ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

40704 Posts in 6002 Topics- by 5789 Members - Latest Member: cas.moodang-tvfxq
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56  (Read 15680 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« on: November 03, 2012, 10:31:14 PM »

 Smiley 2funny reading bang head embarassed laugh


* 01.jpg (272.57 KB, 800x1100 - viewed 2561 times.)

* 01 001.jpg (268.68 KB, 800x1100 - viewed 2532 times.)

* 01 002.jpg (160.64 KB, 800x1100 - viewed 2528 times.)

* 01 003.jpg (177.73 KB, 800x1100 - viewed 2559 times.)

* 01 004.jpg (228.85 KB, 800x1100 - viewed 2546 times.)

* 01 005.jpg (220.45 KB, 800x1100 - viewed 2501 times.)

* 01 006.jpg (246.2 KB, 800x1100 - viewed 2492 times.)
« Last Edit: November 03, 2012, 11:03:37 PM by saris2538 » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 383


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #1 on: November 03, 2012, 11:14:30 PM »

Smiley 2funny reading bang head embarassed laugh

เอาข้อสอบแล็ปลงด้วยสิครับ  coolsmiley

ป.ล. ครั้งนี้สะเพร่าไปพอสมควรเลย ต้องลุ้นต่อไป  buck2  smitten
Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
Wanted
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 144



« Reply #2 on: November 03, 2012, 11:50:43 PM »

ข้อCrookes radiometer อาจารย์เปิดคลิปให้ดูในห้อง(ตามลิงก์ครับ(คลิปนี้เลยหละ55ที่อ.เปิด) http://www.youtube.com/watch?v=cey-JBeHrww )  แล้วก็เอามาออกข้อสอบเลย buck2
Logged

ทุกครั้งที่เจอปัญหา อย่ายอมแพ้ เพราะถ้าเรายอมแพ้ เกมจะจบลงทันที แต่หากเราไม่ยอมแพ้ เกมยังดำเนินต่อไป
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 383


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #3 on: November 04, 2012, 06:57:09 PM »

ขอลองทำส่วนของ อ.สิรพัฒน์ ก่อนเลยนะครับ

1) กระบวนการแรก ปริมาตรคงที่ รับความร้อน Q จากนิยามของ c_v จะได้ว่า

Q = nc_v \Delta T &=& \dfrac{P_0 V_0}{ \gamma - 1 } ( \dfrac{T_1}{T_0} - 1 )

จะได้ว่า T_1 &=& T_0 \left ( 1 &+& \dfrac{Q( \gamma - 1)}{P_0 V_0 } \right )

จากปริมาตรคงตัว ได้ว่า \dfrac{P_0}{T_0} &=& \dfrac{P_1}{T_1}  ได้ว่า P_1 &=& P_0 + \dfrac{Q( \gamma - 1)}{V_0} และ V_1 &=& V_0

โดย Q_1 &=& Q

2) กระบวนการที่สอง อุณหภูมิคงตัว จึงได้ว่า P_1V_1 &=& P_2 V_2

ดังนั้น P_2 &=& \dfrac{P_1V_0}{\alpha V_0} &=& \dfrac{P_0}{\alpha} + \dfrac{Q( \gamma - 1)}{\alpha V_0}

T_2 &=& T_1 &=& T_0 \left ( 1 &+& \dfrac{Q( \gamma - 1)}{P_0 V_0 } \right )  และ V_2 &=& \alpha V_0

โดย Q_2 &=& P_1 V_1 \ln ( \alpha ) &=& \left ( P_0 V_0 + Q( \gamma - 1 ) \right ) \ln \alpha

3) กระบวนการที่สาม ปริมาตรคงตัว โดยผมมองว่า ก๊าซจะถ่ายเทความร้อนไปเรื่อยๆ จนกว่าอุณหภูมิจะเท่ากับลูกสูบเย็น คือ T_0

ดังนั้น  \dfrac{P_2}{T_2} &=& \dfrac{P_3}{T_3} จะได้ว่า P_3 &=& \dfrac{P_0}{\alpha}

V_3 &=& V_2 &=& \alpha V_0 และ T_3 &=& T_0

โดย Q_3 &=& nc_V ( T_0 - T_2 ) &=& -Q

4) กระบวนการที่สี่ อุณหภูมิคงตัว กลับไปที่สถานะเดิม ดังนั้น T_4 &=& T_0 V_4 &=& V_0 และ P_4 &=& P_0

