ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41497 Posts in 6259 Topics- by 9226 Members - Latest Member: Tank
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ  (Read 5696 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Benz-Math
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15
« on: September 09, 2012, 12:18:58 AM »
แท่งวัตถุสม่ำเสมอมวล m ยาว 2r และปลายของวัตถุอยู่สูงจากพื้น h ทำมุม \theta กับพื้น ส่วนปลายอีกข้างเป็นจุดหมุนซึ่งอยู่กับที่ จงหาเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งจนกระทบพื้น (ตัวแปรอยู่ในระบบ SI ทั้งหมด)

พอดีเป็นข้อสอบกลางภาคที่ผ่านมาครับ ว่างๆเลยลองทำดู รบกวนช่วยตรวจให้หน่อยครับว่าเข้าใจถูกหรือไม่

my solution

มีเพียงแรง mg กระทำที่ตรงกลางแท่งวัตถุจะได้ว่า mg\sin\alpha คือแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง และ mg\cos\alpha คือแรงที่ทำให้วัตถุหมุน สำหรับ 0\leq \beta \leq \theta นั่นคือ

mg\sin\beta = \frac{mv^2}{r} \rightarrow \sin\beta=\frac{v^2}{rg} และ
mg\cos\beta\cdot r=I\alpha \rightarrow \cos\beta=\frac{I}{mg}\cdot\alpha

เนื่องจากสมการทั้งสองผ่านการพิจารณาทิศทางหรืออะไรต่างๆนาๆมาแล้ว นำสมการทั้งสองยกกำลังสองแล้วนำมาบวกกันจะได้

1=(\frac{\omega^2r}{g})^2+(\frac{I}{mg}\cdot\alpha)^2
\alpha=\frac{d\omega}{dt}= \frac{mg}{I}\sqrt{1-(\frac{\omega^2r}{g})^2}

เท่านี้ก็จะหาเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ได้ เพราะการหา \omega ที่จุดกระทบพื้นหาได้ง่ายโดยการพิจารณาสมการทอร์ก

ปล. ในสมการสุดท้ายจะอินทิเกรตไม่ออก เพราะโจทย์จริงๆอาจารย์ให้เปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่ของวัตถุอีกก้อนนึง
Logged
singularity
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 39
« Reply #1 on: September 09, 2012, 10:01:37 AM »
ผมขอแสดงความคิดเห็นนะครับ

1. แรง mg\sin \beta ที่ว่าเป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลางจริงเหรอ ผมคิดว่าที่จุดหมุนที่ตรึงกับพื้นน่าจะออกแรงดันตรงส่วนปลายของวัตถุด้วยนะครับ แล้ววัตถุที่มีขนาดจะใช้แรงสู่ศูนย์กลาง \frac{mv^{2}}{r} ได้เหรอครับ

2. ผมยังค่อนข้างงง  buck2 ที่คุณ Benz-Math บอกว่าการหา \omega ที่จุดกระทบพื้นทำได้โดยง่ายโดยสมการทอร์ก ทำไมถึงไม่หา \omega  ออกมาแล้วใช้  \omega = \frac{d\theta }{dt } เพื่อหาเวลาตรงๆเลยล่ะครับ

อันนี้เป็นแค่ข้อสงสัยของผมนะครับ เข้าใจผิดถูกอย่างไร ช่วยแนะนำด้วยครับ
Logged
Benz-Math
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15
« Reply #2 on: September 09, 2012, 10:45:05 PM »
ขอบคุณครับ ผิดหลายจุดเลยแฮะ ลองทำดูใหม่ครับ  bang head


จากรูปจะได้ว่า (ให้ \omega_e คือความเร็วกระทบพื้น และ 0\leq \beta \leq \theta)

\tau=mg\cos\beta\cdot r=I\alpha=I\cdot\frac{\omega d\omega}{d\beta}
mgr\sin\theta=\frac{I\omega_e^2}{2}\rightarrow \omega_e=\frac{\sqrt{3gH}}{2r}

(ตรงนี้อีกวิธีนึงผมลองใช้กฏอนุรักษ์พลังงานก็ได้เท่ากัน แต่ยุ่งยากกว่านิดหน่อย)

สังเกตว่า ถ้า \theta=\frac{\pi}{2} แล้ว N=mg และ ถ้า \theta=0 แล้ว N\rightarrow 0^+ (N คือแรงที่พื้นกระทำต่อแทงวัตถุที่จุดหมุน) นั่นคือเราสามารถเขียนได้ว่า

N=mg\sin\beta

พิจารณาแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่ \beta ใดๆ โดยคิดแรงเข้าสู่ศูนย์กลางแต่ละอนุภาคแล้วนำมาบวกกัน (dm=k_1dr เพราะมวลสม่ำเสมอ)

F_c=\int \frac{v^2}{r}dm
F_c=\int^{2r}_0 \frac{k_1\omega^2r^2}{r}dr=\frac{k_1\omega^2(2r)^2}{2}
mg\sin\beta-N\sin\beta=mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r

ใช้ผลของคู่สมการ

mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r
mg\cos\beta\cdot r=I\alpha

