ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ

ผมขอลองทำดูนะครับ

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนสมมาตรของกรวยกลวงหาจากผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตันรัศมี $R$ กับ $R+\delta R$

เนื่องจากกรวยตันทั้งสองต้องมีลักษณะเหมือนกัน หรือก็คือมีมุมยอดของกรวยเท่ากัน จะได้ความสัมพันธ์ว่า $\frac{R+\delta R}{h+\delta h} = \frac{R}{h}$

โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตันรัศมี $R$ คือ $I_{1} = \frac{3}{10}MR^{2}$ จัดให้อยู่ในรูปของความหนาแน่น จะได้ว่า $I_{1} = \frac{3}{10}(\frac{1}{3}\rho\pi R^{2}h )R^{2} = \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4}$

และในทำนองเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตันรัศมี $R+\delta R$ คือ $I_{2}=\frac{1}{10}\rho\pi (h+\delta h) (R+\delta R)^{4}$

โดยใช้ความสัมพันธ์ข้างต้น ได้ว่า $I_{2}=\frac{1}{10}\rho\pi \frac{h}{R} (R+\delta R)^{5}$ ใช้การประมาณ $\delta R$ มีค่าน้อยมากๆ

$I_{2}=\frac{1}{10}\rho\pi h R^{4} (1+\frac{\delta R}{R})^{5} \approx \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4} (1+\frac{5\delta R}{R})$

โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยกลวง

$I = I_{2} - I_{1}$

$I = \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4} (1+\frac{5\delta R}{R}) - \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4}$

$I = \frac{1}{2}\rho \pi h R^{3} \delta R$ เก็บผลที่ได้นี้ไว้ก่อน

ต่อไปหาปริมาตรของกรวยกลวง ด้วยวิธีคล้ายกัน คือปริมาตรของกรวยกลวง คือ ผมต่างของปริมาตรของกรวยตันรัศมี $R$ กับ $R+\delta R$

$V = \frac{1}{3} \pi (R+\delta R)^{2} (h+\delta h) - \frac{1}{3} \pi R^{2} h$

ทำการจัดรูปและประมาณแบบเดียวกับข้างต้น สุดท้ายจะได้ว่า $V = \pi h R \delta R$

นำผลที่ได้นี้แทนลงในโมเมนต์ความเฉื่อย

$I = \frac{1}{2}\rho \pi h R^{3} \delta R$

$I = \frac{1}{2}\rho( \pi h R \delta R) R^{2}$

$\therefore$ โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยกลวง $I = \frac{1}{2}M R^{2}$

ผิดถูกอย่างไรช่วยชี้แนะด้วยครับ smitten