤษฎีข้อ 3


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

neutrino

Offline

Posts: 383

Every problem has its solution, and its time,too.

« Reply #3 on: July 16, 2014, 02:22:56 PM »

ข้อ 2 นะครับ

Part A

A1) 1 โมลของน้ำมี $N_A$ โมเลกุล ซึ่งคิดเป็นปริมาตร $\dfrac{4}{3} N_A \pi (d/2)^3 &=& \dfrac{ \pi d^3 N_A}{6}$

ดังนั้นปริมาตรที่โมเลกุลแก๊สเข้าไปแทนที่คือ $b &=& \dfrac{ \pi d^3 N_A}{6}$

** ตรงการคิดปริมาตรนี้ผมไม่แน่ใจว่ามีอะไรมากกว่านี้ไหม เพราะเท่าที่เคยทราบมา เหมือนกับว่า ปริมาตรที่แก๊ส 1 โมเลกุลไปแทนที่ จะต้องคิดเสมือนว่ามีทรงกลมรัศมีเป็น 2 เท่ามาครอบโมเลกุลไปอีก เนื่องจากศูนย์กลางของโมเลกุลน้ำใดๆ ไม่สามารถเข้าใกล้กันได้มากกว่าความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง

A2) ตามโจทย์จุดที่เส้นตรงความดันคงที่เชื่อมอยู่ เมื่อเปลี่ยนอุณหภูมิจะเลื่อนเข้ามาใกล้กันเรื่อยๆ จนติดกันในที่สุด ซึ่งเราจะสังเกตจากรูปร่างของกราฟได้ว่า เมื่อจุดทั้ง 2 มาเชื่อมกันแล้วนั้น จุดร่วมของทั้งสองคือจุดเปลี่ยนเว้า (point of inflection) ของกราฟนี้ นั่นคือมีการเปลี่ยนแปลงสถานะจาก L เป็น G ทันทีโดยไม่มีสถานะ LG เลยนั่นเอง

ดังนั้นเงื่อนไขสำหรับจุดที่ว่านี้คือ $\dfrac{\partial P}{\partial V } &=& 0$ และ $\dfrac{\partial^2 P}{\partial V^2 } &=& 0$

จะได้เงื่อนไขออกมาว่า $\dfrac{2a}{V^3} &=& \dfrac{RT_c}{(V-b)^2}$ กับ $\dfrac{a}{V^4} &=& \dfrac{RT_c}{3(V-b)^3}$

แก้สมการได้ว่า $V &=& 3b$ แทนในสมการสถานะของ VDW ได้ว่า $P_c &=& \dfrac{RT_c}{2b} - \dfrac{a}{9b^2}$

จากสมการเงื่อนไขแรกได้ว่า $a &=& \dfrac{V^3 RT_c}{2(V-b)^2} &=& \dfrac{27 b^3 RT_c}{2(2b)^2} &=& \dfrac {27RT_c b}{8}$

แทนในสมการ VDW ต่อได้ว่า $P_c &=& \dfrac{RT_c}{2b} - \dfrac{3RT_c}{8b} &=& \dfrac{RT_c}{8b}$

ดังนั้น $b &=& \dfrac{RT_c}{8P_c}$ และ $a &=& \dfrac {27RT_c b}{8} &=& \dfrac{27(RT_c)^2}{64P_c}$

A3) แทนค่าเป็นตัวเลขได้ว่า $a_w &=& 5.5 \times 10^{-1} \; \mbox{ kg} \cdot \mbox{m^5} \cdot \mbox{s^{-2}} \cdot \mbox{mol^{-2}}$ และ $b_w &=& 3.1 \times 10^{-5} \; \mbox{m^3}$

A4) จาก A1) ได้ว่า $d_w &=& \left( \dfrac{6b}{\pi N_A} \right)^{1/3} &=& 4.6 \times 10^{-10} \; \mbox{m}$

Part B

B1) เนื่องจาก $V_G \gg b$ เราประมาณสมการ VDW ได้เป็น $P_0 \approx \dfrac{RT}{V_G} - \dfrac{a}{V_G^2}$

จัดรูปได้ว่า $P_0 V_G^2 - RTV_G + a &=& 0$ ดังนั้น $V_G &=& \dfrac{RT}{2P_0} \left\{ 1 + \sqrt{1 - \dfrac{4aP_0}{(RT)^2}} \right\}$

B2) $V_{G0} &=& \dfrac{RT}{P_0}$ ดังนั้น $\dfrac{ \Delta V_G}{V_{G0}} &=& \dfrac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{4aP_0}{(RT)^2}} \right) \approx 0.58 \; \mbox{percent}$

B3) $\dfrac{dP}{dV} &=& -\dfrac{RT}{V^2} + \dfrac{2a}{V^3} \leq 0$ ได้ว่า $V \geq \dfrac{2a}{RT} \Rightarrow V_{G min} &=& \dfrac{2a}{RT}$

ดังนั้น $\dfrac{V_G}{V_ {G min}} \approx 87$

B4) สำหรับของเหลวตามโจทย์ $P \ll \dfrac{a}{V^2}$ เราสามารถประมาณสมการ VDW ได้ว่า $\dfrac{a}{V^2} \approx \dfrac{RT}{V-b}$

จัดรูปได้ว่า $RTV^2 - aV + ab &=& 0$ ดังนั้น $V_L &=& \dfrac{a}{2RT} \left\{ 1 - \sqrt{ 1 - \dfrac{4bRT}{a} } \right\}$

B5) ถ้าประมาณอีกว่า $bRT \ll a$ จะได้ว่า $V_L \approx \dfrac{a}{2RT} - \dfrac{a}{2RT} \left( 1 - \dfrac{2bRT}{a} \right) \approx b \left( 1 + \dfrac{bRT}{a} \right)$

ดังนั้นความหนาแน่นน้ำคือ $\rho_L &=& \dfrac{m}{V_L} &=& \dfrac{ \mu}{b \left( 1 + \dfrac{bRT}{a} \right) }$

B6) $\alpha &=& \dfrac{1}{V_L} \dfrac{ \partial V_L}{ \partial T} &=& \dfrac{bR}{a}$

B7) จากกฎข้อ 1 ของ Thermodynamics จะได้ว่า $dQ = dW + dU = PdV + c_vdT + \dfrac{a}{V^2} dV$ โดยในการเปลี่ยนเฟสนั้น $dT &=& 0$

จึงได้ $dQ &=& Ldm &=& \left( P + \dfrac{a}{V^2} \right) dV$

$L \mu &=& P_0 (V_G - V_L) + \displaystyle \int_{V_L}^{V_G} \dfrac{a}{V^2} dV &=& P_0 (V_G - V_L) + a \left( \dfrac{1}{V_L} - \dfrac{1}{V_G} \right)$

จากข้อก่อนๆ $V_L \approx b$ และ $V_G \approx \dfrac{RT}{P_0}$

ได้ว่า $L &=& \dfrac{1}{\mu} \left\{ P_0 \left( \dfrac{RT}{P_0} - b \right) + a \left( \dfrac{1}{b} - \dfrac{P_0}{RT} \right) \right\}$

Part C

C1) ที่ระดับผิวเรียบของฟองอากาศ จะได้ว่า $\rho_s h \pi r^2 g + \sigma (2 \pi r) &=& \rho_L h \pi r^2 g$ (สมดุลของผิวน้ำเรียบ)

จึงได้ว่า $h &=& \dfrac{ 2 \sigma}{( \rho_L - \rho_S)gr}$

ดังนั้นเราได้ว่าไอน้ำบนผิวโค้งน้ำต้องมีความดันเป็น $\Delta p_T &=& \rho_s gh &=& \dfrac{ 2 \rho_S \sigma}{( \rho_L - \rho_S)r}$ เพื่อรักษารูปร่างผิวน้ำไว้

