มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41056 Posts in 6102 Topics- by 6143 Members - Latest Member: Latte
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: งานตามเส้นทางโค้ง  (Read 3194 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
CanonX
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 191


« on: September 05, 2012, 10:36:21 PM »

ในรูป มีวงแหวนมวล m ถูกคล้องไว้กับลวดที่มีลักษณะเป็น 1 ใน 4 ของวงกลมรัศมี R  ผูกเชือกกับแหวนแล้วไปคล้องกับรอก หากดึงเชือกด้วยแรงขนาดคงที่ F แล้ว

ถ้าเริ่มต้นวงแหวนอยู่ที่พื้นดังรูป จงหางานเนื่องจากแรง F เมื่อแหวนเคลื่อนที่ไปจนชนรอก (สูงจากพื้น R ห่างจากจุดเริ่มต้น \sqrt{2}R)

ช่วยแนะวิธีหน่อยครับ ไปไม่ถูกเลยครับ = ="

ขอบคุณล่วงหน้าครับ  smitten
« Last Edit: September 07, 2012, 05:06:59 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #1 on: September 06, 2012, 05:47:06 PM »

แนวคิดของผมก็คือว่าเราแตกแรงตามแนวแกนx y แล้วใช้
W= \int \vec{F}\cdot \vec{ds}
และใช้ (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}
เพื่อเปลี่ยนตัวแปร
จากนั้นก็แคลคูลัสครับ Grin
« Last Edit: September 07, 2012, 05:07:17 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
CanonX
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 191


« Reply #2 on: September 06, 2012, 07:03:35 PM »

ได้แล้วครับ ได้งาน W = \sqrt{2}FR

ขอบคุณมากครับผม  smitten
« Last Edit: September 07, 2012, 05:07:42 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #3 on: September 06, 2012, 07:14:27 PM »

อีกวิธีนึงครับ
s=\sqrt{2}R
W=Fs=\sqrt{2}FR
อันนี้เพื่อนผมคิดครับ Grin
« Last Edit: September 07, 2012, 05:07:55 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
CanonX
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 191


« Reply #4 on: September 06, 2012, 07:27:18 PM »

อีกวิธีนึงครับ
s=\sqrt{2}R
W=Fs=\sqrt{2}FR
อันนี้เพื่อนผมคิดครับ Grin

ตอนแรกผมก็คิดว่ามันจะได้ แต่จากที่ผมลองหาคำตอบเมื่อกี้ วิธีนั้นใช้ไม่ได้อะครับ Grin

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

แต่ถ้าคิดแบบ W = Fs เนื่องจาก s = R^2 - 2(ab + \sqrt{R^2 - a^2}\sqrt{R^2 - b^2})
จะได้ W = \sqrt{2[R^2 - (ab + \sqrt{R^2 - a^2}\sqrt{R^2 - b^2})]}F ซึ่งไม่เท่ากับข้างบน คิดว่าเพราะทิศของแรงไม่ได้คงตัวตลอดการเคลื่อนที่น่ะครับ วิธีนี้จึงใช้ไม่ได้
« Last Edit: September 07, 2012, 05:08:12 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #5 on: September 07, 2012, 12:56:17 PM »

ทำไมจะไม่เท่ากันครับ  Grin
ลองดูที่เราอินทิเกรตกันมาตรงๆจะได้
W=f(\sqrt{2}R-\sqrt{(R-a)^{2}+(R-b)^{2}} )
ตรงนี้สับสนุนคำพูดของเราที่ว่า
W=\vec{F}\cdot\vec{s}
เพราะเราสามารถเห็นได้อยู่แล้วว่าสมการนี้ใช้ได้โดยดูที่ว่า
งานที่เราทำต่อเชือกคือ W=\vec{F}\cdot\vec{s}
แต่ว่าเราไม่มี W_{tot}=\Delta K
ดังนั้นต้องมีงานจากอีกแรงที่มาทำเพื่อให้งานรวมเป็นศูนย์
นั้นก็คืองานจากแรงที่มวลทำต่อเชือกซึ่งนี่มีค่าลบของงานที่เชือกทำต่อมวล
ที่จริงแล้วสมการนี้ก็สนับสนุนสมการของเราเหมือนกัน

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

สมการนี้มายังไงครับ
« Last Edit: September 07, 2012, 05:08:26 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
CanonX
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 191


« Reply #6 on: September 07, 2012, 03:49:06 PM »

...

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

สมการนี้มายังไงครับ

จาก
W = \displaystyle\int \vec{F}\cdot d\vec{s}
คิดแยกแกน จะได้
W = \displaystyle\int F_x dx + \displaystyle\int F_ydy
ให้ \theta เป็นมุมของแรงตึงเชือกที่ดึงวัตถุทำกับพื้น
จะได้
W = \displaystyle\int F cos\theta dx + \displaystyle\int Fsin\theta dy - (1)

จาก (R-x)^2 + y^2 = R^2
x^2 - 2Rx + y^2 = 0
x = R - \sqrt{R^2 - y^2}
dx = \frac{y}{R-x}dy = \frac{y}{\sqrt{R^2 - y^2}}dy

cos \theta = \frac{R-x}{\sqrt{(R-x)^2 + (R-y)^2}} = \frac{\sqrt{R^2 - y^2}}{\sqrt{2R(R-y)}} = \frac{\sqrt{R+y}}{\sqrt{2R}}
sin \theta = \frac{R-y}{\sqrt{(R-x)^2 + (R-y)^2}} = \frac{R - y}{\sqrt{2R(R-y)}} = \frac{\sqrt{R-y}}{\sqrt{2R}}

แทนค่าเหล่านี้ลงใน (1) จะได้
W = F(\displaystyle\int (\frac{\sqrt{R+y}}{\sqrt{2R}}) (\frac{y}{\sqrt{R^2 - y^2}}dy)+ \displaystyle\int \frac{\sqrt{R-y}}{\sqrt{2R}} dy)
W = \frac{F}{\sqrt{2R}}(\displaystyle\int (\frac{y}{\sqrt{R-y}} + \sqrt{R-y}) dy)
W = \frac{F}{\sqrt{2R}}(\displaystyle\int \frac{R}{\sqrt{R-y}} dy)

เมื่อเริ่มต้นเคลื่อนที่จากสูง y = a ไปยัง y = b จะได้
W = \frac{F}{\sqrt{2R}}(\displaystyle\int_{y=a}^{y=b} \frac{R}{\sqrt{R-y}} dy)

เมื่อทำการอินทิเกรตออกมาจะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ
« Last Edit: September 07, 2012, 05:08:39 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #7 on: September 07, 2012, 06:29:07 PM »

อ๋อ a b ในความหมายของผมคือคู่อันดับครับจาก
(x,y)=(0,0)\rightarrow (a,b)
ที่จริงแล้วเราไม่ต้องเปลี่ยนตัวแปรก็ได้ครับวิธีเปลี่ยนตัวแปรของผมค่อนข้างถึก ลองไม่เปลี่ยนตัวแปรดูครับ มันให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจ  Wink
Logged
K.P.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96



« Reply #8 on: September 07, 2012, 07:07:38 PM »

...

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

สมการนี้มายังไงครับ

จาก
W = \displaystyle\int \vec{F}\cdot d\vec{s}
คิดแยกแกน จะได้
W = \displaystyle\int F_x dx + \displaystyle\int F_ydy


line integral คิดแยกแกนได้หรอครับ แต่ละ path มันให้ค่าไม่เท่ากันนี่ครับ ถ้าไม่ใช่แรงอนุรักษ์ Huh

ผมอ่านไม่ดีเองครับ  embarassed
« Last Edit: September 07, 2012, 07:18:29 PM by K.P. » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น