โปรตอนเคลื่อนที่

วิธีที่1

ลองมองในกรอบอ้างอิงของศูนย์กลางมวลนะครับ

ในระบบนี้ เราพบว่า $V_{cm} = \frac{u}{2}$ โดยมีทิศไปทางซ้าย

ในกรอบศูนย์กลางมวล เราจะเห็นโปรตอนตัวซ้ายมือ วิ่งเข้ามาด้วยความเร็ว $\frac{u}{2}$ และ ตัวขวามือก็ $\frac{u}{2}$ เข้าหากัน

เมื่อโปรตอนอยู่ใกล้กันที่สุด มันก็ควรที่จะวิ่งเข้าหากัน และช้าลงเรื่อยๆจนหยุดนิ่ง ซึ่งก็คือ มีความเร็วเป็นศูนย์ทั้งคู่

แต่โจทย์ถามความเร็วในกรอบอ้างอิงเดิม จึงต้องแปลงกลับ จะได้ $V_{nearest} = 0 + \frac{u}{2} = \frac{u}{2}$ ครับ

วิธีที่2

คือ การทำตรงๆ เราอาจบอกว่า พลังงานรวมของระบบนี้ต้องคงที่ ดังนั้นระบบโปรตอนที่อยู่ห่างกันมากๆ และ ใกล้กันที่สุด จะต้องมีพลังงานกลรวมเท่ากัน

$E = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}mv^{2}_{left}+\frac{1}{2}mv^{2}_{right} + \frac{ke^{2}}{r}$ ; r เป็นระยะห่าง

นอกจากพลังงานจะอนุรักษ์ โมเมนตัมยังอนุรักษ์อีกด้วย เพราะไม่มีแรงภายนอกมากระทำ $mu = mv_{left} + mv_{right}$

ทีนี้เราจะแก้สมการ โดนการกำจัด $v_{left}$ หรือ $v_{right}$ ออกไปจากสมการของพลังงาน

แล้วเขียนตำแหน่ง r เป็นฟังก์ชั่นของ ความเร็วที่เหลือ แล้วใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ (แคลคูลัส) หาค่าต่ำสุดออกมา

วิธีที่3

เราอาจหลีกเลี่ยงการใช้คณิตศาสตร์ได้ด้วยจินตนาการนิดหน่อย เราควรเดาได้ว่า เมื่อโปรตอนสองตัวอยู่ใกล้กันที่สุด ความเร็วจะต้องเท่ากัน $v_{left}= v_{right} = v$

เพราะเมื่อโปรตอนตัวแรกวิ่งเข้ามาเรื่อยๆ มันก้จะช้าลงๆ ส่วนอีกตัวก็จะเร็วขึ้นๆ เมื่อความเร็วเท่ากันมันควรอยู่ใกล้กันที่สุด เพราะ ความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างกันไม่มีแล้ว และ หลังจากนั้น

โปรตอนตัวซ้ายก็จะช้าลงๆ จนระยะห่างเพิ่มขึ้นๆ

จาก $v_{left}= v_{right} = v$ และ $mu = mv_{left} + mv_{right}$ เราได้ $v = \frac{u}{2}$