ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41461 Posts in 6253 Topics- by 9050 Members - Latest Member: poncmu
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: โพรเจกไทล์ครับ  (Read 7602 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« on: February 22, 2013, 04:47:35 PM »
โจทย์ปัญหาท้าทายจากหนังสือ young ครับ ข้อ 3-70
โยนโพรเจกไทล์ชิ้นหนึ่งจากจุด P โพรเจกไทล์เคลื่อนที่ในลักษณะที่ระยะห่างจากจุด P กำลังเพิ่มขึ้นเสมอ จงหามุมที่มากที่สุดเหนือเส้นแนวระดับที่ทำให้โยนโพรเจกไทล์ในลักษณะนี้ได้ ไม่ต้องคำนึงถึงแรงต้านอากาศ
คือ เฉลยเค้าบอกว่า ให้หาระยะห่างจากจุดโยนกำลังสอง D^2 ในรูปฟังก์ชันของเวลา แล้วให้หาอนุพันธ์ของค่านี้เทียบกับเวลา จากนั้นจับอนุพันธ์นี้เท่ากับศูนย์ แล้วใช้เงื่อนไงว่า discriminate ต้องเป็นลบหรือศูนย์เท่านั้นถึงจะทำให้ระยะห่างไม่มีทางลดลง
ที่ผมสงสัยก็คือ เค้ารู้ได้อย่างไรครับว่าการที่ discriminate ต้องเป็นลบหรือศูนย์เท่านั้นทำให้ระยะห่างไม่มีทางลดลง
Logged
Hitch your wagon to the star.
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #1 on: February 22, 2013, 05:29:52 PM »
Quote from: mopyi on February 22, 2013, 04:47:35 PM
โจทย์ปัญหาท้าทายจากหนังสือ young ครับ ข้อ 3-70
โยนโพรเจกไทล์ชิ้นหนึ่งจากจุด P โพรเจกไทล์เคลื่อนที่ในลักษณะที่ระยะห่างจากจุด P กำลังเพิ่มขึ้นเสมอ จงหามุมที่มากที่สุดเหนือเส้นแนวระดับที่ทำให้โยนโพรเจกไทล์ในลักษณะนี้ได้ ไม่ต้องคำนึงถึงแรงต้านอากาศ
คือ เฉลยเค้าบอกว่า ให้หาระยะห่างจากจุดโยนกำลังสอง D^2 ในรูปฟังก์ชันของเวลา แล้วให้หาอนุพันธ์ของค่านี้เทียบกับเวลา จากนั้นจับอนุพันธ์นี้เท่ากับศูนย์ แล้วใช้เงื่อนไงว่า discriminate ต้องเป็นลบหรือศูนย์เท่านั้นถึงจะทำให้ระยะห่างไม่มีทางลดลง
ที่ผมสงสัยก็คือ เค้ารู้ได้อย่างไรครับว่าการที่ discriminate ต้องเป็นลบหรือศูนย์เท่านั้นทำให้ระยะห่างไม่มีทางลดลง

การที่มันเป็นแบบนั้นบ่งว่าไม่มีทางที่ค่าอนุพันธ์นี้จะเป็น 0 ครับ นั่นคือค่าระยะทางจะเพิ่มขึ้นตลอด เพราะอนุพันธ์เป็นบวกตลอด  coolsmiley
Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #2 on: February 22, 2013, 05:35:45 PM »
Quote from: dy on February 22, 2013, 05:29:52 PM
....
การที่มันเป็นแบบนั้นบ่งว่าไม่มีทางที่ค่าอนุพันธ์นี้จะเป็น 0 ครับ นั่นคือค่าระยะทางจะเพิ่มขึ้นตลอด เพราะอนุพันธ์เป็นบวกตลอด  coolsmiley

