Characteristic Impedance of a String

เรามีปริมาณที่เรียกว่า Characteristic Impedance ของเส้นเชือก เพื่อใช้บอก"ความต้านทาน"ในการแผ่คลื่นผ่านเส้นเชือกหนึ่ง ๆ Characteristic Impedance ของเส้นเชือกมีประโยชน์ในการวิเคราะห์การสะท้อนและการส่งผ่านคลื่นที่ขอบระหว่างเชือกสองเส้นใด ๆ อีกด้วย

นิยามของ Characteristic Impedance ของเส้นเชือกคือ

$Z = \dfrac{\mathrm{Transverse \; Force}}{\mathrm{Transverse \; Velocity}} = \dfrac{F}{v}$

เมื่อ $F$ คือขนาดของแรงภายนอกสูงสุดซึ่งทำในแนวตั้งฉากกับเส้นเชือก และ $v$ คืออัตราเร็วสูงสุดของอนุภาคในเส้นเชือก สังเกตว่าถ้า $v$ มีค่ามากกว่า $F$ มาก แปลว่า"การต้าน"มีน้อย และส่งผลให้ $Z$ มีค่าน้อย ๆ และในทางกลับกัน ถ้า $v$ มีค่าน้อยกว่า $F$ มาก แปลว่า"การต้าน"มีมาก และส่งผลให้ $Z$ มีค่ามาก ๆ

ในกรณีที่ไม่มีการสูญเสียพลังงานและการต้านจากภายนอกใด ๆ เราสามารถแสดงได้จากนิยามว่า Characteristic Impedance ของเส้นเชือกมีค่าเท่ากับ

$Z = \mu c$

เมื่อ $\mu$ แทนความหนาแน่นเชิงเส้นของเส้นเชือก และ $c$ แทนอัตราเร็วคลื่น

สิ่งที่ผมสงสัยเกิดมาจากการอ่านวิธีพิสูจน์จากหนังสือชื่อ The Physics of Vibrations and Waves ของ H. J. Pain
ซึ่งหนังสือเล่มนี้อยู่ที่นี่ http://www.semesterhub.com/downloads/pdf/The%20Physics%20of%20Vibrations%20and%20Waves%20hj%20pain.pdf
และการพิสูจน์อยู่ในหน้าที่ 115 ถึง 117 (ประมาณ 2 หน้าครับ)

การพิสูจน์ของเขาอ้างว่าปลายเชือกด้านที่ถูกแรงภายนอกกระทำ ณ ตำแหน่งนั้นแรงภายนอกหักล้างกับแรงตึงเชือกในแนวดิ่ง นั่นแปลว่าแรงสมดุลกัน แต่ปลายเชือกนั่นมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งชัด ๆ ไม่ใช่หรอครับ ทำไมเขาถึงอ้างแบบนั้นได้