โดย Q_4 &=& P_4V_4 \ln(1/\alpha) &=& - P_0 V_0 \ln ( \alpha)

สังเกตว่ากระบวนการที่ 1 และ 2 ความร้อนเข้าสู่ระบบ จะได้ว่า Q_{in} &=& Q_1 + Q_2 &=& Q &+& \left ( P_0 V_0 + Q( \gamma - 1 ) \right ) \ln \alpha

สังเกตว่ากระบวนการที่ 3 และ 4 ความร้อนออกจากระบบ จะได้ว่า Q_{out} &=& Q_3 + Q_4 &=& - ( Q + P_0 V_0 \ln ( \alpha) )

ดังนั้นประสิทธิภาพของเครื่องยนต์นี้คือ \eta &=& \dfrac{W}{Q_{in} } &=& 1 - \left| \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}} \right| &=&  \dfrac{Q( \gamma - 1) \ln \alpha }{ Q + P_0 V_0 \ln \alpha + Q( \gamma - 1) \ln \alpha } &=& 1 - \dfrac{1}{1+ \frac{ (\gamma - 1)Q \ln \alpha}{Q + P_0 V_0 \ln \alpha } } .................... ตอบข้อย่อยที่ 2


มาถึงข้อย่อยที่ 3 นะครับ

เรามองว่า ตัวเลข 100 \; \mbox{mW} นี่เป็นกำลังต่อ 1 \; \mbox{m^2} ครับ ให้ค่านี้แทนด้วย I จะได้ว่า ความดันที่ทำต่อแผ่นคือ P &=& \dfrac{I}{c} (ความดันจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า)  ให้ลำแสงมีรัศมี R ก็จะได้ว่า แรงที่แสงทำต่อแผ่นคือ \dfrac{I \pi R^2}{c}

ตามโจทย์ให้พิจารณาเป็นมวลจุด สมมติให้แต่ละแผ่นมีมวล m อยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะเท่ากับ d ก็จะได้สมการทอร์กรอบแกนหมุนเป็น

\displaystyle \sum_{ }\vec{\tau} &=& I \vec{\alpha}

\dfrac{I \pi R^2 d}{c} &=& (4md^2) \dfrac{ d\omega}{dt}

โดยแผ่นเริ่มหมุนจากหยุดนิ่งจึงได้ \omega &=& \dfrac{I \pi R^2 t}{4mdc} ดังนั้นจำนวนรอบต่อวินาทีหรือความถี่จึงมีค่าเป็น f &=& \dfrac{I \pi R^2 t}{8\pi mdc}

แทนค่าเป็นตัวเลข I &=& 100\times 10^{-3} \; \mbox{W/m^2}

m &=& 0.01 \; \mbox{kg}

d &=& 0.02 \; \mbox{m}

R &=& 0.001 \; \mbox{m}

t &=& 60 \; \mbox{s}

c &=& 3.00 \times 10^{8} \; \mbox{m/s}

จะได้ว่า f &=& 1.25 \times 10^{-11} \; \mbox{Hz} หรือ 1.25 \times 10^{-11} รอบต่อวินาที ซึ่งน้อยมาก  idiot2 ....... ตอบข้อย่อยที่ 3

มาถึงข้อย่อยที่ 4 ครับ ผมคิดว่า จากสมการความดันในข้อย่อยที่แล้ว เห็นได้ว่า ถ้าผิวด้านไหนได้รับความเข้มมากกว่า ก็จะมีความดันมาทำต่อฝั่งนั้นมากกว่า จึงมีแรงดันมากกว่าอีกฝั่ง เราเห็นได้ว่า ฝั่งสีดำสามารถดูดกลืนความเข้มได้มากกว่าสีขาว จึงมีความดันทำต่อด้านสีดำมากกว่าสีขาว ส่งผลให้ได้รับแรงดันมากกว่า ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า แผ่นจะหมุนไปในทิศที่เรายิงแสงเข้าใส่แผ่นสีดำ .............................. ตอบข้อย่อยที่ 4

แก้ไขนะครับ ไม่น่าพลาดเลย โดยในข้อย่อยนี้นั้น เราใช้กลศาสตร์คลาสสิกวิเคราะห์ว่า ฝั่งสีดำนั้น แสงที่ยิงเข้าไปจะถูกดูดกลืนไว้ทั้งหมดโดยไม่สะท้อนออกมาเลย ส่วนสีขาวจะสะท้อนออกมาอย่างเต็มที่ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจึงเกิดที่ฝั่งด้านสีขาวมากกว่า จึงสรุปได้ว่า ด้านสีขาวนั้นถูกแรงกระทำมากกว่าด้านสีดำ ดังนั้นแผ่นจะหมุนไปในด้านที่ยิงแสงเข้าใส่แผ่นสีขาว ................................ ตอบข้อย่อยที่ 4

สำหรับข้อย่อยที่ 5 ครับ ผมมองว่า ถ้าเปรียบเทียบเครื่องจักร Stirling เป็นแผ่นแล้ว ความร้อนที่เข้าสู่ระบบทั้งหมดก็คือ ความร้อนจากเลเซอร์นั่นเอง ตรงนี้จะเทียบได้กับตอนผ่านกระบวนการรับความร้อนแบบปริมาตรคงที่ และกระบวนการรับความร้อนแล้วขยายตัวตอน isothermal จากนั้น กระบวนการต่อไปคือการแผ่ความร้อนไปยังบริเวณรอบๆที่เย็นกว่าของแผ่น รวมถึงด้านสีขาวที่ได้รับความร้อนน้อยกว่าด้วย ระหว่างกระบวนการนี้ เรามองได้ว่า งานที่ได้จากวัฎจักรก็คือ งานในการเพิ่มพลังงานจลน์ของการหมุนของแผ่นนั่นเอง จากนั้นแผ่นก็จะเริ่มคายความร้อน ( เทียบได้กับ ตอนคายความร้อนแบบปริมาตรคงที่ และแบบ isothermal ไปสถานะเดิม ) ออกไป โดยงานสุทธิที่ได้จากการให้ความร้อนทั้งหมดนี้ ก็คือพลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของแผ่นนั่นเอง โดยถ้าใช้มุมมองด้านอุณหพลศาสตร์มาอธิบาย เราจะเห็นได้ว่า ในช่วงแรกของการยิงนั้น อุณหภูมิของแผ่นด้านสีดำสูงกว่าแผ่นด้านสีขาว ดังนั้นจากสมการ PV = nRT จะพอกล่าวได้ว่า แผ่นด้านสีดำมีแรงดันกระทำมากกว่าด้านสีขาว ดังนั้นแผ่นจะหมุนไปในทิศที่เรายิงแสงเข้าใส่แผ่นสีดำ  ...... ตอบข้อย่อยที่ 5

จากผลในข้อย่อยที่ 2 เราได้ว่างาน W &=& Q( \gamma - 1) \ln \alpha &=& ( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha

จากทฤษฎีงาน-พลังงาน เราได้ว่า W &=& \dfrac{1}{2} I \omega^2 &=& 2md^2 \omega^2 &=& ( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha

จึงได้ว่า \omega &=& \sqrt{ \dfrac{( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha}{2md^2 }}  ดังนั้นความถี่หรือจำนวนรอบต่อวินาทีจึงเป็น f &=& \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{ \dfrac{( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha}{2md^2 }}

แทนค่าเป็นตัวเลข  I &=& 100\times 10^{-3} \; \mbox{W/m^2}

m &=& 0.01 \; \mbox{kg}

d &=& 0.02 \; \mbox{m}

R &=& 0.001 \; \mbox{m}

t &=& 60 \; \mbox{s}

\gamma \approx 1.5

\alpha &=& 2

จะได้ว่า f \approx 0.14 \; \mbox{Hz} หรือประมาณ 0.14 รอบต่อวินาที ........................... ตอบข้อย่อยที่ 5

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
« Last Edit: January 25, 2013, 05:28:34 PM by dy » Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
Wanted
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 144



« Reply #4 on: November 04, 2012, 08:37:24 PM »

Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X   \Sigma F=ma

F\cos \alpha -f = ma

f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)

คิดทอร์กรอบจุดCM.

\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}

 fR-Fr = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha
(ทอร์กจากแรงเสียดทานต้องมากกว่าทอร์กของแรงF เพราะ เมื่อวัตถุเกิดการกลิ้งแบบไม่ไถลไปด้านหน้า \omega จะอยู่ในทิศตามเข็มนาฬิกา)

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า  \alpha =\frac{a}{R}

 fR-Fr = \frac{maR}{2}  \ldots (2)

เอา(1)แทนใน(2)

ได้  a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR}    \underline{Ans}

« Last Edit: November 05, 2012, 07:27:11 PM by Wanted » Logged

ทุกครั้งที่เจอปัญหา อย่ายอมแพ้ เพราะถ้าเรายอมแพ้ เกมจะจบลงทันที แต่หากเราไม่ยอมแพ้ เกมยังดำเนินต่อไป
It is GOL
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 337


« Reply #5 on: November 04, 2012, 09:10:05 PM »

เงื่อนไขการกลิ้งไม่ไถล พี่นิยามทิศอย่างไรเหรอครับ ผมว่ามันน่าจะเป็น a=-\alpha R มากกว่านะ  Huh

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง
Logged

It is GOL coming !!! ผมจะเอาชนะความไม่รู้ให้ได้!!
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 383


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #6 on: November 04, 2012, 10:59:31 PM »

Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X   \Sigma F=ma

F\cos \alpha -f = ma

f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)

คิดทอร์กรอบจุดCM.

\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}

Fr- fR = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า  \alpha =\frac{a}{R}

Fr-fR = \frac{maR}{2}  \ldots (2)

เอา(1)แทนใน(2)

ได้  a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{mR}    \underline{Ans}



อย่าลืมว่า ทิศทางของทอร์กจากแรงเสียดทานมันไปทางเดียวกับทิศการหมุนของวัตถุนะครับ ดังนั้นสมการทอร์ก เครื่องหมายสลับกัน คำตอบควรเป็น a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR}    \underline{Ans} แบบที่น้องทำได้ในห้องสอบ  coolsmiley

เงื่อนไขการกลิ้งไม่ไถล พี่นิยามทิศอย่างไรเหรอครับ ผมว่ามันน่าจะเป็น a=-\alpha R มากกว่านะ  Huh

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง

ตามนั้นเลยครับ  Grin
Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
Wanted
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 144



« Reply #7 on: November 05, 2012, 07:30:55 PM »

Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X   \Sigma F=ma

F\cos \alpha -f = ma

f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)

คิดทอร์กรอบจุดCM.

\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}

Fr- fR = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า  \alpha =\frac{a}{R}

Fr-fR = \frac{maR}{2}  \ldots (2)

เอา(1)แทนใน(2)

ได้  a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{mR}    \underline{Ans}



อย่าลืมว่า ทิศทางของทอร์กจากแรงเสียดทานมันไปทางเดียวกับทิศการหมุนของวัตถุนะครับ ดังนั้นสมการทอร์ก เครื่องหมายสลับกัน คำตอบควรเป็น a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR}    \underline{Ans} แบบที่น้องทำได้ในห้องสอบ  coolsmiley

เงื่อนไขการกลิ้งไม่ไถล พี่นิยามทิศอย่างไรเหรอครับ ผมว่ามันน่าจะเป็น a=-\alpha R มากกว่านะ  Huh

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง

ตามนั้นเลยครับ  Grin
ขอบคุณพี่dy และน้องIt is Gol มากครับ smitten ที่ช่วยเช็ค   (ทำเองงงเอง55 buck2)
ปล.งั้นในห้องสอบผมก็ทำถูกแล้วสิครับ เย่เย่ Grin
Logged

ทุกครั้งที่เจอปัญหา อย่ายอมแพ้ เพราะถ้าเรายอมแพ้ เกมจะจบลงทันที แต่หากเราไม่ยอมแพ้ เกมยังดำเนินต่อไป
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« Reply #8 on: November 06, 2012, 07:59:34 PM »

ข้อ 1 อ.ขวัญ Grin

แรดสุดมีคลื่นลูกเดียวที่ออกจากเครื่องเคาะ ต่อมาคลื่นดังกล่าวสะท้อนกำแพง ตอนนี้มีคลื่นสองขบวน ต่อมาคลื่นอันที่สองสะท้อนปลายด้านใกล้เครื่องเคาะ ตอนนี้มีคลื่นสามขบวน ไปเรื่อยๆ จะมีคลื่นจำนวนหลายขบวนมาก แต่เราสามารถมองได้ว่า คลื่น"ขาไป"ทุกขบวนรวมกันเป็นคลื่นไซน์ 1 ขบวน และ คลื่น"ขากลับ" ทุกขบวนรวมกันเป็นคลื่นไซน์ 1 ขบวนได้ เพราะคลื่นย่อยแต่ละลูกเป็นคลื่นไซน์ บวกกันก็เป็นไซน์อยู่ดี

ให้ \displaystyle y_1=Ae^{i(\omega t-kx)} เป็นฟังก์ชันคลื่นรวมของคลื่นขาไป โดยที่ \displaystyle A,B อาจจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้

\displaystyle y_2=Be^{i(\omega t+kx)} เป็นฟังก์ชันคลื่นรวมของคลื่นขากลับ

\displaystyle y(x,t) คือผลบวกของคลื่นสองขบวนนี้: \displaystyle y(x,t)=y_1+y_2


<<ใช้วิธีพี่ K.P. เป็นวิธีที่ดูดีกว่า! Wink>>
เงื่อนไขคือ \displaystyle y(x,t) ที่ \displaystyle x=L ต้องเป็น 0 (เพราะมันเป็นปลายตรึง) ดังนั้น

\displaystyle 0=Ae^{i(\omega t-kL)}+Be^{i(\omega t+kL)}

ได้ \displaystyle B=-Ae^{-2ikL}

\displaystyle \therefore y_2=Ae^{i(\omega t+k(x-2L)-\pi)}

ต่อไปเป็นคณิตศาสตร์แสนสนุก  2funny

\displaystyle e^{ia}+e^{ib} = \cos a+i \sin a + \cos b +i \sin b

\displaystyle =(\cos a + \cos b) + i(\sin a + \sin b)



ใช้สูตร \displaystyle a+bi=\sqrt{a^2+b^2} e^{i \arctan\frac{b}{a}}

\displaystyle =\sqrt{(\cos a + \cos b)^2+(\sin a + \sin b)^2} e^{i \arctan\frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}}

\displaystyle =\sqrt{1+1+2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)} e^{i \arctan\frac{2 \sin\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}{2 \cos\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}}

\displaystyle =\sqrt{4\times\frac{1}{2}(1+\cos2\frac{a-b}{2})} e^{i\frac{a+b}{2}}

\displaystyle =2\cos \frac{a-b}{2} e^{i\frac{a+b}{2}}



ดังนั้น y_1+y_2 = Ae^{i \omega t}\left[ e^{i(k(x-2L)-\pi)} + e^{i(-kx)} \right]

= Ae^{i \omega t}\left[ 2\cos\left( k(x-L) - \frac{\pi}{2} \right) e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}\right]

\therefore y(x,t) = 2Ae^{i \omega t}\sin \left( k(x-L) \right)  e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}---> (*)



ความสัมพันธ์ระหว่างแรงขับ และ ความชันเชือก ณ จุดที่แรงขับทำคือ \displaystyle Fe^{i \omega t} = -T\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_{x=0}

\displaystyle Fe^{i \omega t} = -T2Ae^{i \omega t}k\cos \left(-kL \right)  e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}

\displaystyle \therefore 2Ae^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)} = \frac{-F}{Tk \cos kL}



แทนในสมการ (*) จะได้
\displaystyle y(x,t) = \frac{-F}{Tk \cos kL} \sin \left( k(x-L) \right) e^{i \omega t}

\displaystyle \therefore y(x,t) = \frac{F}{Tk} \frac{\sin \left( k(L-x) \right)}{\cos kL} e^{i \omega t}

จบการพิสูจน์  Smiley
« Last Edit: December 05, 2012, 10:13:27 PM by saris2538 » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 383


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #9 on: November 06, 2012, 09:47:49 PM »

วิชา แม่เหล็กไฟฟ้า ข้อ 3 นะครับ

เราสามารถเขียนสมการที่บรรยายผิวโค้งนี้เป็น \phi &=& 0 &=& y - x^2

เราสังเกตว่า \vec{N_1} และ \vec{N_2} ก็คือ GRADIENT ( เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับผิวโค้ง ) ของผิวนี้ที่ตำแหน่ง x และ -x ตามลำดับ

ดังนั้นเราได้ว่า \vec{N_1} &=& \frac{\partial \phi}{\partial x } \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y } \hat{j} ที่ x &=& x

และ \vec{N_2} &=& \frac{\partial \phi}{\partial x } \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y } \hat{j} ที่ x &=& -x

จึงได้ว่า \vec{N_1} &=& 1\hat{j} - 2x \hat{i} และ \vec{N_2} &=& 1\hat{j} + 2x \hat{i}

ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน จะได้ว่า dot product ของมันเป็นศูนย์

\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} &=& 0

ได้ 1 - 4x^2 &=& 0

ดังนั้น x &=& \pm \dfrac{1}{2}   coolsmiley

ป.ล. ตอนสอบผมเขียนเวกเตอร์ \hat{i} กับ \hat{j} สลับที่กัน แม้คำตอบออกมาถูกอยู่ดี แต่ไม่รู้จะโดนแค่ไหน  buck2  Grin
Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
K.P.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96



« Reply #10 on: November 06, 2012, 10:21:58 PM »

ขอบคุณมากครับคุณ saris2538 สำหรับวิธีทำข้อ1. ผมหายงงวิธีคิดเฟสแล้ว Smiley

ผมขอเสนอเพิ่มเติมวิธีแก้ข้อ1.วิชาคลื่นนะครับ

คือ เราสามารถเขียนคลื่น y = y1+y2 = Ae^i(wt-kx) + Be^(wt+kx)

ได้เลย และไม่ต้องสนใจเฟส เพียงแต่ต้องใส่เงื่อนไขตั้งต้นให้ถูกต้อง

เพราะเฟสรวมอยู่ใน A,B เรียบร้อยแล้ว นี่เป็นข้อดีของการเขียนฟังก์ชั่นคลื่นด้วยจำนวนเชิงซ้อน

เช่น ถ้าคลื่นมันกลับเฟส -Ae^(wt-kx) = Ae^(pi) * e^(wt-kx) = Ae^(wt-kx+pi) ; -1 = e^(pi)

จะเห็นว่าเราติดไว้ในรูปค่าคงที่ได้เลย

ซึ่งในอนาคต ถ้าโจทย์ต้องการถามเฟส เราก็สามารถเปลี่ยนจำนวนเชิงซ้อนกลับมาเป็นเฟสได้
« Last Edit: November 06, 2012, 10:24:21 PM by K.P. » Logged
K.P.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96



« Reply #11 on: November 06, 2012, 10:49:20 PM »

แม่เหล็กไฟฟ้าข้อ2.

จาก \vec{F} = m\vec{a}

q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B)} = m\vec{a}

q\left(E\hat{j}+ \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j}  & \hat{k} \\ v_{x} &v_{y} & v_{z}\\ 0& 0 & B\end{vmatrix}\right) = m\vec{a}

q(E\hat{j}+v_{y}B\hat{i}-v_{x}B\hat{j})=m(a_{x}\hat{i}+a_{y}\hat{j}+a_{z}\hat{k})

จะเห็นว่า ไม่มีแรงองค์ประกอบในแนวแกน Z ดังนั้น v_{z} คงที่ ซึ่งแต่เดิมเป็นศูนย์อยู่แล้ว ดังนั้น v_{z}=0

ต่อมานำสมการด้านบนมาเขียนแยกเป็นแต่ละแกน

จะได้  m\frac{\mathrm{d} v_{x} }{\mathrm{d} t} = qv_{y}B

และ  m\frac{\mathrm{d} v_{y} }{\mathrm{d} t} = q(E- v_{x}B)

นำสมการแรก แทนลงในสมการที่สอง

\frac{\mathrm{d}^{2} v_{x}} {\mathrm{d} t^{2}} = - \frac{(qB)^{2}}{m^{2}} (v_{x}-\frac{E}{B})

ดังนั้น

v_{x} = Asin(\frac{qB}{m}t+\theta)+\frac{E}{B}

***วันนี้ดึกแล้ว เดียวมาพิมพ์ต่อนะครับ  Smiley

จากเงื่อนไขตั้งต้น v_{x}=0 และ a_{x}=qv_{y}(0)\times B=0

เราได้ v_{x}(t) = \frac{E}{B}(1-sin(\frac{qB}{m}+\frac{\pi}{2}) )

ด้วยการผสมสมการในทำนองเดียวกัน เราได้

\frac{\mathrm{d}^{2} v_{y}} {\mathrm{d} t^{2}} = - \frac{(qB)^{2}}{m^{2}} (v_{y})

ดังนั้น v_{y}=Csin(\frac{qB}{m}+\phi)

จากเงื่อนไขตั้งต้น v_{y}=0 และ a_{y}(0)=\frac{qE}{m}

เราได้ v_{y}=\frac{E}{B}sin(\frac{qB}{m}t)

อินทิเกรตเทียบเวลา และใส่เงื่อนไขตั้งต้นy(0)=0 เราได้ y(t)=\frac{Em}{qB^{2}}(1-cos(\frac{qB}{m}t))


ตอบ ก.) 2\frac{mE}{qB^{2}}

ตอบ ข.) \frac{2\pi m}{qB}

จาก v_{x}(t) = \frac{E}{B}(1-sin(\frac{qB}{m}+\frac{\pi}{2}) )

&lt;v_{x}&gt; = \frac{E}{B}(1-0) ; เฉลี่ย sine กับเวลาเป็น 0

ตอบ ค.)  \frac{E}{B}
« Last Edit: November 07, 2012, 09:12:00 PM by K.P. » Logged
K.P.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96



« Reply #12 on: November 07, 2012, 09:33:55 PM »

ข้อ1. แม่เหล็กไฟฟ้า  Smiley

ก.) \delta E_{x}=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{\delta q}{r^{2}} cos(\theta) เมื่อ \theta เป็นมุมที่เส้นจากประจุทำกับเส้นแกน x ; E_{y}=0 ด้วยความสมมาตรของทรงกระบอก

แต่  \delta q = \sigma 2 \pi R \delta \xi  ,  cos(\theta)=\frac{x-\xi}{r} และ r^{2}=R^{2}+(x-\xi)^{2}

ดังนั้น  E_{x} = \int_{-l}^{+l} \frac{1}{4 \pi \epsilon}  \frac{\sigma 2 \pi R }{(R^{2}+(x-\xi)^{2})^{3/2}}(x-\xi) d\xi

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{x-\xi}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}} d\xi

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{x-\xi}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}} \frac{d(R^2+(x-\xi)^{2}}{-2(x-\xi)}

 E_{x} = -\frac{\sigma R}{4 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{1}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}}d(R^2+(x-\xi)^{2})

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(R^{2}+(x-\xi)^{2})^{1/2}}]_{-l}^{+l}

ตอบ ก.)  E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(R^{2}+(x-l)^{2})^{1/2}}-\frac{1}{(R^{2}+(x+l)^{2})^{1/2}}]

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(1-\frac{2xl}{l^{2}+R^{2}})^{1/2}} -\frac{1}{(1+\frac{2xl}{(l^{2}+R^{2}})^{1/2}} ]\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [(1+\frac{xl}{l^{2}+R^{2}}) -(1-\frac{xl}{(l^{2}+R^{2}}) ]\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}

 E_{x} = \frac{\sigma R}{ \epsilon}\frac{xl}{l^{2}+R^{2}}\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}

ตอบ ข.)    E_{x} = \frac{\sigma R xl}{ \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}}

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{x(1-\frac{2l}{x})^{1/2}}-\frac{1}{x(1+\frac{2l}{x})^{1/2}}]

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon x} [(1+\frac{l}{x}-(1-\frac{l}{x})]

ตอบ ค.)   E_{x} = \frac{\sigma R l}{\epsilon x^{2}} ซึ่งถ้าเอา 4 \pi ไปคูณ  E_{x} = \frac{2 \pi R (2l) \sigma}{4 \pi \epsilon x^{2}}

 E_{x} = \frac{q}{4 \pi \epsilon x^{2}} หรือ เสมือนเป็นประจุจุดนั่นเอง

เมื่อ x \to 0  นั่นคือ x\ll R,l

จึงใช้การประมาณจากข้อ ข.)

จาก \vec F = m \vec a

-qE = m\frac{\mathrm{d^{2}}x }{\mathrm{d} t^{2}}

\frac{\mathrm{d^{2}}x }{\mathrm{d} t^{2}} =- \frac{\sigma R q l}{ m \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}} x

 f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\sigma R q l}{ m \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}}}
« Last Edit: November 07, 2012, 11:25:48 PM by K.P. » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 383


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #13 on: November 07, 2012, 10:47:09 PM »

คลื่นข้อ 2 นะครับ

2.1) จากโจทย์จะได้ว่า แอมพลิจูดของคลื่นสามเหลี่ยมนี้ (ระยะจากแนวกลางไปยังยอดของมัน) คือ u \tau และความยาวฐานสามเหลี่ยมคือ 2v \tau (เราสะบัดเพื่อสร้างสามเหลี่ยมนาน 2\tau )

พิจารณาว่าทุกส่วนของเชือกสามเหลี่ยมกำลังมีอัตราเร็วในแนวดิ่ง u เท่ากันหมด  ( ตอนสอบผมไปใช้ v  buck2 ) และเชือกสามเหลี่ยมยาว 2v\tau ดังนั้นมันมีมวล 2\mu v \tau

เราจึงได้ว่าพลังงานจลน์ของคลื่นสามเหลี่ยมนี้คือ  K &=& \dfrac{1}{2}(2\mu v \tau)(u^2) &=&\mu u^2 v \tau

ส่วนการหาพลังงานศักย์นั้น เรามองว่า เชือกส่วนเล็กๆที่เดิมยาว dx ถูกแรงตึงเชือก T ยืดออกให้ยาว dl \approx dx + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial y}{\partial x } \right)^2 dx

ดังนั้นพลังงานศักย์ที่สะสมในส่วนน้อยๆนี้   dU &=& T ( dl - dx ) &=& \dfrac{1}{2} T \left( \dfrac{\partial y}{\partial x } \right)^2 dx &=& \dfrac{1}{2} T \dfrac{u^2}{v^2} dx

จึงได้  U &=& \dfrac{Tu^2}{2v^2} \displaystyle \int_{x=0}^{x=2v \tau} dx &=& \dfrac{Tu^2 \tau}{v} เป็นพลังงานศักย์ของเชือกส่วนนี้

2.2) ข้อนี้ตอนสอบ ผมใช้ว่า จากทฤษฎีงาน-พลังงาน เราสรุปได้ว่า

งานจากแรงลัพธ์ = พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไป  จากนั้น ถ้ามองว่า งานจากแรงลัพธ์ มาจาก งานจากแรงที่เราสะบัด รวมกับ งานของแรงตึงเชือกที่ยืดเชือก ( ทำให้เกิดพลังงานศักย์ )

ก็จะได้ว่า W_{other} + W_{tension} &=& W_{other} - \Delta U &=& \Delta K จึงสรุปได้ว่า W_{other} &=& \Delta ( U + K)

ซึ่งถ้าเริ่มจาก K &=& U &=& 0 ก็จะได้ว่า งานจากแรงที่สะบัด เท่ากับ พลังงานกลของคลื่นนั่นเอง  coolsmiley

หรืออาจจะทำตรงๆได้ดังนี้ พิจารณาขณะใดๆที่เราดึงปลายเชือกขึ้นไปทำมุม \theta น้อยๆ ( น้อยเพราะ u \ll v ) กับแนวราบ ปลายนี้จะสูง udt จากแนวราบ และเชือกจะไปในแนวระดับได้ทาง vdt

จึงได้ว่า F &=& T \sin \theta \approx T\dfrac{u}{v} ( แรงลัพธ์ที่ปลายเป็น 0 เพราะปลายมีมวลน้อยมาก )

และได้งานของแรงดึงเป็น dW &=& \dfrac{Tu}{v} dy &=& \dfrac{Tu^2}{v} dt

W &=& \dfrac{Tu^2}{v} \displaystyle \int_{0}^{2 \tau } dt &=& \dfrac{2Tu^2\tau}{v}

พลังงานกลของเชือกคือ E &=& K &+& U &=& \mu u^2 v \tau + \dfrac{Tu^2 \tau}{v} &=& \dfrac{2Tu^2 \tau}{v} โดยอาศัยความรู้ที่ว่า v &=& \sqrt{ \dfrac{T}{\mu}}

เห็นได้ว่า W &=& E หรืองานที่เราทำในการสะบัดเชือกเท่ากับพลังงานกลของเชือกนั่นเอง  coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
« Last Edit: November 18, 2012, 08:37:26 AM by dy » Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« Reply #14 on: November 07, 2012, 11:15:18 PM »

ทีธคุง (คุณ dy Grin) เวลาเราคิดมวลเชือก เราเอา \mu คูณด้วย ความยาวเชือก "ตอนยังไม่ยืด" ไม่ใช่หรอครับ เพราะเชือกตอนยังไม่ยืด โจทย์กำหนดให้ว่ามีความหนาแน่นมวลเชิงเส้นคงที่เป็น \mu แต่เชือกตอนยืดแล้วเราไม่รู้ความหนาแน่นมวลเชิงเส้นนะ
Logged
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น