ถามโจทย์ครับ : ตัวเก็บประจุกับไดอิเล็กทริกสองอันในแนวเฉียง

โจทย์จาก serway 8th edition ครับ

จากรูปที่กำหนดให้ โจทย์ถาม
(a) ความจุของตัวเก็บประจุในรูป
(b) ถ้าสลับตำแหน่งไดอิเล็กทริก คำตอบที่ได้จะเหมือนเดิมหรือไม่
(c) จงแสดงว่าถ้าไดอิเล็กทริกสองตัวนั้นมีค่าคงที่ไดอิเล็กทริกเท่ากัน(เป็น K) คำตอบของข้อ (a) จะให้ผลเหมือนมีไดอิเล็กทริกเดี่ยวค่าคงตัว K สอดอยู่ระหว่างตัวเก็บประจุ

วิธี~~ที่ผิด~~ของผมคือ ผมหาความจุของตัวเก็บประจุ โดยสมมติไปก่อนว่าไดอิเล็กทริกแยกชั้นกัน โดยที่รอยต่อของไดอิเล็กทริกทั้งสองขนานกับตัวเก็บประจุ

แล้วให้ $K_1, K_2$ หนา $y, t-y$ ตามลำดับ แล้วหาค่าความจุออกมาจะได้ $C = \dfrac{K_1K_2}{K_1y+K_2(t-y)}LW\epsilon_0$

แต่จริงๆแล้วรอยต่อระหว่างตัวเก็บประจุเป็นเส้นตรงตามสมการ $y = \dfrac{t}{L}x$ (ให้ x เป็นระยะตามแนวด้าน L)

ถ้าแบ่งตัวเก็บประจุตามด้าน L ให้เป็นช่วงเล็กๆยาว $dx$ ตัวเก็บประจุเล็กๆนี้จะมีความจุ $dC = \dfrac{K_1K_2}{K_1y+K_2(t-y)}(dx)W\epsilon_0$

แทนค่า $y = \dfrac{t}{L}x$ แล้วอินทิเกรตตั้งแต่ 0 ถึง L จะได้

$C = \dfrac{K_1K_2}{K_2-K_1}\dfrac{LW}{t}\epsilon_0 \ln \dfrac {K_2}{K_1}$

ถ้านำผลนี้มาแทนค่าด้วย $K_1 = K_2 = K$ จะได้ผลที่ไม่สอดคล้องกับข้อ (c) ครับ

อยากทราบว่า
1. ผมทำผิดอย่างไรครับ
2. วิธีที่ถูกต้องทำอย่างไรครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ smitten

เพิ่มตามจาก link ของคุณ It is GOL ครับ

จากคำตอบที่ได้ เมื่อ $K_2$ มีค่าใกล้ $K_1 = K$ มาก $\underset{K_2 \rightarrow K}{\lim} \dfrac{KK_2}{K_2-K} \ln \dfrac {K_2}{K} = K$ เมื่อแทนกลับไปในคำตอบที่ได้ตอนแรกจะได้

$C = \dfrac{LW}{t}K\epsilon_0$ ซึ่งสอดคล้องกับข้อ (c) ครับ ก็คือคำตอบถูกแล้วนั่นเอง