C4) (สังเกตว่าไม่มี C2 , C3) เดี๋ยวมาต่อครับ


« Last Edit: July 19, 2014, 01:31:39 PM by dy »	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

saris2538

neutrino

Offline

Posts: 96

« Reply #4 on: July 16, 2014, 10:39:15 PM »

ขอลองทำข้อ 1 นะครับ

ตอน A
สมมติว่าตอนที่ก้อนมวล $m$ อยู่ที่ตำแหน่งต่ำสุด มันเคลื่อนที่ไปทางขวาเร็ว $v$ เทียบกับจุดศูนย์กลางทรงกระบอก และตอนนั้นจุดศูนย์กลางทรงกระบอกเคลื่อนที่ไปทางซ้ายเร็ว $V$ เทียบกับพื้น

หลักอนุรักษ์พลังงานบ่งว่า

$\displaystyle mgR = \frac{1}{2}m\left( v-V \right)^2 + \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}\left( MR^2 \right)\left( \frac{V}{R} \right)^2$ --> (1)

พิจารณาเฉพาะทรงกระบอกกลวง ให้จุดศูนย์กลางทรงกระบอกเป็นจุดอ้างอิงของการคิดทอร์กและโมเมนตัมเชิงมุม
มีทอร์กเนื่องจากแรงเสียดทาน $f$ ที่พื้นทำต่อทรงกระบอก สมมติว่าก้อนมวลใช้เวลา $T$ จึงเคลื่อนลงมาถึงจุดต่ำสุด

$\displaystyle \int_{0}^{T}fRdt = MR^2\left( \frac{V}{R} \right)$

$\displaystyle \int_{0}^{T}fdt = MV$ --> (2)

พิจารณาเฉพาะก้อนมวล มีแรงแนวราบทำต่อก้อนมวลคือ แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก(ในแนวราบ) $N_x$ ซึ่งกระบอกทำต่อก้อนมวล

$\displaystyle \int_{0}^{T}N_xdt = m(v-V)$ --> (3)

พิจารณาเฉพาะทรงกระบอกกลวง มีแรงแนวราบทำต่อทรงกระบอกกลวง คือ $f$ และ $N_x$

$\displaystyle \int_{0}^{T}\left( N_x - f \right)dt = MV$ --> (4)

แทน (2) และ (3) ใน (4) จะได้ $\displaystyle v = \frac{2M+m}{m}V$ --> (5) เอาไปแทนใน (1)

$\displaystyle mgR = \left( \frac{1}{2}m\left( \frac{2M}{m} \right)^2 + M \right)V^2$

$\displaystyle V^2 = \frac{m^2}{M\left( 2M+m \right)}gR$ --> (6) เอาไปแทนใน (5)

ดังนั้น $\displaystyle v^2 = \frac{\left( 2M+m \right)}{M}gR$ --> (7)

พิจารณาในกรอบที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับจุดศูนย์กลางทรงกระบอก
ขณะที่ก้อนมวลเคลื่อนลงมาถึงจุดต่ำสุดพอดี กรอบนี้เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย!
ในกรอบนี้มองเห็นว่าก้อนมวลเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี $R$
กรอบนี้มองเห็นว่าก้อนมวลมีความเร็ว $v$

$\displaystyle F-mg = \frac{mv^2}{R}$

$\displaystyle F = \left( \frac{3M+m}{M} \right)mg$ ตอบ


	Logged

saris2538

neutrino

Offline

Posts: 96

« Reply #5 on: July 16, 2014, 11:34:31 PM »

ข้อ 1 ตอน B

1)
ความจุความร้อนต่อโมล $\displaystyle = \frac{dQ}{dT} = \frac{dU + PdV}{dT}$ --> (0)

แก๊สอุดมคติอะตอมคู่หนึ่งโมล $\displaystyle dU = C_VdT = \frac{5}{2}RdT$ --> (1)

