ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41461 Posts in 6253 Topics- by 9054 Members - Latest Member: kim28680
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: โจทย์ปัญหาข้อที่ 5  (Read 3131 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« on: December 27, 2012, 08:00:03 PM »

พิจารณาอนุภาคมวล m ซึ่งถูกจำกัดให้เคลื่อนที่อยู่บนผิวลื่นของทรงกระบอกรัศมี R ที่บรรยายได้ด้วยสมการ \rho = R ในพิกัดขั้วทรงกระบอก (\rho, \phi, z) วัตถุนี้มีแรงภายนอกหนึ่งแรงกระทำ แรงนี้มีค่าเท่ากับ \mathbf{F} = -kr\hat{\mathbf{r}} โดยที่ k เป็นค่าคงตัวบวก r เป็นระยะทางของวัตถุจากจุดกำเนิด และ \hat{\mathbf{r}} เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยชี้ออกจากจุดกำเนิด โดยการใช้ z และ \phi เป็นพิกัดทั่วไป
(ก) จงหา Hamiltonian H ของระบบ
(ข) จงเขียนสมการของ Hamilton แก้สมการนี้และบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุ
Logged
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #1 on: December 27, 2012, 08:27:06 PM »

วิธีทำ(ส่วนที่ 1 จาก 2 ส่วน)

ขั้นที่ 1 ระบุพิกัดทั่วไป (Generalized coordinates)

เนื่องจากมันมี constraint ในพิกัด \rho เราจึงใช้ generalized coordinates เป็น \phi และ z

ขั้นที่ 2 คำนวณพลังงานจลน์ พลังงานศักย์ และ Lagrangian ของระบบ

T = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\phi}^2 + \dot{z}^2\right)
เนื่องจาก \rho = R พลังงานจลน์จะเท่ากับ
T = \dfrac{1}{2}m\left(R^2\dot{\phi}^2 + \dot{z}^2\right)
ส่วนพลังงานศักย์เราจะคำนวณมันจากแรงภายนอกที่ทำกับวัตถุ (ที่มันมีพลังงานศักย์ได้เพราะว่าแรงนั้นเป็นแรงแบบ central force)
จากสูตร
\mathbf{F} = -\nabla V
เนื่องจากแรงมีองค์ประกอบเฉพาะในทิศ \hat{\mathbf{r}} เราจึงได้ว่า
\mathbf{F} = -kr\hat{\mathbf{r}} = -{\mathbf{r}}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}V
นั่นคือ
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}V = -kr
อินทิเกรตออกมาได้
V = \dfrac{1}{2}kr^2
สังเกตว่าผมขอกำหนดให้ค่าคงที่จากการอินทิเกรตเป็นศูนย์เพื่อความสะอาด เรารู้อีกว่า r^2 = R^2 + z^2 เพราะฉะนั้นพลังงานศักย์มีค่าเท่ากับ
V(z) = \dfrac{k}{2}\left(R^2 + z^2\right)
สุดท้ายเราคำนวณ Lagrangian ออกมาได้
L = T - V = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\phi}^2 + \dfrac{1}{2}m\dot{z}^2 - \dfrac{1}{2}k\left(R^2 + z^2\right)

ขั้นที่ 3 คำนวณ Generalized momenta

นิยามของ Generalized momenta คือ
p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
ดังนั้น
p_z = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m\dot{z}
และ
p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mR^2\dot{\phi}
Logged
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #2 on: December 27, 2012, 08:55:34 PM »

วิธีทำ(ส่วนที่ 2 จาก 2 ส่วน)

ขั้นที่ 4 คำนวณหา Hamiltonian ของระบบ

นิยามของ Hamiltonian คือ
H = \displaystyle \sum_{i}p_i\dot{q}_i - L
ดังนั้น
H = p_z\left(\dfrac{p_z}{m}\right) + p_{\phi}\left(\dfrac{p_{\phi}}{mR^2}\right) - L
แทนค่า Lagrangian ที่คำนวณมาแล้วลงไปในสมการนี้
H = \dfrac{p^2_z}{m} + \dfrac{p^2_{\phi}}{mR^2} - \dfrac{1}{2}mR^2\left(\dfrac{p_{\phi}}{mR^2}\right)^2 - \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{p_{z}}{m}\right)^2 + \dfrac{1}{2}k\left(R^2 + z^2\right)
สะสางออกมา จะได้ว่า
H =  \dfrac{p^2_z}{2m} + \dfrac{p^2_{\phi}}{2mR^2} + \dfrac{1}{2}k\left(R^2 + z^2\right)

ขั้นที่ 5 คำนวณสมการการเคลื่อนที่โดยใช้สมการของ Hamilton

สมการของ Hamilton คือ
\dot{q}_i = \dfrac{\partial H}{\partial p_i} และ \dot{p}_i = -\dfrac{\partial H}{\partial q_i}
ดังนั้น สมการสำหรับพิกัด z คือ
\dot{z} = \dfrac{\partial H}{\partial p_z} = \dfrac{p_z}{m} และ \dot{p}_z = -\dfrac{\partial H}{\partial z} = -kz
และสมการสำหรับพิกัด \phi คือ
\dot{\phi} = \dfrac{\partial H}{\partial p_{\phi}} = \dfrac{p_{\phi}}{mR^2} และ \dot{p_{\phi}} = -\dfrac{\partial H}{\partial \phi} = 0

ขั้นที่ 6 แก้สมการการเคลื่อนที่

จากสมการของ Hamilton ทำให้เราได้
\ddot{z} = \dfrac{\dot{p}_z}{m} = -\left(\dfrac{k}{m}\right)z
และ
\ddot{\phi} = \dfrac{\dot{p_{\phi}}}{mR^2} = 0
แก้สมการเหล่านี้ได้ว่า
\dot{\phi} = \mathrm{const.}
และ
z = A\cos\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t + \alpha \right)
« Last Edit: December 27, 2012, 10:34:44 PM by ชัยโรจน์ » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: