พลังงานในสนามไฟฟ้า

krirkfah

SuperHelper

Offline

Posts: 631

พลังงานในสนามไฟฟ้า

« on: December 06, 2013, 10:24:02 PM »

$W=\displaystyle \frac{1}{2}\int Vdq$

$W=\displaystyle \frac{1}{2}\int \rho Vd\tau$

โดยอาศัยสมการ $\rho =\varepsilon _0\nabla \cdot \vec{E}$ จะได้

$W=\displaystyle \frac{\varepsilon _0}{2}\int (\nabla \cdot \vec{E})Vd\tau$

โดยอาศัย integration by parts จะได้

$W=\displaystyle \frac{\varepsilon _0}{2}[-\int \vec{E}\cdot (\nabla V)d\tau+\oint{V\vec{E}\cdot d\vec{a}}]$

และจาก $E=-\nabla V$ จะได้

$W=\displaystyle \frac{\varepsilon _0}{2}[\int E^2d\tau+\oint{V\vec{E}\cdot d\vec{a}}]$

และเมื่อ integrate over all space จะได้

$W=\displaystyle \frac{\varepsilon _0}{2}\int E^2d\tau$

ผมสงสัยว่า

1) สนามไฟฟ้าที่ได้จาก $-\nabla V$ ไม่น่าเท่ากับสนามไฟฟ้าที่ได้จาก Gauss's law เพราะว่า $V$ เป็นศักย์ไฟฟ้าจากประจุอื่น ณ ตำแหน่งของประจุที่เราสนใจ

ซึ่ง $-\nabla V$ เป็นสนามไฟฟ้าจากประจุอื่นที่ตำแหน่งนี้ แต่ว่า สนามไฟฟ้าที่ได้จาก $\displaystyle \nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{\varepsilon _0}$ รวมสนาม

ไฟฟ้าจากประจุที่ตำแหน่งที่เราสนใจด้วย เพราะว่า จากสมการ $W=\displaystyle \frac{\varepsilon _0}{2}\int (\nabla \cdot \vec{E})Vd\tau$ นี้ $\rho$ เป็น

ความหนาแน่นของประจุเชิงปริมาตร ณ ตำแหน่งที่เราสนใจ ดังนั้นเมื่อใช้ Gauss's law ผิว Gaussian จะต้องเป็นผิวที่ล้อมรอบประจุความหนาแน่น $\rho$ นี้ จึงทำให้สนามไฟฟ้า

ที่ได้เป็นสนามไฟฟ้าของประจุที่เราสนใจด้วยซึ่งต่างจาก $-\nabla V$ ที่เป็นสนามไฟฟ้าจากประจุอื่นๆที่เราไม่ได้สนใจ ดังนั้น แล้วเราไม่น่าเขียนพจนืใน integral เป็น $E^2$ ได้

2) ทำไมเมื่อ integrate over all space แล้วพจน์หลังถึงหายไปหรอครับ

3) สังเกตว่าสมการอันสุดท้ายจะเป็น บวก เสมอ ส่วนสมการแรกสุดเป็นได้ทั้ง บวกและลบ ผมอยากทราบว่าสมการไหนถูกต้องกันแน่แล้วมันต่างกันอย่างไรหรอครับทั้งที่มันเริ่มต้นมาจากสมการเดียวกัน

รบกวนผู้รู้ช่วยชี้แนะด้วยครับ idiot2


« Last Edit: December 06, 2013, 10:26:51 PM by krirkfah »	Logged

krirkfah

SuperHelper

Offline

Posts: 631

Re: พลังงานในสนามไฟฟ้า

« Reply #1 on: December 09, 2013, 03:55:16 PM »

ผมถามไม่เข้าใจรึเปล่าครับ ไม่มีใครตอบเลย Huh


	Logged

It is GOL

neutrino

Offline

Posts: 337

Re: พลังงานในสนามไฟฟ้า

« Reply #2 on: December 09, 2013, 06:37:34 PM »

1. สนามไฟฟ้ารวมจากทุกประจุใน space ครับ ทำไมจึงคิดว่ามันไม่รวมประจุที่ตำแหน่ง "ตรงนั้น" ล่ะครับ
ศักย์เป็น scalar field ซึ่งมี source เป็นกลุ่มประจุที่กระจายอยู่ใน space นั้น โดยเฉพาะในที่นี้เป็นการกระจายประจุเชิงปริมาตร เราจึงไม่อาจพูดได้เต็มปากว่ามีประจุอยู่"ตรงนั้น" เหมือนถามว่า ในกลุ่มแก๊สกลุ่มหนึ่ง มีโมเลกุลกี่ตัวที่มีอัตราเร็ว 500 m/s เป๊ะ เราก็ตอบได้ประมาณว่า โอกาสเข้าใกล้ 0 ต้องถามว่า ในช่วง 500 - 501 m/s จึงจะ

2. $E\sim \dfrac{1}{r^2}, V\sim \dfrac{1}{r}, a \sim r^2$ คูณกัน จึง converge หา 0 ที่ระยะไกลๆ

3. เกิดจากการเลือกค่าอ้างอิงของพลังงานครับ สังเกตว่าการที่เรามีประจุ (จุด/เส้น/พื้นที่/ปริมาตร) อยู่ปริมาณหนึ่ง ก่อนจะนำมาวางที่ตำแหน่งต่างๆ มันก็ต้องมีพลังงานจากการนำประจุเล็กๆ (เช่น อิเล็กตรอน) แต่ละตัวเข้าหากัน ตรงนี้ก็เป็นพลังงานศักย์อีกส่วนหนึ่งด้วย เพราะฉะนั้นจริงๆ แล้วเราบอกไม่ได้หรอกครับว่าพลังงานศักย์ในระบบมีอยู่เท่าไร เราบอกความหมายแค่ "ผลต่าง" เท่านั้นครับ


« Last Edit: December 09, 2013, 06:52:24 PM by It is GOL »	Logged

It is GOL coming !!! ผมจะเอาชนะความไม่รู้ให้ได้!!

krirkfah

SuperHelper

Offline

Posts: 631

Re: พลังงานในสนามไฟฟ้า

« Reply #3 on: December 10, 2013, 01:35:01 PM »

1. ที่ผมคิดแบบนั้นเพราะว่า สมการ $W=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \displaystyle \sum^{n}_{i=1}q_iV_i$ เมื่อ $V_i=\displaystyle \sum^{n}_{j\neq i}\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{q_j}{r_{ij}}$ บ่งว่า $V_i$ เป็นศักย์จากประจุอื่นๆที่ตำแหน่งที่ $q_i$ อยู่ โดยไม่รวมศักย์จาก $q_i$ ทำให้ในสมการ $W=\displaystyle \frac{1}{2}\int Vdq$ นั้น $V$ เป็นศักย์จากประจุอื่นๆ ไม่ใช่ศักย์จากประจุตรงตำแหน่งที่เราพิจารณา(ในทีนี้เราพิจารณา $dW$ ) ดังนั้นสนามไฟฟ้าที่ได้จาก $-\nabla V$ จึงต้องเป็น สนามไฟฟ้าที่ได้จากประจุอื่นๆแต่ไม่ได้จากประจุตรงตำแหน่งที่เราพิจารณาครับ

ส่วนสนามไฟฟ้าที่ปรากฏใน Gauss's law $\nabla \cdot \vec{E}=\displaystyle \frac{\rho }{\varepsilon _0}$ นั้น เป็นสนามไฟฟ้าสุทธิที่จุดที่เราพิจารณา ซึ่งต้องรวมสนามไฟฟ้าที่มาจากประจุตรงตำแหน่งที่เราพิจารณาด้วย ถึงสนามไฟฟ้าที่มาจากประจุตรงตำแหน่งที่เราพิจารณานี้จะมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามไฟฟ้าจากประจุอื่นๆที่ตำแหน่งที่เราพิจารณาก็ตาม แต่นี่เป็นการบ่งว่าสนามไฟฟ้าในสมการ $\nabla \cdot \vec{E}=\displaystyle \frac{\rho }{\varepsilon _0}$ มีค่าไม่เท่ากับสนามไฟฟ้า จาก $-\nabla V$ โดยอาศัยเหตุผลที่กล่าวมาข้างต้น

ผมคิดผิดตรงไหนรึเปล่าครับ buck2


	Logged

Pages: 1 Go Up

« previous next »