แต่ถ้า discriminate เป็น 0 ค่าอนุพันธ์นี้มันก็เป็นศูนย์ได้นะครับ  Huh แต่ถึงอนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่ได้ แล้วรู้ได้ยังไงเหรอครับว่ามันเป็นบวกตลอด ช่วยชี้แนะด้วยครับ  icon adore
Logged
Hitch your wagon to the star.
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #3 on: February 22, 2013, 08:12:10 PM »
Quote from: mopyi on February 22, 2013, 05:35:45 PM
Quote from: dy on February 22, 2013, 05:29:52 PM
....
การที่มันเป็นแบบนั้นบ่งว่าไม่มีทางที่ค่าอนุพันธ์นี้จะเป็น 0 ครับ นั่นคือค่าระยะทางจะเพิ่มขึ้นตลอด เพราะอนุพันธ์เป็นบวกตลอด  coolsmiley

แต่ถ้า discriminate เป็น 0 ค่าอนุพันธ์นี้มันก็เป็นศูนย์ได้นะครับ  Huh แต่ถึงอนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่ได้ แล้วรู้ได้ยังไงเหรอครับว่ามันเป็นบวกตลอด ช่วยชี้แนะด้วยครับ  icon adore

discriminant ครับ ก็ตอนแรกนั้นเราจะเห็นได้ว่าระยะทางจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ในช่วงแรกที่ยิง นี่แสดงว่าอนุพันธ์มีค่าเป็นบวก ดังนั้นการที่อนุพันธ์จะเปลี่ยนค่าเป็นลบได้ จะต้องผ่านค่าศูนย์ไปก่อน นั่นคือถ้ามันเป็นศูนย์ไม่ได้ มันก็ต้องเป็นบวกตลอดการเคลื่อนที่  coolsmiley
Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #4 on: February 22, 2013, 08:34:55 PM »
Quote from: dy on February 22, 2013, 08:12:10 PM
...
discriminant ครับ ก็ตอนแรกนั้นเราจะเห็นได้ว่าระยะทางจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ในช่วงแรกที่ยิง นี่แสดงว่าอนุพันธ์มีค่าเป็นบวก ดังนั้นการที่อนุพันธ์จะเปลี่ยนค่าเป็นลบได้ จะต้องผ่านค่าศูนย์ไปก่อน นั่นคือถ้ามันเป็นศูนย์ไม่ได้ มันก็ต้องเป็นบวกตลอดการเคลื่อนที่  coolsmiley

พอเข้าใจแล้วครับ  แต่ผมยังสงสัยอยู่ว่าถ้า discriminant มันเป็นศูนย์มันก็จะทำให้มีค่า t 1 ค่าที่ทำให้อนุพันธ์มันเป็นศูนย์ หรือว่ากรณีนี้ค่าอนุพันธ์จะเป็นบวกน้อยลงเรื่อยๆจนเป็นศูนย์ที่จุดสุดท้ายพอดีเหรอครับเลยถือว่าระยะทางไม่ลดเลย  buck2

ปล.รู้สึกผมก็เคยเรียนว่ามันชื่อ discriminant แต่ในเฉลยเค้าเขียนว่า discriminate น่ะครับ  idiot2
Logged
Hitch your wagon to the star.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6298


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #5 on: February 22, 2013, 08:53:41 PM »
Quote from: mopyi on February 22, 2013, 08:34:55 PM
...
ปล.รู้สึกผมก็เคยเรียนว่ามันชื่อ discriminant แต่ในเฉลยเค้าเขียนว่า discriminate น่ะครับ  idiot2

ในเฉลยน่าจะพิมพ์ผิด
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #6 on: February 24, 2013, 03:00:18 PM »
อันนี้ผมไม่ได้ใช้เรื่องdiscriminant(เพราะตอนทำผมไม่รู้จัก Grin) แต่ว่าผมดิฟแล้วใช้เรื่องสมการพาราโบลาแทนครับโดยที่ดูจุดยอดแล้วใส่เงื่อนไขให้มัน
มันจะได้พอดีว่าdiscriminantต้องมีค่าน้อยสุดเท่ากับ0ครับ
ปล.รู้สึกว่าผมจะได้ \arcsin{\sqrt{\frac{8}{9}}}
แต่ว่าเฉลยเค้าได้ \arcsin{\frac{8}{9}}
« Last Edit: February 24, 2013, 06:20:13 PM by jali » Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #7 on: February 24, 2013, 08:04:59 PM »
Quote from: jali on February 24, 2013, 03:00:18 PM
อันนี้ผมไม่ได้ใช้เรื่องdiscriminant(เพราะตอนทำผมไม่รู้จัก Grin) แต่ว่าผมดิฟแล้วใช้เรื่องสมการพาราโบลาแทนครับโดยที่ดูจุดยอดแล้วใส่เงื่อนไขให้มัน
มันจะได้พอดีว่าdiscriminantต้องมีค่าน้อยสุดเท่ากับ0ครับ
ปล.รู้สึกว่าผมจะได้ \arcsin{\sqrt{\frac{8}{9}}}
แต่ว่าเฉลยเค้าได้ \arcsin{\frac{8}{9}}

ผมไม่ค่อยเข้าใจวิธีคุณ jali น่ะครับ เงื่อนไขที่จุดยอดคืออะไรเหรอครับ ช่วยแสดงให้ดูแบบละเอียดได้ไหมครับ  icon adore

ปล.มันน่าจะได้ \displaystyle \arcsin{\sqrt{\frac{8}{9}}} ครับ ผมไปเช็คกับเฉลยของเล่มของเพื่อนที่เป็นภาษาอังกฤษมาแล้วครับ แต่เฉลยที่แปลมา(ภาษาไทย)ได้  \displaystyle \arcsin{\frac{8}{9}} ครับ
Logged
Hitch your wagon to the star.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6298


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #8 on: February 24, 2013, 08:46:41 PM »
คำตอบคือ \arcsin \left(\sqrt{\dfrac{8}{9}}\right) = 70.5^{\circ}
« Last Edit: February 24, 2013, 08:50:33 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #9 on: February 25, 2013, 10:28:50 AM »
Quote from: mopyi on February 24, 2013, 08:04:59 PM
...
ผมไม่ค่อยเข้าใจวิธีคุณ jali น่ะครับ เงื่อนไขที่จุดยอดคืออะไรเหรอครับ ช่วยแสดงให้ดูแบบละเอียดได้ไหมครับ  icon adore

ปล.มันน่าจะได้ \displaystyle \arcsin{\sqrt{\frac{8}{9}}} ครับ ผมไปเช็คกับเฉลยของเล่มของเพื่อนที่เป็นภาษาอังกฤษมาแล้วครับ แต่เฉลยที่แปลมา(ภาษาไทย)ได้  \displaystyle \arcsin{\frac{8}{9}} ครับ
คือว่าผมหาอนุพันธ์ของระยะห่างเทียบกับเวลาครับแล้วถ้าคุณมองดีๆคุณจะพบว่ามันจะมีอยู่พจน์นึงที่สามารถเป็นลบได้และมันอยู่ในรูป at^{2}+bt+c ซึ่งถ้าจุดยอดของสมการนี้อยู่นอกพิสัยของโพรเจกไทล์discirminant สามารถเป็นลบได้ แต่คุณจะพบว่าจุดยอดมันอยู่ในพิสัยแล้วมันจะให้เงื่อนไขว่าdiscriminantต้องน้อยสุดเท่ากับ0ครับ
Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #10 on: February 25, 2013, 08:53:06 PM »
Quote from: jali on February 25, 2013, 10:28:50 AM
...
คือว่าผมหาอนุพันธ์ของระยะห่างเทียบกับเวลาครับแล้วถ้าคุณมองดีๆคุณจะพบว่ามันจะมีอยู่พจน์นึงที่สามารถเป็นลบได้และมันอยู่ในรูป at^{2}+bt+c ซึ่งถ้าจุดยอดของสมการนี้อยู่นอกพิสัยของโพรเจกไทล์discirminant สามารถเป็นลบได้ แต่คุณจะพบว่าจุดยอดมันอยู่ในพิสัยแล้วมันจะให้เงื่อนไขว่าdiscriminantต้องน้อยสุดเท่ากับ0ครับ
ผมไม่ค่อยเข้าใจอยู่ดีครับ  buck2  icon adore
ผมให้อัตราเร็วต้น v_{0} ทำมุม \alpha กับแนวระดับ
จะได้ \displaystyle D = \sqrt{v^2_{0}t^2 - gt^3v_{0}\sin \alpha +\frac{g^2t^4}{4}}
\displaystyle \frac{d}{dt}D = \frac{t}{2D}(g^2t^2 - 3gv_{0}\sin \alpha + 2v^2_{0})
ซึ่ง g^2t^2 - 3gv_{0}\sin \alpha + 2v^2_{0} ก็คือ at^{2}+bt+c ตามที่คณบอกไว้
จุดยอดของสมการนี้ก็คือ \displaystyle (\frac{3v_{0}\sin \alpha }{2g} , \frac{v^2_{0}(8-9\sin ^2\alpha) }{4})
พอมาถึงตรงนี้ผมก็ไม่เข้าใจว่า จุดยอดตัวนี้มันเกี่ยวข้องกับ discriminant อย่างไรเหรอครับ
แต่ถ้าดูจากคำตอบสุดท้ายของคุณ jali ที่บอกว่า discriminantต้องน้อยสุดเท่ากับ 0 ก็จะได้ว่า \displaystyle \alpha \geqslant \arcsin (\sqrt{\frac{8}{9}}) แต่โจทย์เค้าถามว่ามุมที่มากที่สุดที่จะทำให้เกิดเหตุการณ์นี้ได้ไม่ไช่เหรอครับ หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิดครับ  idiot2
« Last Edit: February 25, 2013, 08:55:34 PM by mopyi » Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #11 on: February 26, 2013, 01:44:27 PM »
ขอโทษทีครับ ผมหาอนุพันธ์เทียบกับระยะตามแกนนอนครับไม่ใช่เวลา วิธีทำคือ
เรามี y=\tan(\theta)x-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}(\theta)}
D=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+(\tan(\theta)x-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}(\theta)})^{2}}
D=\sqrt{x^{2}+\tan^{2}(\theta)x^{2}-\frac{g\tan(\theta)x^{3}}{v_{0}^{2}\cos^{2}(\theta)}+\frac{g^{2}x^{4}}{4v_{0}^{4}\cos^{4}(\theta)}}
\frac{d}{d x}D=\frac{x}{2D}\cdot (2\sec^{2}-\frac{3g\sin(\theta)x}{v_{0}^{2}\cos^{3}(\theta)}+\frac{g^{2}x^{2}}{v_{0}^{4}\cos^{4}(\theta)})
พจน์ที่สามารถเป็นลบได้คือ พจน์ที่อยู่ในวงเล็บและมันมีจุดยอดคือ
\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}R นี่บ่งว่าพาราโบลาตัวนี้มีจุดยอดอยู่ในพิสัยของโพรเจกไทล์ทำให้ \frac{4ac-b^{2}}{4a}\geq0
\displaystyle \frac{4ac-b^{2}}{4a}=c-\frac{b^{2}}{4a}=2\sec^{2}(\theta)-\frac{\frac{9g^{2}\sin^{2}(\theta)}{v_{0}^{4}\cos^{6}(\theta)}}{\frac{4g^{2}}{v_{0}^{4}\cos^{4}(\theta)}}=\sec^{2}(\theta)(2-\frac{9\sin^{2}(\theta)}{4})
2-\frac{9\sin^{2}(\theta)}{4}\geq0
\sin^{2}(\theta)\leq\frac{8}{9}
\sin(\theta)\leq\sqrt{\frac{8}{9}}
\theta=\arcsin(\sqrt{\frac{8}{9}})
« Last Edit: February 26, 2013, 08:26:49 PM by jali » Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #12 on: February 26, 2013, 05:17:03 PM »
Quote from: jali on February 26, 2013, 01:44:27 PM
...
\frac{d}{d t}D=
...

ตรงนี้ต้องหาอนุพันธ์เทียบ x หรือเปล่าครับ


Quote from: jali on February 26, 2013, 01:44:27 PM
...
พจน์ที่สามารถเป็นลบได้คือ พจน์ที่อยู่ในวงเล็บและมันมีจุดยอดคือ
\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}R นี่บ่งว่าพาราโบลาตัวนี้มีจุดยอดอยู่ในพิสัยของโพรเจกไทล์ทำให้ \frac{4ac-b^{2}}{4a}\geq0
...

นึกภาพไม่ออกตรงนี้น่ะครับ ว่าจุดยอดของพาราโบลาตัวนี้ (ค่า x) ไปเกี่ยวข้องอย่างไรกับพิสัยของโพรเจกไทล์เหรอครับ
ผมคิดว่าพอมาถึงตรงนี้แล้ว เราก็สามารถใช้เงื่อนไขว่า \displaystyle \frac{d}{dx}D ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เท่านั้น
ดังนั้น ค่า \displaystyle \frac{4ac - b^2}{4a} ซึ่งเป็นจุดต่ำสุดของพาราโบลา(ค่า y) ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เลยนิครับ ไม่จำเป็นจะต้องไปพิจารณาพิสัยของโพรเจกไทล์อย่างที่คุณบอก หรือว่าผมยังนึกภาพตามคุณไม่ออก  icon adore
Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #13 on: February 26, 2013, 08:42:43 PM »
Quote from: mopyi on February 26, 2013, 05:17:03 PM
...
ตรงนี้ต้องหาอนุพันธ์เทียบ x หรือเปล่าครับ
...
แก้แล้วครับ  Smiley
Quote from: mopyi on February 26, 2013, 05:17:03 PM
...
Quote from: jali on February 26, 2013, 01:44:27 PM
...
\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}R นี่บ่งว่าพาราโบลาตัวนี้มีจุดยอดอยู่ในพิสัยของโพรเจกไทล์ทำให้ \frac{4ac-b^{2}}{4a}\geq0
...
นึกภาพไม่ออกตรงนี้น่ะครับ ว่าจุดยอดของพาราโบลาตัวนี้ (ค่า x) ไปเกี่ยวข้องอย่างไรกับพิสัยของโพรเจกไทล์เหรอครับ
ผมคิดว่าพอมาถึงตรงนี้แล้ว เราก็สามารถใช้เงื่อนไขว่า \displaystyle \frac{d}{dx}D ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เท่านั้น
ดังนั้น ค่า \displaystyle \frac{4ac - b^2}{4a} ซึ่งเป็นจุดต่ำสุดของพาราโบลา(ค่า y) ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เลยนิครับ ไม่จำเป็นจะต้องไปพิจารณาพิสัยของโพรเจกไทล์อย่างที่คุณบอก หรือว่าผมยังนึกภาพตามคุณไม่ออก  icon adore
แนวคิดของผมคือประมาณว่าพจน์ที่เป็นลบได้พจน์เดียวคือนิพจน์กำลังสองใช่ไหมครับ อะไรที่เราต้องการจริงๆมันคือว่านิพจน์นั้นทั้งนิพจน์ต้องมีค่าเป็นบวกหรือ0ตลอดช่วงที่อยู่ในพิสัยของโพรเจกไทล์
ทีนี้ถ้าพิกัดแกนนอนของจุดยอดมันอยู่เลยพิสัยไป พิกัดแกนตั้ง(y)ของจุดยอดมันจะมีโอกาศติดลบได้แค่ขอให้ในช่วงมันมีค่าบวกก็พอ
ข้างล่างนี้รูปประกอบความเข้าใจครับ
Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #14 on: February 26, 2013, 11:42:38 PM »
Quote from: jali on February 26, 2013, 08:42:43 PM
...
แนวคิดของผมคือประมาณว่าพจน์ที่เป็นลบได้พจน์เดียวคือนิพจน์กำลังสองใช่ไหมครับ อะไรที่เราต้องการจริงๆมันคือว่านิพจน์นั้นทั้งนิพจน์ต้องมีค่าเป็นบวกหรือ0ตลอดช่วงที่อยู่ในพิสัยของโพรเจกไทล์
ทีนี้ถ้าพิกัดแกนนอนของจุดยอดมันอยู่เลยพิสัยไป พิกัดแกนตั้ง(y)ของจุดยอดมันจะมีโอกาศติดลบได้แค่ขอให้ในช่วงมันมีค่าบวกก็พอ
...
อ๋อ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ  smitten
Logged
Hitch your wagon to the star.
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: