ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6346

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« on: November 13, 2013, 06:04:29 PM »

ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57


« Last Edit: November 13, 2013, 06:09:42 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

krirkfah

SuperHelper

Offline

Posts: 631

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #1 on: November 13, 2013, 10:46:01 PM »

ลองทำข้อ 1 ครับ

พิจารณาพื้นที่ผิวเล็กๆ $\delta A=2\pi y\delta s=2\pi y\displaystyle \sqrt{1+(\frac{dy}{d x})^2}\delta x$ เมื่อแทน $y=(\tan 45^\circ)x$ ลงไป จะได้ $\delta A=2\sqrt{2}\pi x\delta x$

(ทำตามคำแนะนำของพี่ dy Reply #7) หาศักย์ไฟฟ้าโดยจุดอ้างอิงที่อยู่ infinity จะได้

$\delta V=\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{\delta q}{r}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{\sigma \delta A}{r}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{\sigma 2\sqrt{2}\pi x\delta x}{r}=\frac{1}{2\pi \varepsilon _0}\frac{\sqrt{2}\sigma\pi x\delta x}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}$

$V_{(x=D)}=\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{1}{2\pi \varepsilon _0}\frac{\sqrt{2}\sigma\pi x}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx$

$\displaystyle=\frac{1}{8\pi \varepsilon _0}\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D+D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx$

$\displaystyle=\frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx]$

$=\displaystyle \frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{2x^2-2Dx+\frac{D^2}{2}+\frac{D^2}{2}}}dx]$

$=\displaystyle \frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{(\sqrt{2}x-\frac{D}{\sqrt{2}})^2+\frac{D^2}{2}}}dx]$

$=\displaystyle \frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}x-\frac{D}{\sqrt{2}})^2+\frac{D^2}{2}}}d(\sqrt{2}x-\frac{D}{\sqrt{2}})]$

เมื่ออินทิเกรตเสร็จ ก็ไปหา gradient ต่อก็จะได้คำตอบครับ(ไว้จะมาทำต่อให้เสร็จครับ)

อีกวิธีคือหาสนามไฟฟ้าแบบตรงไปตรงมาเลย

$E_x=\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sigma }{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\ell} \frac{x(D-x)}{[x^2+(D-x)^2]^\frac{3}{2}}dx$


« Last Edit: November 20, 2013, 08:26:46 PM by krirkfah »	Logged

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #2 on: November 14, 2013, 01:32:33 PM »

Quote from: krirkfah on November 13, 2013, 10:46:01 PM

ข้อ 1 ครับ ผมได้

$E_x=\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sigma }{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\ell} \frac{x(D-x)}{[x^2+(D-x)^2]^\frac{3}{2}}dx$

คุณ krirkfah ช่วยแสดงวิธีทำ+อินทิเกรตออกมาด้วยสิครับ Grin


	Logged

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #3 on: November 17, 2013, 05:56:57 PM »

อ่าคือผมอยากถามว่ากลศาสตร์ข้อสองนี่ ถ้าผมประมาณว่าหลังจากชนกับโฟตอนแล้วทั้งนิวตรอนและไพออนแทบจะไม่เคลื่อนที่ แล้วแกมมาประมาณ1เลย ได้ไหมครับ


	Logged

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6346

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #4 on: November 17, 2013, 07:21:38 PM »

Quote from: jali on November 17, 2013, 05:56:57 PM

การหาค่าต่ำสุดควรจะหาในกรอบจุดศูนย์กลางโมเมนตัมที่โมเมนตัมทั้งหมดของระบบเป็นศูนย์ แล้วค่อยแปลงกลับเป็นค่าในกรอบห้องปฏิบัติการ


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #5 on: November 17, 2013, 08:04:47 PM »

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 17, 2013, 07:21:38 PM

Quote from: jali on November 17, 2013, 05:56:57 PM

ก็คือมองว่าในกรอบศูนย์กลางโมเมนตัมอนุภาคหลังชนหยุดนิ่งหมดจึงจะได้พลังงานต่ำสุดใช่ไหมครับ
ข้อนี้ในห้องสอบผมเผลอไปคิดแบบอนุรักษ์พลังงาน แล้วประมาณแกมมาเป็น1เลยครับ


	Logged

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6346

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #6 on: November 17, 2013, 09:37:57 PM »

Quote from: jali on November 17, 2013, 08:04:47 PM

...
ก็คือมองว่าในกรอบศูนย์กลางโมเมนตัมอนุภาคหลังชนหยุดนิ่งหมดจึงจะได้พลังงานต่ำสุดใช่ไหมครับ
...

ใช่แล้ว ว่าง ๆ ช่วยทำเฉลยตั้งแต่ข้อแรกให้หน่อยสิ Grin


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

neutrino

Offline

Posts: 384

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #7 on: November 17, 2013, 11:07:59 PM »

ข้อแรก หากลองทำจากการหาศักย์ไฟฟ้าจากกรวยก่อน แล้วค่อยไปหาสนามไฟฟ้า คิดว่าน่าจะอินทิเกรตง่ายกว่าครับ coolsmiley


	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #8 on: November 22, 2013, 07:52:25 PM »

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 17, 2013, 09:37:57 PM

...
ใช่แล้ว ว่าง ๆ ช่วยทำเฉลยตั้งแต่ข้อแรกให้หน่อยสิ Grin

จัดไปครับ

ข้อแรกครับ เราอาจจะใช้วิธีของคุณdyก็ได้แต่นั่นจะทำให้เราไม่ได้ใช้"useful integral" ที่ป๋าให้มา Grin

อินทิกรัลตัวที่ผมได้คือตัวเดียวกันกับของคุณkrirkfahและที่มาของมันคือ ตอนที่เราคิดพื้นที่ผิวข้างกรวยเราต้องใช้สูงเอียง(ลองไปดูสูตรได้)และเราได้
$\delta E_{x}=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\dfrac{\sigma 2\pi x(D-x) \sqrt{2}\delta x}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{\frac{3}{2}}}$
$\displaystyle E_{x}=\frac{\sigma}{\sqrt{2} \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{\frac{3}{2}}}dx$
$\displaystyle =\frac{\sigma}{\sqrt{2} \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{(2x^{2}-2Dx+D^{2})^{\frac{3}{2}}}dx$
$\displaystyle=\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{(x^{2}-Dx+\frac{D^{2}}{2})^{\frac{3}{2}}}dx$
$\displaystyle=\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx$
$\displaystyle=-\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{(x-\frac{D}{2}+\frac{D}{2})(x-\frac{D}{2}-\frac{D}{2})}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx$
$\displaystyle=-\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{(x-\frac{D}{2})^{2}-\frac{D^{2}}{4}}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx$
$\displaystyle=-\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} [\int_{x=0}^{l}\frac{1}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{1}{2}}}dx- \int_{x=0}^{l}\frac{D^{2}}{2}\frac{1}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx]$
จากที่ป๋าให้มาจะได้
$\displaystyle E_{x}=-\dfrac{\sigma}{4 \epsilon_{0}}[\ln(\frac{x-\frac{D}{2}}{D/2}+\sqrt{(\frac{x-\frac{D}{2}}{D/2})^{2}+1})-\frac{D^{2}}{2}\frac{(x-D/2)/(D^{2}/4)}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{1}{2}}}]$ และเมื่อแทนขอบเขตจะได้
$\displaystyle E_{x}=-\dfrac{\sigma}{4 \epsilon_{0}}[\ln(\frac{\frac{l-\frac{D}{2}}{D/2}+\sqrt{(\frac{l-\frac{D}{2}}{D/2})^{2}+1}}{\sqrt{2}-1})-2(\frac{(l-D/2)}{((l-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2}})]$


	Logged

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #9 on: November 22, 2013, 08:07:18 PM »

ข้อสองครับ
2.1กระแสที่ไหลเราอาจมองได้ว่าเป็นประจุต่อหน่วยเวลานั่นคือ
$\displaystyle \delta I= \frac{\delta q}{\delta t}=\frac{\sigma 2\pi x \sqrt{2} \delta x}{2\pi/\omega}$
$\displaystyle \delta I=\sqrt{2}\omega \sigma x\delta x$
2.2
จากกฏของบิโอต์-ซาวาต์และผลจากลวดวงกลมจะได้
$\displaystyle \delta B_{x}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\delta I 2\pi x^{2}}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{3/2}}$
2.3
อินทิเกรตก้อนด้านบนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย
$\displaystyle B_{x}=\int\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\delta I 2\pi x^{2}}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{3/2}}$
$\displaystyle B_{x}=\int\frac{\mu_{0} \omega \sigma}{\sqrt{2}}\frac{ x^{3} dx}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{3/2}}$ ต่อไปนี้คือการอินทิเกรตก้อนนี้ครับ
$\displaystyle \int \frac{x^{3}}{\left ( x^{2}+(D-x)^{2} \right )^{3/2}}dx=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{x^{3}}{\left ( (x-D/2)^{2}+D^{2}/4 \right )^{3/2}}dx$
ให้ $\displaystyle x=\frac{D}{2}(1+\tan \theta)$
$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{x^{3}}{\left ( (x-D/2)^{2}+D^{2}/4 \right )^{3/2}}dx =\frac{1}{2\sqrt{2}} \int \frac{D^{3}/8(1+\tan \theta)^{3}}{D^{3}/8 \sec^{3}\theta}D/2 \sec^{2}\theta d\theta$
$\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \int \frac{(1+\tan \theta)^{3}}{\sec \theta} d\theta$
$\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \int \frac{1+3\tan \theta +3\tan^{2} \theta +\tan^{3} \theta}{\sec \theta} d\theta$
$\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \left[ -2\int\cos \theta d\theta+3\int\sin \theta d\theta+3 \int\sec\theta d\theta+ \int \sin\theta \tan^{2}\theta d\theta \right]$
$\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \left[-2\sin\theta-3\cos\theta+\ln(\sec\theta+\tan\theta)-(-\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta) \right]$
$\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \left[-2\sin\theta-2\cos\theta+\ln(\sec\theta+\tan\theta)+\frac{1}{\cos\theta} \right]$
หลังจากนั้นก็ใส่ขอบเขตลงไปก็จะได้คำตอบครับ
2.4
ต่อให้เราไม่ได้อินทิเกรตออกมาแต่เราก็ยังพอเดาได้ว่าอินทิกรัลมันจะมีหน้าตาเป็นอย่างไร และด้วยการวิเคราะห์มิติ นี่แนะว่าความสัมพันธ์ระหว่าง E กับ B คือ
$\displaystyle \frac{E}{B}=\frac{C}{\mu_{0} \epsilon_{0} \omega D}$ โดยที่Cคือค่าคงตัวที่ได้จากการแทนค่าของอินทิกรัล


« Last Edit: December 01, 2013, 03:43:27 PM by jali »	Logged

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #10 on: November 22, 2013, 08:29:18 PM »

ข้อสามครับ
เนื่องจากโจทย์ไม่ได้บอกอะไรเราเลยเกี่ยวกับทิศของสนามแม่เหล็กดังนั้น ผมจึงสมมุติว่ามันน่าจะมีทิศตั้งฉากกับวงลวดของเรา
3.1ฟลักซ์แม่เหล็กที่สอดอยู่ในวงCDNMCนั้นคือ $\displaystyle \Phi_{B}=\iint \vec{B} \cdot d\vec{A}=BD(x-x_{0})$
3.2induced e.m.f.= $\displaystyle -\frac{d}{dt}\Phi_{B}=-BD\frac{dx}{dt}$
3.3 เราเห็นได้โดยง่ายเลยว่าพจน์แรกสุดกับหลังสุดเป็น0แน่นอน ดังนั้น
$\displaystyle \frac{d}{dt}\iint\vec{B} \cdot d\vec{A}=-BD\frac{dx}{dt}$
3.4 induced current = $\displaystyle \varepsilon /R=-\frac{BD}{R}\frac{dx}{dt}$
3.5 แรงต้านมีขนาดเท่ากับ $\displaystyle F=ILB$
$\displaystyle F=-\frac{B^{2}D^{2}}{R}\frac{dx}{dt}$
3.6 จากกฏของนิวตันได้
$\displaystyle -\frac{B^{2}D^{2}}{R}\frac{dx}{dt}=m\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}$
$-\displaystyle \frac{B^{2}D^{2}}{mR}=\frac{1}{v}\frac{d}{dt}v$
$\displaystyle \ln(\frac{v}{v_{0}})=-\frac{(BD)^{2}t}{mR}$
$\displaystyle v=v_{0}e^{-\frac{(BD)^{2}t}{mR}}$
$\displaystyle (..?..)=e^{-\frac{(BD)^{2}t}{mR}}$


	Logged

Kolbe

neutrino

Offline

Posts: 97

Time and tide wait for no man.

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #11 on: November 22, 2013, 10:25:47 PM »

กลศาสตร์ข้อสองนะครับ

ใช้หลักการว่า 4-momentum คงตัวเมื่อก่อนกับหลังชน great

เราเขียน 4-momentum ของโฟตอนและโปรตอนได้ดังนี้
$\displaystyle \gamma (E/c,E/c,0,0)$
$\displaystyle p (m_{p}c^{2}/c,0,0,0)$
สำหรับ อีกสองตัวที่เหลือที่ได้จากการชนนั้น เราไม่จำเป็นต้องเขียน 4-momentum เพราะ
เราสามารถใช้ เงื่อนไขระหว่าง E ,p ที่ว่า
$\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$
เขียน 4-momentum รวมสองตัวยกกำลังสอง ในรูปมวลนิ่งรวมกับความเร็วแสงได้
จะได้สมการของ4-momentumกำลังสอง ทั้งระบบก่อนชนและหลังชน
$\displaystyle 4-p_{before}^{2} =4-p_{after}^{2}$
$\displaystyle \frac{(E+m_{p} c^{2} )^{2}}{c^{2}}-\frac{E^{2}}{c^{2}}=m_{total}^{2}c^{2}$
คูณ c กำลังสองตลอด
$\displaystyle (E+m_{p} c^{2} )^{2}-E^{2}=m_{total}^{2}c^{4}$
$\displaystyle 2m_{p} c^{2}E+m_{p}^{2}c^{4}=m_{total}^{2}c^{4}$
$\displaystyle E= \frac{(m_{total}^{2}-m_{p}^{2} )c^{2}}{2m_{p}}$
$\displaystyle E= \frac{((939.57+139.57)^{2}-938.27^{2} )c^{2}}{2(938.27)} MeV/c^{2}$
$E =151.44 MeV$


	Logged

Every cloud has a silver lining Wink

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6346

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #12 on: November 23, 2013, 10:09:15 AM »

^^^ ขอบคุณ krirkfah, jali, Kolbe และคนอื่น ๆ ที่ช่วยทำเฉลย smitten


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #13 on: November 24, 2013, 08:12:31 PM »

กลศาสตร์ข้อหนึ่งครับ
อย่างแรกเราสามารถประมาณได้ว่ารัศมีการโคจรมีค่าพอๆกับรัศมีโลกเพราะเป็นวงโคจรต่ำและระยะของเชือกเป็นแค่ร้อยเมตรดังนั้นเราประมาณอีกว่าอัตราเร็วเชิงมุมของยานและคนมีค่าเท่ากัน
เราจะได้ว่าแรงตึงเชือกเป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลางเพิ่มเติมและได้ $T=m\ddot{r}$
นำสมการนี้ไปเข้าสูตรความเร่งคงตัวเลย กดเครื่องคิดเลขมาจะได้ เวลาเท่ากับ $20\sqrt{10}\approx 63.2 s$
ปล.ข้อเทอร์โมนั้นรู้สึกว่าจะมีคนทำหลายวิธีมากแต่เดี๋ยวว่างๆผมจะเอาของเพื่อนมาลงให้ดูครับ


	Logged

มะตูม Kitabodin

Conan is a physicist
neutrino

Offline

Posts: 122

555

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57

« Reply #14 on: April 13, 2014, 12:34:07 PM »

ข้อ 1 ครับ
ประจุเล็กๆคือประจุ $\sigma (xdx\tan \alpha)$ สนามไฟฟ้าจากประจุเล็กๆ คือ....

$dE=\dfrac{2 \pi\sigma xdx \tan \alpha (D-x) }{(4 \pi \epsilon_0)((D-x)^2+(x\tan\alpha)^2)^\frac{3}{2}}$


« Last Edit: April 13, 2014, 12:36:37 PM by คีตบดินทร์ เจนณะสมบัติ »	Logged

[img alt=]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Go-home.svg/100px-Go-home.svg.png[/img]

Pages: 1 2 » Go Up

« previous next »