พิจารณาขณะที่ฟองสบู่มีรัศมี $r$

ฟองสบู่อยู่ในสุญญากาศ ดังนั้นความดันภายนอกเป็น 0 และจากที่ลาปลาซบอก (เงื่อนไขสมดุลเชิงกลของฟอง) ความดันภายในจึงเป็น $\displaystyle P = \frac{2\sigma}{r}$ --> (2) ***หลุมพราง ฟองสบู่มี 2 ผิว แต่มีเฉพาะผิวในเท่านั้นที่สัมผัสกับแก๊ส (ผิวนอกสัมผัสกับสุญญากาศ) ดังนั้นแรงตึงผิวจะมีเฉพาะที่ผิวใน ค่าความตึงผิวในตารางที่คุ้นเคย คือความตึงผิวที่ liquid-gas interface ถ้ามีแต่ liquid ไม่มี gas ก็ไม่มีความตึงผิว

$\displaystyle \frac{dV}{dT} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dT}$ --> (3)

แก๊สหนึ่งโมล $\displaystyle PV = RT$

$\displaystyle PdV + VdP = RdT$

$\displaystyle \left( \frac{2\sigma}{r} \right)4\pi r^2 dr + \frac{4}{3}\pi r^3 \left( -\frac{2\sigma}{r^2}dr \right) = RdT$

$\displaystyle 4\pi r^2 dr \left( \frac{4\sigma}{3r} \right) = RdT$

$\displaystyle 4\pi r^2 \frac{dr}{dT} = R\frac{3r}{4\sigma}$ --> (4)

แทนทั้งหมดลงใน (0)

$\displaystyle \frac{dQ}{dT} = \frac{5}{2}R + \left( \frac{2\sigma}{r} \right)R\frac{3r}{4\sigma}$

$\displaystyle \frac{dQ}{dT} = 4R$ ตอบ

2) ความจุความร้อนของฟิล์มสบู่สูงมากๆๆๆ แปลว่า ต้องใช้ความร้อนสูงมากๆๆๆ กว่าอุณหภูมิของฟิล์มสบู่จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วย
ดังนั้นจึงประมาณได้ว่า อุณหภูมิของฟิล์มสบู่ไม่เปลี่ยน

ให้ถือว่าการแลกเปลี่ยนความร้อนเข้าสู่สมดุลอุณหภูมิ... หมายความว่า แก๊สอยู่ในสมดุลอุณหภูมิกับฟิล์มสบู่ตลอด
และฟิล์มสบู่มีอุณหภูมิคงที่ ดังนั้น แก๊สจึงมีอุณหภูมิคงที่ด้วย (เอ่อ คือบอกมาตรงๆ ว่าเป็นกระบวนการ isothermal ก็ไม่มีใครว่าหรอกนะครับ Grin

)

$\displaystyle P_0 V_0 = PV$

$\displaystyle \left( \frac{2\sigma}{r} \right) \frac{4}{3}\pi r_0^3 = P \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right)$

$\displaystyle P = \frac{2\sigma r_0^2}{r^3}$ --> (1)

พิจารณาแรงที่กระทำต่อครึ่งฟอง ขณะที่ฟองมีรัศมี r

$\displaystyle P\pi r^2 - \sigma 2\pi r = ma_{\text{cm}}$

$m$ คือมวลครึ่งฟอง $\displaystyle = \rho 2\pi r_0h$

$a_{\text{cm}}$ คืออัตราเร่งของศูนย์กลางมวลครึ่งทรงกลมกลวง

$\displaystyle P - \frac{2\sigma}{r} = 2\rho\frac{r_0^2}{r^2}ha_{\text{cm}}$

ศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวงรัศมี $r$ อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะ $r/2$ (ในห้องสอบคงต้องพิสูจน์)

เพราะฉะนั้น $\displaystyle a_{\text{cm}} = \frac{1}{2}\ddot{r}$

$\displaystyle \frac{2\sigma r_0^2}{r^3} - \frac{2\sigma}{r} = \rho\frac{r_0^2}{r^2}h\ddot{r}$

กำหนดให้ $\displaystyle r = r_0 + \delta$ ดังนั้น $\displaystyle \ddot{r} = \ddot{\delta}$

การสั่นน้อยๆ $\displaystyle \delta\ll r_0$ ทำให้ประมาณ Binomial ได้

$\displaystyle \frac{2\sigma}{r_0}\left( 1 - 3\frac{\delta}{r_0} \right) - \frac{2\sigma}{r_0}\left( 1 - \frac{\delta}{r_0} \right) = \rho h \left( \delta - \frac{2 \delta \ddot{\delta}}{r_0} \right)$

เทอมขวาสุดเป็น second order ตัดทิ้ง

$\displaystyle -\left( \frac{4\sigma}{\rho h r_0^2} \right) \delta = \ddot{\delta}$

ดังนั้น $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{4\sigma}{\rho h r_0^2}}$ ตอบ


« Last Edit: July 19, 2014, 12:45:06 AM by saris2538 »	Logged

neutrino

Offline

Posts: 383

Every problem has its solution, and its time,too.

« Reply #6 on: July 17, 2014, 02:12:44 PM »

ขอลองข้อ 3 Part A ต่อเลยนะครับ

A1) สมการที่บรรยายอัตราการเปลี่ยนแปลงจำนวน e- ต่อหน่วยปริมาตรคือ $\dfrac{d}{dt} n_e &=& Z_{ext} - Z_{rec} &=& Z_{ext} - rn_en_i$

ทั้งนี้เนื่องจากตอนแรกสุดไม่มีทั้งไอออนและ e- และที่ทุกขณะหลังจากนั้นไอออนกับ e- ถูกผลิตออกมาและกลับมารวมกันเป็น "คู่ๆ" ตลอด ดังนั้นเราได้ว่าทุกขณะเวลา จำนวนของไอออนกับ e- ต้องเท่ากันตลอดเพราะมันเป็นคู่นั่นเอง

เราได้ว่า $\dfrac{d}{dt} n_e &=& Z_{ext} - rn_e^2$

อินทิเกรตดังนี้ $\displaystyle \int_{n_e = 0}^{n_e = n_e(t)} \dfrac{dn_e}{1 - \left( \dfrac{rn_e^2}{Z_{ext}} \right)}&=& Z_{ext} \displaystyle \int_{0}^{t}dt$

จะได้ $\sqrt{ \dfrac{Z_{ext}}{r}} \mbox{arctanh} \left( \sqrt{\dfrac{r}{Z_{ext}}} n_e \right) &=& Z_{ext} t$

ดังนั้น $n_e(t) &=& \sqrt{ \dfrac{Z_{ext}}{r}} \tanh \left( \sqrt{rZ_{ext}}t \right)$

จึงได้ว่า $n_0 &=& 0$ กับ $a &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}}$ และ $b &=& \sqrt{rZ_{ext}}$

A2) ที่สมดุลนั้น ได้ว่า $\dfrac{d}{dt} n_e &=& 0$ ดังนั้น $n_e &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}}$

จึงได้ว่า สำหรับเครื่องแรก $\left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_1 &=& 12 \times 10^{10} \; \mbox{cm^{-3}}$

สำหรับเครื่องที่ 2 $\left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_2 &=& 16 \times 10^{10} \; \mbox{cm^{-3}}$

พอเปิด 2 เครื่องพร้อมกัน จะได้ว่า $\dfrac{d}{dt} n_e &=& (Z_{ext1} + Z_{ext2} ) - rn_e^2$

ดังนั้นคราวนี้จำนวนอิเล็กตรอนต่อปริมาตรที่สมดุลคือ $n_e &=& \sqrt { \left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_1^2 + \left( \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \right)_2 ^2 }$

ได้ $n_e &=& 2.0 \times 10^{11} \; \mbox{cm^{-3}}$

A3) เมื่อสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นคงตัวแล้ว เราได้ว่า $E &=& \dfrac{U}{L}$ ดังนั้นอัตราเร็วของ e- คือ $v &=& \beta E &=& \beta \dfrac{U}{L}$

เนื่องจากระบบสมดุลแล้ว ได้ว่า $n_e &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}}$

ดังนั้นกระแสไฟฟ้าที่ไหลระหว่างแผ่นมีค่าเป็น $I &=& n_e evS &=& \sqrt{\dfrac{Z_{ext}}{r}}} \dfrac{e \beta US}{L}$

A4) ความต้านทานไฟฟ้าของระบบนี้คือ $R &=& \dfrac{U}{I} &=& \dfrac{L}{e \beta S} \sqrt { \dfrac{r}{Z_{ext}}} &=& \dfrac{ \rho_{gas} L}{S}$

จึงได้สภาพต้านทานไฟฟ้าเป็น $\rho_{gas} &=& \dfrac{1}{e \beta} \sqrt { \dfrac{r}{Z_{ext}}}$

ตรวจสอบด้วยนะครับ smitten


	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

saris2538

neutrino

Offline

Posts: 96

« Reply #7 on: July 17, 2014, 10:59:42 PM »

ข้อ 1 ตอน C ครับ

(i) เมื่อเริ่มต้น

(ii) เมื่อกระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำมีค่าสูงสุด $\displaystyle \frac{dI}{dt} = 0$ ดังนั้นความต่างศักย์คร่อมตัวเหนี่ยวนำทั้งสองมีค่าเป็นศูนย์
ดังนั้น เมื่อกระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำมีค่าสูงสุด ตัวเหนี่ยวนำทั้งสองจะทำตัวเป็นเส้นลวดเปล่าๆ และสถานการณ์จะเหมือนตัวเก็บประจุทั้งสองต่อขนานกัน

ให้ประจุในตัวเก็บประจุ $2C$ เป็น $Q$
ให้ประจุในตัวเก็บประจุ $C$ เป็น $q$

(i) $Q = q_0$ และ $q = 0$
(ii) $Q = ?$ และ $q = ?$ จึงจะทำให้ความต่างศักย์คร่อมตัวเก็บประจุทั้งสองเท่ากัน และ ทำให้ประจุรวมอนุรักษ์

คำตอบก็คือ
(ii) $\displaystyle Q = \frac{2q_0}{3}$ และ $\displaystyle q = \frac{q_0}{3}$ โดยที่

- ขั้วบนของ $2C$ เป็นขั้วบวก และ
- ขั้วล่างของ $C$ เป็นขั้วบวก

หลังจากนี้เราเริ่มสับสวิตช์ให้ลัดวงจร

วงจรรวมสามารถมองได้เป็น 2 วงจรขนาน LC มาต่อกัน

ระลึกว่าในวงจรขนาน LC ถ้ามีตัวเหนี่ยวนำ $L$ ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ $C$ ประจุในตัวเก็บประจุจะมีค่าแกว่งแบบ sinusoidal ด้วยความถี่เชิงมุม $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}$

( $t$ ในสมการต่อจากนี้ ถือว่าเป็น 0 เมื่อเริ่มสับสวิตช์ให้ลัดวงจร นั่นคือนิยามคนละแบบกับที่ทำมาข้างบน)

กำหนดตัวแปรเพิ่มเติม ให้ $I_1$ เป็นกระแสที่ไหลตามเข็มนาฬิกาใน loop บน นั่นคือออกจากขั้วบวกของตัวเก็บประจุ $2C$ ผ่านตัวเหนี่ยวนำ $L$ จากบนลงล่าง และไหลเข้าสู่ขั้วลบของตัวเก็บประจุ $2C$
เพราะว่ากระแสนี้ไหลเข้าขั้วลบของตัวเก็บประจุ ดังนั้น $I_1 = -\dot{Q}$ หลุมพรางหลุมที่ 1 ถ้าลืมเครื่องหมายลบก็ผิด

กำหนดตัวแปรเพิ่มเติม ให้ $I_2$ เป็นกระแสที่ไหลทวนเข็มนาฬิกาใน loop ล่าง ออกจากขั้วบวกของตัวเก็บประจุ $C$ ผ่านตัวเหนี่ยวนำ $2L$ จากล่างขึ้นบน และไหลเข้าสู่ขั้วลบของตัวเก็บประจุ $C$
เพราะว่ากระแสนี้ไหลเข้าขั้วลบของตัวเก็บประจุ ดังนั้น $I_2 = -\dot{q}$

ดังนั้น กระแสที่ไหลผ่านสวิตช์ S จะเป็น $I_1 + I_2$

วงจรบน:
$\displaystyle Q = A\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t + B\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t$ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็น arbitrary constant ซึ่งหาได้จาก initial conditions

initial conditions คือ ที่ $t=0$ นั้น $\displaystyle Q = \frac{2q_0}{3}$ และ $\displaystyle I_1 \left( = -\dot{Q} \right) =$ เท่าไหร่น้า buck2

$I$ ที่เราจะหาตัวนี้ ไม่ใช่ 0 ครับ!! หลุมพรางหลุมที่ 2 แต่มันเท่ากับ $I$ ที่ผ่านตัวเหนี่ยวนำทั้งสอง ในช่วง (ii) [ก่อนสับสวิตช์ลัดวงจร] พอดีเปรี๊ยะ (เพราะ I เปลี่ยนค่าโดยฉับพลันไม่ได้)
เราหา $I$ ได้โดยใช้หลักอนุรักษ์พลังงาน

$\displaystyle \frac{1}{2}\frac{q_0^2}{(2C)} = \frac{1}{2}\frac{\left( \frac{2q_0}{3} \right)^2}{(2C)} + \frac{1}{2}\frac{\left( \frac{q_0}{3} \right)^2}{(C)}+ \frac{1}{2} (3L) I^2$

แก้สมการออกมาจะได้ $\displaystyle I=\sqrt{\frac{1}{18LC}}q_0$ --> (*) ไหลจากบนลงมาล่าง

สรุปว่าเรามี initial conditions คือ ที่ $t=0$ นั้น $\displaystyle Q = \frac{2q_0}{3}$ และ $\displaystyle I_1 \left( = -\dot{Q} \right) = +\sqrt{\frac{1}{18LC}}q_0$ (ให้ $I_1$ เป็นบวก เพราะ $I$ ในสมการ (*) มีทิศเดียวกันกับที่สมมติไว้)

แก้สมการหา $A,B$ ออกมาจะได้ว่า $\displaystyle I_1 = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0 \left( \frac{2}{3}\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t + \frac{1}{3}\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t \right)$

วงจรล่าง:
$\displaystyle q = D\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t + E\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t$ โดยที่ $D$ และ $E$ เป็น arbitrary constant ซึ่งหาได้จาก initial conditions

initial conditions คือ ที่ $t=0$ นั้น $\displaystyle q = \frac{q_0}{3}$ และ $\displaystyle I_2 \left( = -\dot{q} \right) = -\sqrt{\frac{1}{18LC}}q_0$ (ให้ $I_2$ เป็นลบ เพราะ $I$ ในสมการ (*) มีทิศสวนกันกับที่สมมติไว้) หลุมพรางหลุมที่ 3 ถ้าให้ $I_2$ เป็นบวกก็ผิดอีก

แก้สมการหา $D,E$ ออกมาจะได้ว่า $\displaystyle I_2 = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0 \left( \frac{1}{3}\sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t - \frac{1}{3}\cos\sqrt{\frac{1}{2LC}}t \right)$

กระแสที่ไหลผ่านสวิตช์ S คือ $I\equiv I_1 + I_2$

$\displaystyle I = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0 \sin\sqrt{\frac{1}{2LC}}t \right)$

ค่าสูงสุดของ I จึงเป็น

$\displaystyle I_{\text{max}} = \sqrt{\frac{1}{2LC}}q_0$ ตอบ สวยงามเกินคาด!!

ป.ล. 3 คะแนนกับข้อนี้ Shocked

มันคุ้มไหมครับ Grin

ป.ล. 2 หลังจากการแก้ไขหลายรอบ เพราะคิดเลข,เครื่องหมายผิดตรงนู้นนิดตรงนี้หน่อย ตอนนี้น่าจะถูกหมดแล้วครับ buck2

ขอบคุณคุณ dy ที่ช่วยตรวจทาน icon adore


« Last Edit: July 17, 2014, 11:37:28 PM by saris2538 »	Logged

It is GOL

neutrino

Offline

Posts: 337

« Reply #8 on: July 18, 2014, 05:49:35 PM »

ข้อ 1B.2 แรงตึงผิวมี 2 ผิวนะครับ Grin

ข้อ 1C นี่รู้สึกว่าตายก่อนหลุมพรางที่ 1 อีก ฮ่วย! Angry


« Last Edit: July 18, 2014, 05:53:45 PM by It is GOL »	Logged

It is GOL coming !!! ผมจะเอาชนะความไม่รู้ให้ได้!!

neutrino

Offline

Posts: 383

Every problem has its solution, and its time,too.

« Reply #9 on: July 18, 2014, 09:34:40 PM »

Quote from: It is GOL on July 18, 2014, 05:49:35 PM

ข้อ 1B.2 แรงตึงผิวมี 2 ผิวนะครับ Grin

ข้อ 1C นี่รู้สึกว่าตายก่อนหลุมพรางที่ 1 อีก ฮ่วย! Angry

ข้อ 1B.2 แต่มี 1 ผิวที่สัมผัสกับสุญญากาศนะครับ ขณะที่อีกรอยต่อสัมผัสกับแก๊ส


	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6288

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

« Reply #10 on: July 20, 2014, 04:26:06 PM »

Quote from: dy on July 18, 2014, 09:34:40 PM

Quote from: It is GOL on July 18, 2014, 05:49:35 PM

ข้อ 1B.2 แรงตึงผิวมี 2 ผิวนะครับ Grin

ข้อ 1C นี่รู้สึกว่าตายก่อนหลุมพรางที่ 1 อีก ฮ่วย! Angry

ผิวด้านนอกที่เป็นสุญญากาศมีความตึงผิวด้วย สมบัติความตึงผิวเกิดจากการที่โมเลกุลส่วนที่อยู่ในของเหลวถูกโมเลกุลเพื่อนบ้านรอบตัวออกแรงดึงดูด ทำให้มีพลังงานศักย์ต่ำ ส่วนโมเลกุลที่ผิวถูกโมเลกุลชนิดเดียวกันดึงดูดจากด้านในผิวด้านเดียว ทำให้มีพลังงานศักย์สูงกว่า ระบบพยายามทำให้มีพลังงานศักย์ต่ำด้วยการทำให้พื้นที่ผิวน้อยสุด จึงเกิดเป็นแรงตึงผิวที่ผิว ไม่สำคัญว่าอีกด้านหนึ่งเป็นสุญญากาศหรือเปล่า ปัญหามันน่าจะอยู่ว่าฟองสบู่นี่มันจะอยู่ได้นานแค่ไหนก่อนที่มันจะระเหยจนแตกไป สรุปข้อนี้ควรคิดความตึงผิวทั้งสองผิว และให้คิดประมาณว่ามันขนาดเท่ากันมิฉะนั้นมันจะทำไม่ได้เพราะโจทย์ให้ค่าความตึงผิวมาค่าเดียว


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Pages: 1 Go Up

« previous next »