ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

saris2538

neutrino

Offline

Posts: 96

ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« on: November 03, 2012, 10:31:14 PM »


« Last Edit: November 03, 2012, 11:03:37 PM by saris2538 »	Logged

neutrino

Offline

Posts: 384

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #1 on: November 03, 2012, 11:14:30 PM »

Quote from: saris2538 on November 03, 2012, 10:31:14 PM

เอาข้อสอบแล็ปลงด้วยสิครับ coolsmiley

ป.ล. ครั้งนี้สะเพร่าไปพอสมควรเลย ต้องลุ้นต่อไป buck2


	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

Wanted

neutrino

Offline

Posts: 144

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #2 on: November 03, 2012, 11:50:43 PM »

ข้อCrookes radiometer อาจารย์เปิดคลิปให้ดูในห้อง(ตามลิงก์ครับ(คลิปนี้เลยหละ55ที่อ.เปิด) http://www.youtube.com/watch?v=cey-JBeHrww ) แล้วก็เอามาออกข้อสอบเลย buck2


	Logged

ทุกครั้งที่เจอปัญหา อย่ายอมแพ้ เพราะถ้าเรายอมแพ้ เกมจะจบลงทันที แต่หากเราไม่ยอมแพ้ เกมยังดำเนินต่อไป

neutrino

Offline

Posts: 384

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #3 on: November 04, 2012, 06:57:09 PM »

ขอลองทำส่วนของ อ.สิรพัฒน์ ก่อนเลยนะครับ

1) กระบวนการแรก ปริมาตรคงที่ รับความร้อน $Q$ จากนิยามของ $c_v$ จะได้ว่า

$Q = nc_v \Delta T &=& \dfrac{P_0 V_0}{ \gamma - 1 } ( \dfrac{T_1}{T_0} - 1 )$

จะได้ว่า $T_1 &=& T_0 \left ( 1 &+& \dfrac{Q( \gamma - 1)}{P_0 V_0 } \right )$

จากปริมาตรคงตัว ได้ว่า $\dfrac{P_0}{T_0} &=& \dfrac{P_1}{T_1}$ ได้ว่า $P_1 &=& P_0 + \dfrac{Q( \gamma - 1)}{V_0}$ และ $V_1 &=& V_0$

โดย $Q_1 &=& Q$

2) กระบวนการที่สอง อุณหภูมิคงตัว จึงได้ว่า $P_1V_1 &=& P_2 V_2$

ดังนั้น $P_2 &=& \dfrac{P_1V_0}{\alpha V_0} &=& \dfrac{P_0}{\alpha} + \dfrac{Q( \gamma - 1)}{\alpha V_0}$

$T_2 &=& T_1 &=& T_0 \left ( 1 &+& \dfrac{Q( \gamma - 1)}{P_0 V_0 } \right )$ และ $V_2 &=& \alpha V_0$

โดย $Q_2 &=& P_1 V_1 \ln ( \alpha ) &=& \left ( P_0 V_0 + Q( \gamma - 1 ) \right ) \ln \alpha$

3) กระบวนการที่สาม ปริมาตรคงตัว โดยผมมองว่า ก๊าซจะถ่ายเทความร้อนไปเรื่อยๆ จนกว่าอุณหภูมิจะเท่ากับลูกสูบเย็น คือ $T_0$

ดังนั้น $\dfrac{P_2}{T_2} &=& \dfrac{P_3}{T_3}$ จะได้ว่า $P_3 &=& \dfrac{P_0}{\alpha}$

$V_3 &=& V_2 &=& \alpha V_0$ และ $T_3 &=& T_0$

โดย $Q_3 &=& nc_V ( T_0 - T_2 ) &=& -Q$

4) กระบวนการที่สี่ อุณหภูมิคงตัว กลับไปที่สถานะเดิม ดังนั้น $T_4 &=& T_0$ $V_4 &=& V_0$ และ $P_4 &=& P_0$

โดย $Q_4 &=& P_4V_4 \ln(1/\alpha) &=& - P_0 V_0 \ln ( \alpha)$

สังเกตว่ากระบวนการที่ 1 และ 2 ความร้อนเข้าสู่ระบบ จะได้ว่า $Q_{in} &=& Q_1 + Q_2 &=& Q &+& \left ( P_0 V_0 + Q( \gamma - 1 ) \right ) \ln \alpha$

สังเกตว่ากระบวนการที่ 3 และ 4 ความร้อนออกจากระบบ จะได้ว่า $Q_{out} &=& Q_3 + Q_4 &=& - ( Q + P_0 V_0 \ln ( \alpha) )$

ดังนั้นประสิทธิภาพของเครื่องยนต์นี้คือ $\eta &=& \dfrac{W}{Q_{in} } &=& 1 - \left| \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}} \right| &=& \dfrac{Q( \gamma - 1) \ln \alpha }{ Q + P_0 V_0 \ln \alpha + Q( \gamma - 1) \ln \alpha } &=& 1 - \dfrac{1}{1+ \frac{ (\gamma - 1)Q \ln \alpha}{Q + P_0 V_0 \ln \alpha } }$ .................... ตอบข้อย่อยที่ 2

มาถึงข้อย่อยที่ 3 นะครับ

เรามองว่า ตัวเลข $100 \; \mbox{mW}$ นี่เป็นกำลังต่อ $1 \; \mbox{m^2}$ ครับ ให้ค่านี้แทนด้วย $I$ จะได้ว่า ความดันที่ทำต่อแผ่นคือ $P &=& \dfrac{I}{c}$ (ความดันจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า) ให้ลำแสงมีรัศมี $R$ ก็จะได้ว่า แรงที่แสงทำต่อแผ่นคือ $\dfrac{I \pi R^2}{c}$

ตามโจทย์ให้พิจารณาเป็นมวลจุด สมมติให้แต่ละแผ่นมีมวล $m$ อยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะเท่ากับ $d$ ก็จะได้สมการทอร์กรอบแกนหมุนเป็น

$\displaystyle \sum_{ }\vec{\tau} &=& I \vec{\alpha}$

$\dfrac{I \pi R^2 d}{c} &=& (4md^2) \dfrac{ d\omega}{dt}$

โดยแผ่นเริ่มหมุนจากหยุดนิ่งจึงได้ $\omega &=& \dfrac{I \pi R^2 t}{4mdc}$ ดังนั้นจำนวนรอบต่อวินาทีหรือความถี่จึงมีค่าเป็น $f &=& \dfrac{I \pi R^2 t}{8\pi mdc}$

แทนค่าเป็นตัวเลข $I &=& 100\times 10^{-3} \; \mbox{W/m^2}$

$m &=& 0.01 \; \mbox{kg}$

$d &=& 0.02 \; \mbox{m}$

$R &=& 0.001 \; \mbox{m}$

$t &=& 60 \; \mbox{s}$

$c &=& 3.00 \times 10^{8} \; \mbox{m/s}$

จะได้ว่า $f &=& 1.25 \times 10^{-11} \; \mbox{Hz}$ หรือ $1.25 \times 10^{-11}$ รอบต่อวินาที ซึ่งน้อยมาก idiot2

....... ตอบข้อย่อยที่ 3

มาถึงข้อย่อยที่ 4 ครับ ผมคิดว่า จากสมการความดันในข้อย่อยที่แล้ว เห็นได้ว่า ถ้าผิวด้านไหนได้รับความเข้มมากกว่า ก็จะมีความดันมาทำต่อฝั่งนั้นมากกว่า จึงมีแรงดันมากกว่าอีกฝั่ง เราเห็นได้ว่า ฝั่งสีดำสามารถดูดกลืนความเข้มได้มากกว่าสีขาว จึงมีความดันทำต่อด้านสีดำมากกว่าสีขาว ส่งผลให้ได้รับแรงดันมากกว่า ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า แผ่นจะหมุนไปในทิศที่เรายิงแสงเข้าใส่แผ่นสีดำ .............................. ตอบข้อย่อยที่ 4

แก้ไขนะครับ ไม่น่าพลาดเลย โดยในข้อย่อยนี้นั้น เราใช้กลศาสตร์คลาสสิกวิเคราะห์ว่า ฝั่งสีดำนั้น แสงที่ยิงเข้าไปจะถูกดูดกลืนไว้ทั้งหมดโดยไม่สะท้อนออกมาเลย ส่วนสีขาวจะสะท้อนออกมาอย่างเต็มที่ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจึงเกิดที่ฝั่งด้านสีขาวมากกว่า จึงสรุปได้ว่า ด้านสีขาวนั้นถูกแรงกระทำมากกว่าด้านสีดำ ดังนั้นแผ่นจะหมุนไปในด้านที่ยิงแสงเข้าใส่แผ่นสีขาว ................................ ตอบข้อย่อยที่ 4

สำหรับข้อย่อยที่ 5 ครับ ผมมองว่า ถ้าเปรียบเทียบเครื่องจักร Stirling เป็นแผ่นแล้ว ความร้อนที่เข้าสู่ระบบทั้งหมดก็คือ ความร้อนจากเลเซอร์นั่นเอง ตรงนี้จะเทียบได้กับตอนผ่านกระบวนการรับความร้อนแบบปริมาตรคงที่ และกระบวนการรับความร้อนแล้วขยายตัวตอน isothermal จากนั้น กระบวนการต่อไปคือการแผ่ความร้อนไปยังบริเวณรอบๆที่เย็นกว่าของแผ่น รวมถึงด้านสีขาวที่ได้รับความร้อนน้อยกว่าด้วย ระหว่างกระบวนการนี้ เรามองได้ว่า งานที่ได้จากวัฎจักรก็คือ งานในการเพิ่มพลังงานจลน์ของการหมุนของแผ่นนั่นเอง จากนั้นแผ่นก็จะเริ่มคายความร้อน ( เทียบได้กับ ตอนคายความร้อนแบบปริมาตรคงที่ และแบบ isothermal ไปสถานะเดิม ) ออกไป โดยงานสุทธิที่ได้จากการให้ความร้อนทั้งหมดนี้ ก็คือพลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของแผ่นนั่นเอง โดยถ้าใช้มุมมองด้านอุณหพลศาสตร์มาอธิบาย เราจะเห็นได้ว่า ในช่วงแรกของการยิงนั้น อุณหภูมิของแผ่นด้านสีดำสูงกว่าแผ่นด้านสีขาว ดังนั้นจากสมการ $PV = nRT$ จะพอกล่าวได้ว่า แผ่นด้านสีดำมีแรงดันกระทำมากกว่าด้านสีขาว ดังนั้นแผ่นจะหมุนไปในทิศที่เรายิงแสงเข้าใส่แผ่นสีดำ ...... ตอบข้อย่อยที่ 5

จากผลในข้อย่อยที่ 2 เราได้ว่างาน $W &=& Q( \gamma - 1) \ln \alpha &=& ( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha$

จากทฤษฎีงาน-พลังงาน เราได้ว่า $W &=& \dfrac{1}{2} I \omega^2 &=& 2md^2 \omega^2 &=& ( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha$

จึงได้ว่า $\omega &=& \sqrt{ \dfrac{( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha}{2md^2 }}$ ดังนั้นความถี่หรือจำนวนรอบต่อวินาทีจึงเป็น $f &=& \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{ \dfrac{( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha}{2md^2 }}$

แทนค่าเป็นตัวเลข $I &=& 100\times 10^{-3} \; \mbox{W/m^2}$

$m &=& 0.01 \; \mbox{kg}$

$d &=& 0.02 \; \mbox{m}$

$R &=& 0.001 \; \mbox{m}$

$t &=& 60 \; \mbox{s}$

$\gamma \approx 1.5$

$\alpha &=& 2$

จะได้ว่า $f \approx 0.14 \; \mbox{Hz}$ หรือประมาณ $0.14$ รอบต่อวินาที ........................... ตอบข้อย่อยที่ 5

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ smitten


« Last Edit: January 25, 2013, 05:28:34 PM by dy »	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

Wanted

neutrino

Offline

Posts: 144

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #4 on: November 04, 2012, 08:37:24 PM »

Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X $\Sigma F=ma$

$F\cos \alpha -f = ma$

$f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)$

คิดทอร์กรอบจุดCM.

$\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}$

$fR-Fr = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha$
(ทอร์กจากแรงเสียดทานต้องมากกว่าทอร์กของแรงF เพราะ เมื่อวัตถุเกิดการกลิ้งแบบไม่ไถลไปด้านหน้า $\omega$ จะอยู่ในทิศตามเข็มนาฬิกา)

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า $\alpha =\frac{a}{R}$

$fR-Fr = \frac{maR}{2} \ldots (2)$

เอา(1)แทนใน(2)

ได้ $a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR} \underline{Ans}$


« Last Edit: November 05, 2012, 07:27:11 PM by Wanted »	Logged

It is GOL

neutrino

Offline

Posts: 337

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #5 on: November 04, 2012, 09:10:05 PM »

เงื่อนไขการกลิ้งไม่ไถล พี่นิยามทิศอย่างไรเหรอครับ ผมว่ามันน่าจะเป็น $a=-\alpha R$ มากกว่านะ Huh

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง


	Logged

It is GOL coming !!! ผมจะเอาชนะความไม่รู้ให้ได้!!

neutrino

Offline

Posts: 384

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #6 on: November 04, 2012, 10:59:31 PM »

Quote from: Wanted on November 04, 2012, 08:37:24 PM

Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X $\Sigma F=ma$

$F\cos \alpha -f = ma$

$f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)$

คิดทอร์กรอบจุดCM.

$\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}$

$Fr- fR = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha$

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า $\alpha =\frac{a}{R}$

$Fr-fR = \frac{maR}{2} \ldots (2)$

เอา(1)แทนใน(2)

ได้ $a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{mR} \underline{Ans}$

อย่าลืมว่า ทิศทางของทอร์กจากแรงเสียดทานมันไปทางเดียวกับทิศการหมุนของวัตถุนะครับ ดังนั้นสมการทอร์ก เครื่องหมายสลับกัน คำตอบควรเป็น $a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR} \underline{Ans}$ แบบที่น้องทำได้ในห้องสอบ coolsmiley

Quote from: It is GOL on November 04, 2012, 09:10:05 PM

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง

ตามนั้นเลยครับ Grin


	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

Wanted

neutrino

Offline

Posts: 144

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #7 on: November 05, 2012, 07:30:55 PM »

Quote from: dy on November 04, 2012, 10:59:31 PM

Quote from: Wanted on November 04, 2012, 08:37:24 PM

Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X $\Sigma F=ma$

$F\cos \alpha -f = ma$

$f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)$

คิดทอร์กรอบจุดCM.

$\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}$

$Fr- fR = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha$

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า $\alpha =\frac{a}{R}$

$Fr-fR = \frac{maR}{2} \ldots (2)$

เอา(1)แทนใน(2)

ได้ $a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{mR} \underline{Ans}$

Quote from: It is GOL on November 04, 2012, 09:10:05 PM

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง

ตามนั้นเลยครับ Grin

ขอบคุณพี่dy และน้องIt is Gol มากครับ smitten

ที่ช่วยเช็ค (ทำเองงงเอง55 buck2

)
ปล.งั้นในห้องสอบผมก็ทำถูกแล้วสิครับ เย่เย่ Grin


	Logged

saris2538

neutrino

Offline

Posts: 96

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #8 on: November 06, 2012, 07:59:34 PM »

ข้อ 1 อ.ขวัญ Grin

แรดสุดมีคลื่นลูกเดียวที่ออกจากเครื่องเคาะ ต่อมาคลื่นดังกล่าวสะท้อนกำแพง ตอนนี้มีคลื่นสองขบวน ต่อมาคลื่นอันที่สองสะท้อนปลายด้านใกล้เครื่องเคาะ ตอนนี้มีคลื่นสามขบวน ไปเรื่อยๆ จะมีคลื่นจำนวนหลายขบวนมาก แต่เราสามารถมองได้ว่า คลื่น"ขาไป"ทุกขบวนรวมกันเป็นคลื่นไซน์ 1 ขบวน และ คลื่น"ขากลับ" ทุกขบวนรวมกันเป็นคลื่นไซน์ 1 ขบวนได้ เพราะคลื่นย่อยแต่ละลูกเป็นคลื่นไซน์ บวกกันก็เป็นไซน์อยู่ดี

ให้ $\displaystyle y_1=Ae^{i(\omega t-kx)}$ เป็นฟังก์ชันคลื่นรวมของคลื่นขาไป โดยที่ $\displaystyle A,B$ อาจจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้

$\displaystyle y_2=Be^{i(\omega t+kx)}$ เป็นฟังก์ชันคลื่นรวมของคลื่นขากลับ

$\displaystyle y(x,t)$ คือผลบวกของคลื่นสองขบวนนี้: $\displaystyle y(x,t)=y_1+y_2$

<<ใช้วิธีพี่ K.P. เป็นวิธีที่ดูดีกว่า! Wink

>>
เงื่อนไขคือ $\displaystyle y(x,t)$ ที่ $\displaystyle x=L$ ต้องเป็น 0 (เพราะมันเป็นปลายตรึง) ดังนั้น

$\displaystyle 0=Ae^{i(\omega t-kL)}+Be^{i(\omega t+kL)}$

ได้ $\displaystyle B=-Ae^{-2ikL}$

$\displaystyle \therefore y_2=Ae^{i(\omega t+k(x-2L)-\pi)}$

ต่อไปเป็นคณิตศาสตร์แสนสนุก 2funny

$\displaystyle e^{ia}+e^{ib} = \cos a+i \sin a + \cos b +i \sin b$

$\displaystyle =(\cos a + \cos b) + i(\sin a + \sin b)$

ใช้สูตร $\displaystyle a+bi=\sqrt{a^2+b^2} e^{i \arctan\frac{b}{a}}$

$\displaystyle =\sqrt{(\cos a + \cos b)^2+(\sin a + \sin b)^2} e^{i \arctan\frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}}$

$\displaystyle =\sqrt{1+1+2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)} e^{i \arctan\frac{2 \sin\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}{2 \cos\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}}$

$\displaystyle =\sqrt{4\times\frac{1}{2}(1+\cos2\frac{a-b}{2})} e^{i\frac{a+b}{2}}$

$\displaystyle =2\cos \frac{a-b}{2} e^{i\frac{a+b}{2}}$

ดังนั้น $y_1+y_2 = Ae^{i \omega t}\left[ e^{i(k(x-2L)-\pi)} + e^{i(-kx)} \right]$

$= Ae^{i \omega t}\left[ 2\cos\left( k(x-L) - \frac{\pi}{2} \right) e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}\right]$

$\therefore y(x,t) = 2Ae^{i \omega t}\sin \left( k(x-L) \right) e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}$ ---> (*)

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงขับ และ ความชันเชือก ณ จุดที่แรงขับทำคือ $\displaystyle Fe^{i \omega t} = -T\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_{x=0}$

$\displaystyle Fe^{i \omega t} = -T2Ae^{i \omega t}k\cos \left(-kL \right) e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}$

$\displaystyle \therefore 2Ae^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)} = \frac{-F}{Tk \cos kL}$

แทนในสมการ (*) จะได้
$\displaystyle y(x,t) = \frac{-F}{Tk \cos kL} \sin \left( k(x-L) \right) e^{i \omega t}$

$\displaystyle \therefore y(x,t) = \frac{F}{Tk} \frac{\sin \left( k(L-x) \right)}{\cos kL} e^{i \omega t}$

จบการพิสูจน์


« Last Edit: December 05, 2012, 10:13:27 PM by saris2538 »	Logged

neutrino

Offline

Posts: 384

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #9 on: November 06, 2012, 09:47:49 PM »

วิชา แม่เหล็กไฟฟ้า ข้อ 3 นะครับ

เราสามารถเขียนสมการที่บรรยายผิวโค้งนี้เป็น $\phi &=& 0 &=& y - x^2$

เราสังเกตว่า $\vec{N_1}$ และ $\vec{N_2}$ ก็คือ GRADIENT ( เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับผิวโค้ง ) ของผิวนี้ที่ตำแหน่ง $x$ และ $-x$ ตามลำดับ

ดังนั้นเราได้ว่า $\vec{N_1} &=& \frac{\partial \phi}{\partial x } \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y } \hat{j}$ ที่ $x &=& x$

และ $\vec{N_2} &=& \frac{\partial \phi}{\partial x } \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y } \hat{j}$ ที่ $x &=& -x$

จึงได้ว่า $\vec{N_1} &=& 1\hat{j} - 2x \hat{i}$ และ $\vec{N_2} &=& 1\hat{j} + 2x \hat{i}$

ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน จะได้ว่า dot product ของมันเป็นศูนย์

$\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} &=& 0$

ได้ $1 - 4x^2 &=& 0$

ดังนั้น $x &=& \pm \dfrac{1}{2}$ coolsmiley

ป.ล. ตอนสอบผมเขียนเวกเตอร์ $\hat{i}$ กับ $\hat{j}$ สลับที่กัน แม้คำตอบออกมาถูกอยู่ดี แต่ไม่รู้จะโดนแค่ไหน buck2


	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

K.P.

neutrino

Offline

Posts: 96

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #10 on: November 06, 2012, 10:21:58 PM »

ขอบคุณมากครับคุณ saris2538 สำหรับวิธีทำข้อ1. ผมหายงงวิธีคิดเฟสแล้ว

ผมขอเสนอเพิ่มเติมวิธีแก้ข้อ1.วิชาคลื่นนะครับ

คือ เราสามารถเขียนคลื่น y = y1+y2 = Ae^i(wt-kx) + Be^(wt+kx)

ได้เลย และไม่ต้องสนใจเฟส เพียงแต่ต้องใส่เงื่อนไขตั้งต้นให้ถูกต้อง

เพราะเฟสรวมอยู่ใน A,B เรียบร้อยแล้ว นี่เป็นข้อดีของการเขียนฟังก์ชั่นคลื่นด้วยจำนวนเชิงซ้อน

เช่น ถ้าคลื่นมันกลับเฟส -Ae^(wt-kx) = Ae^(pi) * e^(wt-kx) = Ae^(wt-kx+pi) ; -1 = e^(pi)

จะเห็นว่าเราติดไว้ในรูปค่าคงที่ได้เลย

ซึ่งในอนาคต ถ้าโจทย์ต้องการถามเฟส เราก็สามารถเปลี่ยนจำนวนเชิงซ้อนกลับมาเป็นเฟสได้


« Last Edit: November 06, 2012, 10:24:21 PM by K.P. »	Logged

K.P.

neutrino

Offline

Posts: 96

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #11 on: November 06, 2012, 10:49:20 PM »

แม่เหล็กไฟฟ้าข้อ2.

จาก $\vec{F} = m\vec{a}$

$q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B)} = m\vec{a}$

$q\left(E\hat{j}+ \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_{x} &v_{y} & v_{z}\\ 0& 0 & B\end{vmatrix}\right) = m\vec{a}$

$q(E\hat{j}+v_{y}B\hat{i}-v_{x}B\hat{j})=m(a_{x}\hat{i}+a_{y}\hat{j}+a_{z}\hat{k})$

จะเห็นว่า ไม่มีแรงองค์ประกอบในแนวแกน Z ดังนั้น $v_{z}$ คงที่ ซึ่งแต่เดิมเป็นศูนย์อยู่แล้ว ดังนั้น $v_{z}=0$

ต่อมานำสมการด้านบนมาเขียนแยกเป็นแต่ละแกน

จะได้ $m\frac{\mathrm{d} v_{x} }{\mathrm{d} t} = qv_{y}B$

และ $m\frac{\mathrm{d} v_{y} }{\mathrm{d} t} = q(E- v_{x}B)$

นำสมการแรก แทนลงในสมการที่สอง

$\frac{\mathrm{d}^{2} v_{x}} {\mathrm{d} t^{2}} = - \frac{(qB)^{2}}{m^{2}} (v_{x}-\frac{E}{B})$

ดังนั้น

$v_{x} = Asin(\frac{qB}{m}t+\theta)+\frac{E}{B}$

***วันนี้ดึกแล้ว เดียวมาพิมพ์ต่อนะครับ

จากเงื่อนไขตั้งต้น $v_{x}=0$ และ $a_{x}=qv_{y}(0)\times B=0$

เราได้ $v_{x}(t) = \frac{E}{B}(1-sin(\frac{qB}{m}+\frac{\pi}{2}) )$

ด้วยการผสมสมการในทำนองเดียวกัน เราได้

$\frac{\mathrm{d}^{2} v_{y}} {\mathrm{d} t^{2}} = - \frac{(qB)^{2}}{m^{2}} (v_{y})$

ดังนั้น $v_{y}=Csin(\frac{qB}{m}+\phi)$

จากเงื่อนไขตั้งต้น $v_{y}=0$ และ $a_{y}(0)=\frac{qE}{m}$

เราได้ $v_{y}=\frac{E}{B}sin(\frac{qB}{m}t)$

อินทิเกรตเทียบเวลา และใส่เงื่อนไขตั้งต้น $y(0)=0$ เราได้ $y(t)=\frac{Em}{qB^{2}}(1-cos(\frac{qB}{m}t))$

ตอบ ก.) $2\frac{mE}{qB^{2}}$

ตอบ ข.) $\frac{2\pi m}{qB}$

จาก $v_{x}(t) = \frac{E}{B}(1-sin(\frac{qB}{m}+\frac{\pi}{2}) )$

$<v_{x}> = \frac{E}{B}(1-0)$ ; เฉลี่ย sine กับเวลาเป็น 0

ตอบ ค.) $\frac{E}{B}$


« Last Edit: November 07, 2012, 09:12:00 PM by K.P. »	Logged

K.P.

neutrino

Offline

Posts: 96

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #12 on: November 07, 2012, 09:33:55 PM »

ข้อ1. แม่เหล็กไฟฟ้า

ก.) $\delta E_{x}=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{\delta q}{r^{2}} cos(\theta)$ เมื่อ $\theta$ เป็นมุมที่เส้นจากประจุทำกับเส้นแกน x ; $E_{y}=0$ ด้วยความสมมาตรของทรงกระบอก

แต่ $\delta q = \sigma 2 \pi R \delta \xi$ , $cos(\theta)=\frac{x-\xi}{r}$ และ $r^{2}=R^{2}+(x-\xi)^{2}$

ดังนั้น $E_{x} = \int_{-l}^{+l} \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{\sigma 2 \pi R }{(R^{2}+(x-\xi)^{2})^{3/2}}(x-\xi) d\xi$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{x-\xi}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}} d\xi$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{x-\xi}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}} \frac{d(R^2+(x-\xi)^{2}}{-2(x-\xi)}$

$E_{x} = -\frac{\sigma R}{4 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{1}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}}d(R^2+(x-\xi)^{2})$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(R^{2}+(x-\xi)^{2})^{1/2}}]_{-l}^{+l}$

ตอบ ก.) $E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(R^{2}+(x-l)^{2})^{1/2}}-\frac{1}{(R^{2}+(x+l)^{2})^{1/2}}]$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(1-\frac{2xl}{l^{2}+R^{2}})^{1/2}} -\frac{1}{(1+\frac{2xl}{(l^{2}+R^{2}})^{1/2}} ]\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [(1+\frac{xl}{l^{2}+R^{2}}) -(1-\frac{xl}{(l^{2}+R^{2}}) ]\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{ \epsilon}\frac{xl}{l^{2}+R^{2}}\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}$

ตอบ ข.) $E_{x} = \frac{\sigma R xl}{ \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}}$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{x(1-\frac{2l}{x})^{1/2}}-\frac{1}{x(1+\frac{2l}{x})^{1/2}}]$

$E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon x} [(1+\frac{l}{x}-(1-\frac{l}{x})]$

ตอบ ค.) $E_{x} = \frac{\sigma R l}{\epsilon x^{2}}$ ซึ่งถ้าเอา $4 \pi$ ไปคูณ $E_{x} = \frac{2 \pi R (2l) \sigma}{4 \pi \epsilon x^{2}}$

$E_{x} = \frac{q}{4 \pi \epsilon x^{2}}$ หรือ เสมือนเป็นประจุจุดนั่นเอง

เมื่อ $x \to 0$ นั่นคือ $x\ll R,l$

จึงใช้การประมาณจากข้อ ข.)

จาก $\vec F = m \vec a$

$-qE = m\frac{\mathrm{d^{2}}x }{\mathrm{d} t^{2}}$

$\frac{\mathrm{d^{2}}x }{\mathrm{d} t^{2}} =- \frac{\sigma R q l}{ m \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}} x$

$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\sigma R q l}{ m \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}}}$


« Last Edit: November 07, 2012, 11:25:48 PM by K.P. »	Logged

neutrino

Offline

Posts: 384

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #13 on: November 07, 2012, 10:47:09 PM »

คลื่นข้อ 2 นะครับ

2.1) จากโจทย์จะได้ว่า แอมพลิจูดของคลื่นสามเหลี่ยมนี้ (ระยะจากแนวกลางไปยังยอดของมัน) คือ $u \tau$ และความยาวฐานสามเหลี่ยมคือ $2v \tau$ (เราสะบัดเพื่อสร้างสามเหลี่ยมนาน $2\tau$ )

พิจารณาว่าทุกส่วนของเชือกสามเหลี่ยมกำลังมีอัตราเร็วในแนวดิ่ง $u$ เท่ากันหมด ( ตอนสอบผมไปใช้ $v$ buck2

) และเชือกสามเหลี่ยมยาว $2v\tau$ ดังนั้นมันมีมวล $2\mu v \tau$

เราจึงได้ว่าพลังงานจลน์ของคลื่นสามเหลี่ยมนี้คือ $K &=& \dfrac{1}{2}(2\mu v \tau)(u^2) &=&\mu u^2 v \tau$

ส่วนการหาพลังงานศักย์นั้น เรามองว่า เชือกส่วนเล็กๆที่เดิมยาว $dx$ ถูกแรงตึงเชือก $T$ ยืดออกให้ยาว $dl \approx dx + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial y}{\partial x } \right)^2 dx$

ดังนั้นพลังงานศักย์ที่สะสมในส่วนน้อยๆนี้ $dU &=& T ( dl - dx ) &=& \dfrac{1}{2} T \left( \dfrac{\partial y}{\partial x } \right)^2 dx &=& \dfrac{1}{2} T \dfrac{u^2}{v^2} dx$

จึงได้ $U &=& \dfrac{Tu^2}{2v^2} \displaystyle \int_{x=0}^{x=2v \tau} dx &=& \dfrac{Tu^2 \tau}{v}$ เป็นพลังงานศักย์ของเชือกส่วนนี้

2.2) ข้อนี้ตอนสอบ ผมใช้ว่า จากทฤษฎีงาน-พลังงาน เราสรุปได้ว่า

งานจากแรงลัพธ์ = พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไป จากนั้น ถ้ามองว่า งานจากแรงลัพธ์ มาจาก งานจากแรงที่เราสะบัด รวมกับ งานของแรงตึงเชือกที่ยืดเชือก ( ทำให้เกิดพลังงานศักย์ )

ก็จะได้ว่า $W_{other} + W_{tension} &=& W_{other} - \Delta U &=& \Delta K$ จึงสรุปได้ว่า $W_{other} &=& \Delta ( U + K)$

ซึ่งถ้าเริ่มจาก $K &=& U &=& 0$ ก็จะได้ว่า งานจากแรงที่สะบัด เท่ากับ พลังงานกลของคลื่นนั่นเอง coolsmiley

หรืออาจจะทำตรงๆได้ดังนี้ พิจารณาขณะใดๆที่เราดึงปลายเชือกขึ้นไปทำมุม $\theta$ น้อยๆ ( น้อยเพราะ $u \ll v$ ) กับแนวราบ ปลายนี้จะสูง $udt$ จากแนวราบ และเชือกจะไปในแนวระดับได้ทาง $vdt$

จึงได้ว่า $F &=& T \sin \theta \approx T\dfrac{u}{v}$ ( แรงลัพธ์ที่ปลายเป็น 0 เพราะปลายมีมวลน้อยมาก )

และได้งานของแรงดึงเป็น $dW &=& \dfrac{Tu}{v} dy &=& \dfrac{Tu^2}{v} dt$

$W &=& \dfrac{Tu^2}{v} \displaystyle \int_{0}^{2 \tau } dt &=& \dfrac{2Tu^2\tau}{v}$

พลังงานกลของเชือกคือ $E &=& K &+& U &=& \mu u^2 v \tau + \dfrac{Tu^2 \tau}{v} &=& \dfrac{2Tu^2 \tau}{v}$ โดยอาศัยความรู้ที่ว่า $v &=& \sqrt{ \dfrac{T}{\mu}}$

เห็นได้ว่า $W &=& E$ หรืองานที่เราทำในการสะบัดเชือกเท่ากับพลังงานกลของเชือกนั่นเอง coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ smitten


« Last Edit: November 18, 2012, 08:37:26 AM by dy »	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

saris2538

neutrino

Offline

Posts: 96

Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56

« Reply #14 on: November 07, 2012, 11:15:18 PM »

ทีธคุง (คุณ dy Grin

) เวลาเราคิดมวลเชือก เราเอา $\mu$ คูณด้วย ความยาวเชือก "ตอนยังไม่ยืด" ไม่ใช่หรอครับ เพราะเชือกตอนยังไม่ยืด โจทย์กำหนดให้ว่ามีความหนาแน่นมวลเชิงเส้นคงที่เป็น $\mu$ แต่เชือกตอนยืดแล้วเราไม่รู้ความหนาแน่นมวลเชิงเส้นนะ


	Logged

Pages: 1 2 » Go Up

« previous next »