กำจัด \beta ออกเราจะได้ \alpha ในเทอม \omega เป็นอันเสร็จสิ้น (ที่เหลือก็คณิตศาสตร์)
« Last Edit: September 11, 2012, 12:17:46 AM by Benz-Math » Logged
singularity
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 39
« Reply #3 on: September 10, 2012, 07:24:18 PM »
ผมว่ามันยังแปลกๆอยู่นะครับ ตรงแรงสู่ศูนย์กลาง dimension ไม่ถูกต้องนะ

Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #4 on: September 10, 2012, 07:41:15 PM »
Quote from: Benz-Math on September 09, 2012, 10:45:05 PM

F_c=\int \frac{v^2}{2}dm

\frac{mv^{2}}{r}
ครับไม่ใช้ส่วนสอง
Logged
Benz-Math
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15
« Reply #5 on: September 11, 2012, 12:18:32 AM »
แก้แล้วครับ  buck2
Logged
Stalker
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 253


Physics with Love.
« Reply #6 on: September 17, 2012, 11:09:22 PM »
Quote from: Benz-Math on September 09, 2012, 10:45:05 PM
...
พิจารณาแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่ \beta ใดๆ โดยคิดแรงเข้าสู่ศูนย์กลางแต่ละอนุภาคแล้วนำมาบวกกัน (dm=k_1dr เพราะมวลสม่ำเสมอ)

F_c=\int \frac{v^2}{r}dm
F_c=\int^{2r}_0 \frac{k_1\omega^2r^2}{r}dr=\frac{k_1\omega^2(2r)^2}{2}
mg\sin\beta-N\sin\beta=mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r
...
ตรงนี้แนวคิดยังไม่น่าจะถูกนะครับ ผมไม่รู้ว่าคำตอบถูกรึเปล่าเพราะยังไม่ได้เช็ค (อาจจะบังเอิญถูก)
แรงเข้าสู่ศูนย์กลางไม่ใช่ mg\sin\beta-N\sin\beta
เพราะโจทย์บอกว่าปลายหนึ่งเป็นจุดหมุนอยู่กับที่ นั่นคือต้องมีแรงนอกเหนือจากสองแรงนี้ มาทำให้มันอยู่กับที่ ไม่เช่นนั้น จุดนี้จะอยู่กับที่ไม่ได้
ถ้าไม่มีแรงอื่นในแนวระดับ CM ที่ต่ำลงมาในแนวดิ่ง จะเป็น constraint ทำให้ปลายด้านล่างต้องเลื่อนไปทางซ้าย
แล้วก็หลักการของการนำแรงเข้าสู่ศูนย์กลางมาบวกกัน ไม่ทราบว่าไปเอามาจากไหน  Huh
ข้อนี้จริงๆหลักการทางฟิสิกส์ไม่มีอะไรมาก สิ่งที่น่าตื่นเต้นคือคณิตศาสตร์นี่แหละ  Grin แนะนำว่าให้ลองแก้สมการออกมาดู
Logged
Everything should be made as simple as possible, but not simpler.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6310


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #7 on: September 18, 2012, 05:47:12 AM »
มีคล้ายกันอยู่ที่ http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5655.msg36580.html#msg36580
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Benz-Math
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15
« Reply #8 on: September 21, 2012, 12:20:22 AM »
Quote from: Stalker on September 17, 2012, 11:09:22 PM
Quote from: Benz-Math on September 09, 2012, 10:45:05 PM
...
พิจารณาแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่ \beta ใดๆ โดยคิดแรงเข้าสู่ศูนย์กลางแต่ละอนุภาคแล้วนำมาบวกกัน (dm=k_1dr เพราะมวลสม่ำเสมอ)

F_c=\int \frac{v^2}{r}dm
F_c=\int^{2r}_0 \frac{k_1\omega^2r^2}{r}dr=\frac{k_1\omega^2(2r)^2}{2}
mg\sin\beta-N\sin\beta=mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r
...
ตรงนี้แนวคิดยังไม่น่าจะถูกนะครับ ผมไม่รู้ว่าคำตอบถูกรึเปล่าเพราะยังไม่ได้เช็ค (อาจจะบังเอิญถูก)
แรงเข้าสู่ศูนย์กลางไม่ใช่ mg\sin\beta-N\sin\beta
เพราะโจทย์บอกว่าปลายหนึ่งเป็นจุดหมุนอยู่กับที่ นั่นคือต้องมีแรงนอกเหนือจากสองแรงนี้ มาทำให้มันอยู่กับที่ ไม่เช่นนั้น จุดนี้จะอยู่กับที่ไม่ได้
ถ้าไม่มีแรงอื่นในแนวระดับ CM ที่ต่ำลงมาในแนวดิ่ง จะเป็น constraint ทำให้ปลายด้านล่างต้องเลื่อนไปทางซ้าย
แล้วก็หลักการของการนำแรงเข้าสู่ศูนย์กลางมาบวกกัน ไม่ทราบว่าไปเอามาจากไหน  Huh
ข้อนี้จริงๆหลักการทางฟิสิกส์ไม่มีอะไรมาก สิ่งที่น่าตื่นเต้นคือคณิตศาสตร์นี่แหละ  Grin แนะนำว่าให้ลองแก้สมการออกมาดู
พอดีคิดขึ้นมาใช้กับโจทย์ข้อนี้เป็นข้อแรกครับ uglystupid2
เพราะต้องการสมการเพิ่มเนื่องจากไม่เพียงพอกับจำนวนตัวแปร ไม่ทราบว่าผิดถูกอย่างไรครับ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: