ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41529 Posts in 6269 Topics- by 9366 Members - Latest Member: วรินทร
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: โจทย์youngเรื่องของไหลหมุนครับ  (Read 5627 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« on: October 20, 2012, 07:44:27 AM »

เป็นโจทย์ข้อ14-80ครับ(ข้อคู่แต่พอเปิดดูเฉลยมันดันบอกว่าเปิดไม่ได้ครับเลยอยากรู้วิธีทำ)
โจทย์ว่าดังนี้ครับ
"ภาชนะทรงกระบอกบรรจุของเหลวบีบอัดไม่ได้ที่มีความหนาแน่น \rho หมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega รอบแกนสมมาตรของทรงกระบอกซึ่งเราให้เป็นแกน y
1.จงแสดงว่าความดันที่ความสูงที่กำหนดใดๆภายในของไหลมีค่าเพิ่มขึ้นตามรัศมี(ออกจากแกนหมุน)ตามสมการ \frac{\partial p}{\partial r}=\rho \omega^{2}r
2.อินทิเกรตสมการอนุพันธ์ย่อยเพื่อหาความดันในรูปฟังก์ชันของระยะจากแกนหมุนตามเส้นแนวระดับที่ y=0
3.รวมผลข้อ2.กับ p_{2}-p_{1}=-\rho g(y_{2}-y_{1}) เพื่อแสดงว่าผิวของเหลวที่กำลังหมุนมีรูปร่างแบบพาราโบลานั่นคือความสูงของเหลวหาได้จาก h(r)=\frac{\omega^{2}r^{2}}{2g} (เขาใช้เทคนิคนี้ในการสร้างกระจกกล้องโทรทรรศน์พาราโบลาโดยการหมุนแก้วเหลวแล้วปล่อยให้มันแข็งตัวในขณะที่กำลังหมุน)"
ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยครับจะได้เช็กว่าผมทำถูกหรือเปล่า
ขอบคุณครับ
« Last Edit: October 20, 2012, 07:50:34 AM by jali » Logged
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #1 on: October 20, 2012, 02:15:58 PM »

...1.จงแสดงว่าความดันที่ความสูงที่กำหนดใดๆภายในของไหลมีค่าเพิ่มขึ้นตามรัศมี(ออกจากแกนหมุน)ตามสมการ \frac{\partial p}{\partial r}=\rho \omega^{2}r...
1. พิจารณาน้ำก้อนเล็ก ๆ ที่เป็นส่วนประกอบของน้ำในภาชนะที่อยู่สูงจากก้น y และห่างจากแกนสมมาตร r
2. น้ำก้อนนี้เคลื่อนที่เป็นรูปวงกลมที่มีรัศมี r (จุดศูนย์กลางอยู่เหนือก้อนภาชนะ y) ดังนั้นมันจึงมีความเร่งขนาด \omega^2 r ทิศทางชี้เข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม
3. แรงที่ทำให้เกิดความเร่งนี้มาจากผลต่างของความดันน้ำด้านในและด้านนอกของก้อนน้ำ ดังนั้น

F = (P(r + \Delta r,y) - P(r,y))A

เมื่อ A คือพื้นที่ของผิวด้านในและด้านนอกของก้อนน้ำ
4. ใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน

(P(r + \Delta r,y) - P(r,y))A = (\rho \Delta V)\omega^2 r

\dfrac{(P(r + \Delta r,y) - P(r,y))}{\Delta r} = \rho \omega^2 r

ตรงนี้ \Delta r = \Delta V/A และเนื่องจากก้อนน้ำเล็กมาก ๆ \Delta r จึงเข้าใกล้ศูนย์

\displaystyle \lim_{\Delta r \to 0}\dfrac{P(r + \Delta r,y) - P(r,y)}{\Delta r} \equiv \dfrac{\partial P}{\partial r}

สุดท้ายได้

\dfrac{\partial P}{\partial r} = \rho \omega^2 r

ข้อย่อยอื่นก็ไม่มีอะไรแล้วครับ เป็นคณิตศาสตร์ ไม่ยาก
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #2 on: October 21, 2012, 12:53:43 PM »

สงสัยครับว่า ทำไมต้องอินทิเกรตที่ระดับy=0ครับสำหรับข้อ2.ครับ
Logged
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #3 on: October 22, 2012, 06:56:59 AM »

จริงๆการอินทิเกรตสมการ
\dfrac{\partial P}{\partial r} = \rho \omega^2 r
คำตอบที่ได้ไม่ได้ขึ้นกับความสูงจากก้นถังหรอกครับ แต่เข้าใจว่าถ้าทำแบบนั้นแล้ว ตอนเราทำต่อข้อที่สามเราจะได้แทน y_2 = 0 ไปซึ่งจะทำให้คำตอบออกมาชัดเจน
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #4 on: October 22, 2012, 01:59:36 PM »

เอ่อแล้วจากวิธีของพี่ตรงนี้อ่าครับ
เมื่อ A คือพื้นที่ของผิวด้านในและด้านนอกของก้อนน้ำ
ถ้าAมันไม่เล็กมันน่าจะมีผลต่อความดันนี่ครับ(ความดันไม่เท่ากํนที่ความสูงต่างกัน)
Logged
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #5 on: October 22, 2012, 02:29:07 PM »

ตอนแรกได้กำหนดไว้ก่อนแล้วว่าก้อนน้ำนั้นเล็กมาก ดังนั้นพื้นที่หน้าตัดมันก็ต้องเล็กมากๆด้วยครับ ผมอาจจะใช้สัญญลักษณ์ไม่ดีเอง
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #6 on: October 22, 2012, 08:54:22 PM »

อ๋อเข้าใจแล้วครับ Smiley
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #7 on: October 23, 2012, 08:37:18 PM »

ทำต่อเลยนะครับ
2. \displaystyle\int \partial p=\int \rho \omega^{2}r \partial r
p=\frac{\rho \omega^{2} r^{2}}{2}+C
3.แต่ที่y=0,r=0 ได้ p=p_{0}
p=\frac{\rho \omega^{2}r^{2}}{2}+p_{0}
p-p_{0}=\frac{\rho \omega^{2}r^{2}}{2}=\rho g h(r)
\frac{\omega^{2}r^{2}}{2g}=h(r)
« Last Edit: October 25, 2012, 08:05:17 PM by jali » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: