ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41278 Posts in 6179 Topics- by 8361 Members - Latest Member: SiripongPhysics
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: โจทย์ปัญหาข้อที่ 9  (Read 3113 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ชัยโรจน์
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« on: December 27, 2012, 09:13:01 PM »

อนุภาคมวล m เคลื่อนที่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงอยู่บนผิวด้านในของรูปพาราโบลอยด์ x^2 + y^2 = az ซึ่งเป็นผิวที่ลื่นและหงายขึ้น โดยมีจุดยอดอยู่ล่างสุด ให้ใช้พิกัดทรงกระบอกโดยที่จุดกำเนิดอยู่ที่จุดล่างสุด เขียนสมการของ Lagrange ของการเคลื่อนที่ของอนุภาค
(ก) จงแสดงว่าอนุภาคนี้จะเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวระดับในระนาบ z = h ถ้าอนุภาคได้รับความเร็วเชิงมุมขนาด \omega = \sqrt{2g/a}
(ข) จงแสดงว่าถ้าอนุภาคถูกรบกวนเล็กน้อยจากเส้นทางวงกลมนี้ อนุภาคจะเคลื่อนที่แบบแกว่งกวัดรอบเส้นทางวงกลม และให้หาความถี่ของการเคลื่อนที่แบบแกว่งกวัดนี้
Logged
ชัยโรจน์
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #1 on: December 27, 2012, 10:04:24 PM »

วิธีทำ ด้วย Lagrange multiplier (ส่วนที่ 1 จาก 2 ส่วน)

ขั้นที่ 1 กำหนด coordinates และ constraint

เราไม่ใช้ generalized coordinates เพราะว่าเราจะใช้ Lagrange multiplier ซึ่ง coordinates ที่เราจะใช้คือ (\rho, \phi, z) และสมการสำหรับ constraint คือ
f(\rho, z) = \rho^2 - az

ขั้นที่ 2 คำนวณพลังงานจลน์ พลังงานศักย์ และ Lagrangian

T = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\phi}^2 + \dot{z}^2\right)
V = mgz
ดังนั้น Lagrangian เท่ากับ
L = T - V = \dfrac{1}{2}m\dot{\rho}^2 + \dfrac{1}{2}m\rho^2\dot{\phi}^2 + \dfrac{1}{2}m\dot{z}^2 - mgz

ขั้นที่ 3 หาสมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคโดยใช้สมการของ Lagrange แบบดัดแปลง

\bullet สมการสำหรับ coordinate \rho

\dfrac{\partial L}{\partial \rho} + \lambda \dfrac{\partial f}{\partial \rho} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\rho}}
แทนค่า L ที่คำนวณได้จากขั้นตอนที่แล้วลงไป จะได้สมการการเคลื่อนที่สำหรับ \rho เป็น
m \rho \dot{\phi}^2 + 2\lambda \rho = m\ddot{\rho}\cdots (1)

\bullet สมการสำหรับ coordinate \phi

\dfrac{\partial L}{\partial \phi} + \lambda \dfrac{\partial f}{\partial \phi} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}
แทนค่า L ที่คำนวณได้จากขั้นตอนที่แล้วลงไป จะได้สมการการเคลื่อนที่สำหรับ \phi เป็น
m\rho^2 \dot{\phi} = \mathrm{const.} \equiv \ell \cdots (2)

\bullet สมการสำหรับ coordinate z

\dfrac{\partial L}{\partial z} + \lambda \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{z}}
แทนค่า L ที่คำนวณได้จากขั้นตอนที่แล้วลงไป จะได้สมการการเคลื่อนที่สำหรับ z เป็น
-mg - \lambda a = m\ddot{z} \cdots (3)
Logged
ชัยโรจน์
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #2 on: December 27, 2012, 10:33:05 PM »

วิธีทำ (ส่วนที่ 2 จาก 2 ส่วน)
ขั้นที่ 4 แก้สมการการเคลื่อนที่เหล่านี้ออกมา

(ก) ถ้าเราอยากให้อนุภาคเคลื่อนที่เป็นรูปวงกลมในระนาบหนึ่ง เราต้องบังคับให้ \ddot{\rho} = \ddot{z} =0
จากสมการการเคลื่อนที่สำหรับ \rho และ z จะได้ว่า

m \rho \dot{\phi}^2 + 2\lambda \rho = 0

และ

-mg - \lambda a = 0

จากสมการล่าง ทำให้เรารู้ค่าของ \lambda ว่าเท่ากับ -mg/a หลังจากแทนค่านี้ลงไปในสมการบนจะทำให้เรารู้ค่าของอัตราเร็วเชิงมุม \dot{\phi} ได้ดังนี้

m \rho \dot{\phi}^2 + 2\left(-\dfrac{mg}{a}\right)\rho = 0

ดังนั้น
\dot{\phi} = \sqrt{\dfrac{2g}{a}}

(ข) การรบกวนอนุภาคเล็กน้อยทำให้ \rho เปลี่ยนไปเล็กน้อย

\rho = \rho_0 + \eta

เมื่อ \rho_0 เป็นรัศมีตอนที่อนุภาคอยู่ในสมดุลซึ่งเป็นค่าคงที่ และ \eta เป็นค่าที่เปลี่ยนไปเล็กน้อยเมื่ออนุภาคถูกรบกวน

จากสมการ (2) จัดรูปใหม่จะได้

\dot{\phi} = \dfrac{\ell}{m \rho^2} \cdots (4)

นำค่านี้ไปแทนในสมการ (1) แล้วสะสางออกมา จะได้

\dfrac{\ell^2}{m\rho^3} + 2\lambda \rho = m\ddot{\rho}

แทนสมการ \rho = \rho_0 + \eta ลงไปในสมการนี้ จะได้ว่า

\dfrac{\ell^2}{m(\rho_0 + \eta)^3} + 2\lambda (\rho_0 + \eta) = m\ddot{\eta} \cdots (5)

หาค่า \lambda จากสมการ (3) ออกมาได้ว่า

\lambda = -\dfrac{mg}{a} - \dfrac{m}{a}\ddot{z}

หาค่าของ \ddot{z} ในรูปของ \rho จากเงื่อนไข constraint ได้ดังนี้

\ddot{z} = \dfrac{2}{a}\dot{\rho}^2 + \dfrac{2}{a}\rho \ddot{\rho}

ดังนั้น \lambda มีค่าเท่ากับ

\lambda = -\dfrac{mg}{a} - \dfrac{2m}{a^2}\dot{\rho}^2 - \dfrac{2m}{a^2}\rho \ddot{\rho}

แทนค่านี้ลงไปในสมการ (5) จะได้

\dfrac{\ell^2}{m(\rho_0 + \eta)^3} + 2\left(-\dfrac{mg}{a} - \dfrac{2m}{a^2}\dot{\eta}^2 - \dfrac{2m}{a^2}(\rho_0 + \eta) \ddot{\eta}\right)(\rho_0 + \eta) = m\ddot{\eta}

ต่อไปนี้จะทำการประมาณ โดยใช้ประโยชน์จาก (1+x)^n \approx 1 + nx เมื่อ x มีค่าน้อยมาก ๆ และ \dot{\eta}^2 \approx 0 และ \eta \ddot{\eta} \approx 0
เขียน \rho_0 + \eta ทุกตัวในรูป \rho_0\left(1 + \dfrac{\eta}{\rho_0}\right)
ดังนั้น
\left(1 + \dfrac{\eta}{\rho_0}\right)^{-3} \approx 1 - \dfrac{3\eta}{\rho_0}

หลับหูหลับตาทำ มันเกือบจะหายไปหมด เหลือแค่

\ddot{\eta} = -\left(\sqrt{\dfrac{8ga}{4\rho_0^2 + a^2}}\right)^2\eta

นั่นคือความถี่ในการสั่นเท่ากับ

\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{8ga}{4\rho_0^2 + a^2}}
« Last Edit: December 27, 2012, 10:39:45 PM by ชัยโรจน์ » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: