ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41629 Posts in 6283 Topics- by 9899 Members - Latest Member: ๋JoePanuwat
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกเอเชีย ครั้งที่ 15 ปี 2014 ที่สิงคโปร์  (Read 8696 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« on: May 22, 2014, 05:51:24 PM »
เรามาทำข้อสอบด้วยกันไหม?
ทั้งทฤษฎีและแล็บรีบมา Grin
ทำไมหมู่นี้ mpec ร้างล่ะ?
ช่วยกันดีกว่า ไม่อยากให้เว็บนี้ร้าง... Smiley

(ที่มาของข้อสอบ: กลุ่ม POSN Physics Olympiad ใน facebook ครับ)
Logged
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #1 on: May 22, 2014, 05:52:12 PM »
ข้อ 2,3
Logged
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #2 on: May 22, 2014, 05:58:56 PM »
แล็บครับ
https://www.facebook.com/download/587009794729643/APhO2014_Experiment_Problem_Thailand.pdf
Logged
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #3 on: May 22, 2014, 06:26:23 PM »
ขอเปิดคนแรกเลยละกัน
แล็บตอน A ข้อที่ 1 ครับ

ในโจทย์บอกมาว่าระยะห่างระหว่างช่องสลิต เท่ากับความยาวคลื่นเสียง \displaystyle \lambda_s พอดี

พิจารณาเส้นสีแดง 2 เส้นด้านบน ผลต่างเส้นทางของสองเส้นดังกล่าวที่ไปถึงฉากคือ \displaystyle \lambda_s \sin \theta_{air}

ตำแหน่งนี้เป็นริ้วสว่างที่ \displaystyle p โดยที่ \displaystyle p=\frac{\left( m-1 \right)}{2}

ดังนั้น \displaystyle \lambda_s \sin \theta_{air} = \frac{\left( m-1 \right)}{2} \lambda_{air} --> (1)


โดยการประมาณมุมเล็ก และเรขาคณิต

\displaystyle \sin\theta_{air} \approx \tan\theta_{air} = \frac{\frac{D_m}{2} - g\theta_g - b\theta_w}{L} --> (2)


Snell's law ที่ประมาณมุมเล็กเรียบร้อยแล้ว

\displaystyle n_w\theta_w = n_g\theta_g = n_{air}\theta_{air}

ดังนั้น \displaystyle \theta_g = \frac{n_{air}}{n_g}\theta_{air} --> (3)

และ \displaystyle \theta_w = \frac{n_{air}}{n_w}\theta_{air} --> (4)


แทน (3) และ (4) ใน (2)

\displaystyle L\theta_{air} = \frac{D_m}{2} - g\frac{n_{air}}{n_g}\theta_{air} - b\frac{n_{air}}{n_w}\theta_{air}

\displaystyle n_{air}\theta_{air}\left[ \frac{L}{n_{air}} + \frac{g}{n_g} + \frac{b}{n_w} \right] = \frac{D_m}{2} --> (5)


แทน (5) ลงใน (1)

\displaystyle \frac{\lambda_sD_m}{2n_{air}}\frac{1}{\left[ \frac{L}{n_{air}} + \frac{g}{n_g} + \frac{b}{n_w} \right]} = \frac{\left( m-1 \right)}{2} \lambda_{air}

\displaystyle \lambda_s = \left[ \frac{L}{n_{air}} + \frac{g}{n_g} + \frac{b}{n_w} \right] \left( m-1 \right) \frac{n_{air}\lambda_{air}}{D_m}


เทียบกับโจทย์จะได้ว่า \displaystyle A=\left[ \frac{L}{n_{air}} + \frac{g}{n_g} + \frac{b}{n_w} \right]
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6360


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #4 on: May 22, 2014, 07:55:08 PM »
ขอบคุณครับ  smitten smitten smitten
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #5 on: May 22, 2014, 10:33:17 PM »
ทฤษฎีข้อ 3

ขอข้ามส่วนที่วาดรูปไปก่อนนะครับ ทำไม่สะดวก

(d) วัตถุที่สามารถออกจากอิทธิพลของแรงโน้มถ่วงได้ จะต้องมีพลังงานที่ไม่ต่ำกว่า 0 ดังนั้น \dfrac{1}{2} mv^2 - \dfrac{GmM}{r} \geq 0

จึงได้ว่า อัตราเร็วหลุดพ้นคือ \sqrt{ \dfrac{2GM}{r}} เนื่องจากแสงทะลุออกจากหลุมดำไม่ได้ เราแทน v &=& c

จะได้รัศมี Schwarzschild เป็น R_s &=& \dfrac{2GM}{c^2}

(e) จากสมการของมุมเบี่ยงเบน จะได้ M &=& \dfrac{ \alpha c^2 r_E}{4G}  จากสมการของข้อ (d) จะได้ M &=& \dfrac{R_s c^2}{2G}

จับมาเท่ากัน ก็จะได้ว่า R_s &=& \dfrac{ \alpha r_E}{2} จากโจทย์เราทราบทั้งค่า \alpha และ r_E ก็จะหาค่า R_s ได้

(f) ในการตรวจสอบขนาดของมุมทั้งสองนี้ ผมจะใช้วิธีดังนี้ คือสมมติว่ามุมทั้งสองเล็กมากก่อนแล้วคำนวณภายใต้สมมติฐานนี้ แล้วตรวจสอบคำตอบว่า มุมทั้งสองนี้เล็กจริงหรือไม่ ถ้าจริง แสดงว่าสมมติฐานที่เราตั้งไว้จริง

ตามสมมติฐานนี้จะได้ \tan( \alpha - \theta_E) \approx \alpha - \theta_E \approx \dfrac{r_E}{D_S}  และ \theta_E \approx \dfrac{r_E}{D_L}

จะได้ \alpha &=& r_E \left( \dfrac{1}{D_L} + \dfrac{1}{D_S} \right) &=& \dfrac{4GM}{r_E c^2}

ดังนั้น r_E &=& \sqrt{ \dfrac{4GM}{c^2 \left( \dfrac{1}{D_L} + \dfrac{1}{D_S} \right) }}

แทนค่าตัวเลข โดยใช้ M \sim 10^{30} \; \mbox{kg}
D_S \sim D_L \sim 10^{18} \; \mbox{m}

จะได้  r_E \sim 10^{10} \; \mbox{m}

แทนค่ากลับในสมการของมุมทั้งสอง จะได้ \alpha \sim \theta_E \sim 10^{-8} \; \mbox{rad} ซึ่งเล็กมากจริงตามสมมติฐาน

ดังนั้นมุมทั้งสองมีขนาดเล็กมากจริง

(g) เขียน r_E \approx D_L \theta_E และจากข้อ (f) \alpha &=& r_E \left( \dfrac{1}{D_L} + \dfrac{1}{D_S} \right)

แทนค่าลงในสมการของข้อ (e) จะได้ว่า R_s &=& \dfrac{(D_L \theta_E)^2}{2} \left( \dfrac{1}{D_L} + \dfrac{1}{D_S} \right)

(h) \theta_E \approx \dfrac{r_E}{D_L} \approx 7.3\times 10^{-8} \; \mbox{rad}

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #6 on: May 23, 2014, 01:57:17 AM »
ทฤษฎีข้อ 2 ครับ
(a) สนามไฟฟ้าที่ระยะ r จากศูนย์กลางเส้นลวด คือ \displaystyle E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r} เมื่อ \lambda คือ ประจุไฟฟ้าบนเส้นลวดต่อความยาวเส้นลวด

ศักย์ไฟฟ้าที่ระยะ r จากศูนย์กลางเส้นลวด หาได้จาก \displaystyle V_r - V_b = \int_r^b \vec{E}\cdot d\vec{r}

ที่ \displaystyle r=b ต่อสายดิน ดังนั้น V_b จะต้องเป็นศูนย์ยันเลย! Grin

\displaystyle V_r = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left( b/r \right) --> (1)

\displaystyle V_a = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left( b/a \right) ดังนั้น \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} = \frac{V_a}{\ln\left( b/a \right)} แทนลงใน (1)

\displaystyle V_r = \frac{\ln\left( b/r \right)}{\ln\left( b/a \right)}V_a

\displaystyle V(x,z) = \frac{\ln\left( b/\sqrt{x^2 + z^2} \right)}{\ln\left( b/a \right)}V_a

(b) สนามไฟฟ้าในแนวแกน x ที่ตำแหน่ง (x,z) ใดๆ คือ

\displaystyle E_x(x,z) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\sqrt{x^2 + z^2}}\times \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}}

\displaystyle E_x(x,z) = \frac{V_a}{\ln\left( b/a \right)} \frac{x}{x^2 + z^2}

การดลในแนวแกน x คือ \displaystyle \int eE_xdt = \hbar k_x - 0

ข้อสมมติที่จะใช้ (เพื่อให้แก้โจทย์ได้! และทำให้คำตอบอยู่ในรูปของตัวแปรที่โจทย์กำหนดให้ตอบ buck2 ) คือ

(1) \displaystyle k_z\gg k_x และ เลขคลื่นแปรผันตรงกับโมเมนตัม นั่นคือ อัตราเร็วของอิเล็กตรอนในแนวแกน z มากกว่าอัตราเร็วในแนวแกน x มากๆ

เราพอประมาณได้ว่า อิเล็กตรอนอยู่ที่ตำแหน่ง x คงที่ ตลอดการเคลื่อนที่จากแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนไปยังฉาก

(2) ประมาณว่า อิเล็กตรอนอยู่ใกล้แกน (เส้นลวด) มาก

(3) ประมาณว่า แม้จะมีสนามไฟฟ้าในแนวแกน z แต่อัตราเร็วของอิเล็กตรอนในแนวแกน z แทบไม่เปลี่ยนจากเดิมเลย (เพราะว่าอัตราเร็วในแนว z ตอนต้นมีค่ามากๆๆอยู่แล้ว) นั่นคืออัตราเร็วในแนวแกน z คงที่ ตลอดการเคลื่อนที่จากแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนไปยังฉาก

พิจารณาอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ไปในแนวแกน z ณ ตำแหน่ง x คงตัวค่าหนึ่ง

\displaystyle \int eE_xdt = \int eE_xdz/v_z

\displaystyle =\frac{eV_a}{v_z\ln\left( b/a \right)} \int\frac{x}{x^2+z^2}dz

\displaystyle =\frac{eV_a}{v_z\ln\left( b/a \right)} \int\frac{x^2}{x^2+z^2}d\left( z/x \right)

\displaystyle =\frac{eV_a}{v_z\ln\left( b/a \right)} \int_{z=-l}^L\frac{1}{1+\left( z/x \right)^2}d\left( z/x \right) (ในข้อสอบกำหนด useful integrals มาให้ประมาณ 5-6 อันครับ ซึ่งได้ใช้อันนี้อยู่อันเดียว laugh )

\displaystyle =\frac{eV_a}{v_z\ln\left( b/a \right)} \left[ \arctan\left( L/x \right) - \arctan\left( -l/x \right) \right]

เพราะว่าอิเล็กตรอนอยู่ใกล้ x=0 มาก ดังนั้น \displaystyle L/x,l/x\to\infty

และ \displaystyle \arctan\left( -c \right) = -\arctan c

ดังนั้น \displaystyle \left[ \arctan\left( L/x \right) - \arctan\left( -l/x \right) \right]\to\pi

\displaystyle \therefore \hbar k_x = \frac{\pi eV_a}{v_z\ln\left( b/a \right)}

แต่ \displaystyle m_0v_z = \hbar k_z

\displaystyle \therefore k_x = \frac{m_0 \pi eV_a}{\hbar^2 k_z\ln\left( b/a \right)}

(c)
แบบคลาสสิก \displaystyle eV_0 = \frac{p^2}{2m}

\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}

\displaystyle \therefore \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV_0}}

แบบสัมพัทธภาพ \displaystyle eV_0 = \left( \gamma - 1 \right)mc^2 \to \gamma = 1+\frac{eV_0}{mc^2}

จาก \displaystyle \left( \gamma mc^2 \right)^2 = \left( pc \right)^2 + \left( mc^2 \right)^2 \to p = mc\sqrt{\gamma^2 -1} = mc\sqrt{\left( 1+\frac{eV_0}{mc^2} \right)^2 -1}

(d)
(ii) [วิธีของท่าน puneo Grin ซึ่งทำถูกอยู่คนเดียวในทีมไทย!] ให้จุดกำเนิดเป็นจุดใดๆ บนฉาก

พิจารณาที่ตำแหน่ง x คงที่ตำแหน่งหนึ่งบนฉาก

คลื่น ที่วิ่งไปทางขวา ณ ตำแหน่ง x มีการกระจัดจากสมดุลเป็น \displaystyle A\sin\left( \vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t \right)

*ถ้าพิจารณาที่เวลา t คงที่ค่าหนึ่ง (เช่นโดยถ่ายรูปสถานการณ์ทั้งหมดที่เวลาหนึ่งๆ มาพิจารณา) สมการด้านบนบอกเราว่า ณ ตำแหน่ง \vec{r} ใดๆ ที่ \vec{k}\cdot\vec{r} มีค่าเท่ากันค่าหนึ่ง ตำแหน่งเหล่านั้นทั้งหมดย่อมมีเฟสเท่ากันค่าหนึ่ง ตำแหน่งเหล่านั้นทั้งหมดจะอยู่บนระนาบระนาบหนึ่งซึ่งตั้งฉากกับ \vec{k} (เพราะว่า \vec{k}\cdot\vec{r} มีค่าเท่ากันทั้งระนาบ) ซึ่งนี่คือสมบัติของคลื่นระนาบ*

\displaystyle \vec{k} = k_x\hat{i} + k_z\hat{k} และ \vec{r} = x\hat{i}

\displaystyle \therefore \vec{k}\cdot\vec{r} = k_x x

ดังนั้น คลื่น ที่วิ่งไปทางขวา ณ ตำแหน่ง x มีการกระจัดจากสมดุลเป็น \displaystyle A\sin\left( k_x x - \omega t \right)


แต่สำหรับคลื่นที่วิ่งไปทางซ้าย ณ ตำแหน่ง x

\displaystyle \vec{k} = -k_x\hat{i} + k_z\hat{k} และ \vec{r} = x\hat{i}

\displaystyle \therefore \vec{k}\cdot\vec{r} = -k_x x

ดังนั้น คลื่น ที่วิ่งไปทางซ้าย ณ ตำแหน่ง x มีการกระจัดจากสมดุลเป็น \displaystyle A\sin\left( -k_x x - \omega t \right)

ณ ตำแหน่ง x คลื่นทั้งสองรวมกันได้เป็น

\displaystyle y=A\sin\left( k_x x - \omega t \right) + A\sin\left( -k_x x - \omega t \right)=-2A\cos k_x x \sin \omega t

ซึ่งบ่งว่าระยะห่างระหว่างแถบสว่างที่อยู่ติดกัน คือ \displaystyle \frac{\pi}{k_x}


(iii) ถ้าเป็นคลื่นทรงกลม \displaystyle k_x จะมากกว่าคลื่นระนาบ (เพราะว่าคลื่นทรงกลมมี \displaystyle k_x ตั้งแต่ออกจากแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนแล้ว)

ดังนั้นระยะห่างระหว่างแถบสว่างที่อยู่ติดกัน คือ \displaystyle \frac{\pi}{k_x} จะมีค่าลดลง


(v) สมการของสลิตคู่ (ประมาณมุมเล็ก)

\displaystyle d \frac{y}{L+l} = m\lambda

เมื่อ y คือระยะห่างของริ้วสว่างลำดับที่ m จากแนวกลาง

L+l คือระยะห่างระหว่างสลิตคู่กับฉาก

เราจึงได้ \displaystyle y=\frac{m \lambda (L+l)}{d}

และระยะห่างระหว่างแถบสว่างที่อยู่ติดกัน คือ \displaystyle \frac{\lambda (L+l)}{d}

แต่เราหาไว้ในข้อ (iii) แล้วว่า ระยะห่างระหว่างแถบสว่างที่อยู่ติดกัน คือ \displaystyle \frac{\pi}{k_x}

ดังนั้น \displaystyle \frac{\lambda (L+l)}{d} = \frac{\pi}{k_x}

\displaystyle \lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{k_z^2 + k_x^2}} \approx \frac{2\pi}{k_z}

แก้สมการออกมา \displaystyle d=\frac{2k_x}{k_z}\left( L+l \right)
« Last Edit: May 23, 2014, 04:00:05 PM by saris2538 » Logged
Puneo
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 7
« Reply #7 on: May 23, 2014, 04:56:10 PM »
รูปที่สิงค์โปร์นะคับ :p ท่าน jali SuperHelper เค้าชอบมากเลย
ปล. สามารถดูรูป jali กับสาวๆคนอื่นที่ singapore ได้ที่เฟส "แจ็ค คลุง" นะคับ
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #8 on: May 23, 2014, 06:28:55 PM »
Quote from: Puneo on May 23, 2014, 04:56:10 PM
รูปที่สิงค์โปร์นะคับ :p ท่าน jali SuperHelper เค้าชอบมากเลย
ปล. สามารถดูรูป jali กับสาวๆคนอื่นที่ singapore ได้ที่เฟส "แจ็ค คลุง" นะคับ
ชอบนี่ ชอบรูปหรือชอบคนครับ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: