Tunneling effect

Hermitian

neutrino

Offline

Posts: 69

« on: March 21, 2012, 01:45:26 AM »

Electron ตัวหนึ่งมีพลังงานจลน์ $E_{k}=5.0 eV$ กระทบกับกำแพง barrier ที่มีความหนาและความสูง $L=0.2 nm, U=10.0 eV$ ดังภาพ
จงหาความน่าจะเป็นที่ (1) electron สะท้อนกลับ (2) electron วิ่งทะลุ barrierไป
โจทย์บอกให้หาเป็นตัวเลขเลยครับ(และห้ามใช้เครื่องคิดเลข =w= ) ความจริงแล้ว ผมสงสัยว่าถ้าผมอยากหาโดยไม่ใช้ transmission coefficient คำตอบที่ผมได้คือ
$\psi _{I}=Ae^{ikx}(incident)+Be^{-ikx}(reflected), \psi _{II}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} = De^{-\kappa x} \\ , \psi _{III}=Fe^{ikx}+Ge^{-ikx} when k=\frac{\sqrt{2mE_{k}}}{\bar{h}}; \kappa=\frac{\sqrt{2m(U-E_{k})}}{\bar{h}}$
แล้วเวลาหาความน่าจะเป็น จะต้องรู้ normalization constant (A,B,C,D,F,G) ก่อนใช่มั้ยครับ ซึ่งอาจหาจากการดู boundary condition แล้วเทคลิมิตเอา
แต่ทีนี้ ผมติดครับ จะหาค่าแล้วสมการไม่พอ อีกอย่างนึงคือเวลา integrate มันมีพจน์ sine แล้วหา limit ไม่ได้ครับ ไปเปิดดูมีคนใช้ flux กับ group velocity พิสูจน์ครับ
ขอคำชี้แนะด้วยนะครับ buck2

อีกอย่างนึง การหา general solution $\psi _{II}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} = De^{-\kappa x}$
ที่ตัดเทอม $Ce^{\kappa x}$ ทิ้งนี่ เราใช้ฟิสิกส์ช่วยพิจารณาเอาว่าต้องไปทางขวา คือดูทิศการวิ่งเอาคือดูเครื่องหมาย $p=-i\tilde{h}\frac{d\psi }{d x}$ ใช่มั้ยครับ


« Last Edit: March 21, 2012, 03:33:31 AM by Hermitian »	Logged

ชัยโรจน์

neutrino

Offline

Posts: 107

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ

Re: Tunneling effect

« Reply #1 on: March 22, 2012, 12:40:55 PM »

เราหาความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนสะท้อนกลับและความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนวิ่งทะลุกำแพงไปโดยไม่ต้องคำนวณสัมประสิทธิ์การส่งผ่านและสัมประสิทธิ์การสะท้อนได้ด้วยหรอครับ ที่ผมเข้าใจคือพวกสัมประสิทธิ์อะไรต่าง ๆ นั่นก็คือความน่าจะเป็นที่คุณอยากหานั่นแหละ idiot2


	Logged

ชัยโรจน์

neutrino

Offline

Posts: 107

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ

Re: Tunneling effect

« Reply #2 on: March 22, 2012, 12:54:45 PM »

แล้วทำไมฟังก์ชันคลื่นของบริเวณ $\mathrm{II}$ จึงเป็นแค่นี้หละครับ idiot2

Quote from: Hermitian on March 21, 2012, 01:45:26 AM

... $\psi _{II}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} = De^{-\kappa x}$ ...

การที่เราจะบอกว่าค่า $C$ เป็นศูนย์ได้ เราต้องใช้เงื่อนไขขอบที่ว่าฟังก์ชันคลื่นต้องเข้าใกล้ศูนย์ในที่ไกล ๆ แต่ปัญหานี้บริเวณ $\mathrm{II}$ ไม่ได้ไปไกลถึงอนันต์ เราควรจะเก็บค่า $C$ ไว้นะครับ


	Logged

Hermitian

neutrino

Offline

Posts: 69

Re: Tunneling effect

« Reply #3 on: March 22, 2012, 04:33:35 PM »

ครับ ก็ในหนังสือปี 1 ส่วนใหญ่เค้าให้อันนี้ผมมาเลยนี่ครับ $T=16\frac{E}{U_{0}}(1-\frac{E}{U_{0}})e^{-2\kappa L}$ ผมเลยอยากพิสูจน์
ทีนี้ เท่าที่ผมไปเปิดมาเค้าใช้ flux ของ velocity แทนความน่าจะเป็น คือ $T=\frac{\left| \psi _{III+} \right|^{2} v_{III+}}{\left| \psi _{I+} \right|^{2} v_{I+}}$ เมื่อ + แทนคลื่นที่วิ่งไปทาง +x ครับ ตรงนี้ผมพอเข้าใจอยู่บ้าง แต่ก็ต้องหาตัวแปรที่เหลือเองอยู่ดี แต่ถ้าไม่เป็นการรบกวน อยากทราบวิธีพิสูจน์เรื่องนี้ครับ


	Logged

ชัยโรจน์

neutrino

Offline

Posts: 107

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ

Re: Tunneling effect

« Reply #4 on: March 22, 2012, 09:53:44 PM »

Quote from: Hermitian on March 22, 2012, 04:33:35 PM

...อยากทราบวิธีพิสูจน์เรื่องนี้ครับ

...

งั้นมาช่วยกันครับ ผมก็จะช่วยทำด้วย

ในปัญหานี้เราจะพิจารณาพลังงานของอิเล็กตรอนทั้งหมดสามกรณี
1. $E < U_0$
2. $E = U_0$
3. $E > U_0$
เราจะทำทุกกรณีเลยแล้วกัน(เพื่อความมันส์ของเด็กไฟแรง Grin

)

สิ่งที่เราอยากหาคือความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนจะผ่านกำแพงพลังงานศักย์ไปได้ เริ่มจากฟลักซ์ของความเร็วเราจะได้
$T = \dfrac{\left| \psi_{3+} \right|^2v_{3+} }{\left| \psi_{1+}} \right|^2v_{1+}}$
เพราะว่าที่บริเวณ 1 และ 3 อิเล็กตรอนมีอัตราเร็วเท่ากัน ดังนั้นเราจึงเหลือเพียง
$T = \dfrac{\left| \psi_{3+} \right|^2 }{\left| \psi_{1+}} \right|^2}$
ถึงตอนนี้เราใช้สมการชเรอดิงเงอร์กับบริเวณ 1 และ 3 และฟังก์ชันคลื่นที่เราแก้สมการได้คือ
$\psi_{1} = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$
$\psi_{3} = Fe^{ikx} + Ge^{-ikx}$
Stationary state ได้จากการคูณตัวประกอบ $e^{-iE_k t/\hbar }$ เข้าไปกับฟังก์ชันคลื่นแบบที่ไม่ขึ้นกับเวลาเหล่านี้
$\Psi _{1} = Ae^{i(kx - E_k t/\hbar )} + Be^{-i(kx + E_k t/\hbar )}$
$\Psi _{3} = Fe^{i(kx - E_k t/\hbar )} + Ge^{-i(kx + E_k t/\hbar )}$
พิจารณาทีละพจน์นะครับ
พจน์ $Ae^{i(kx - E_k t/\hbar )}$ นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่วิ่งมาจาก $-\infty$ ไปทางขวา
พจน์ $Be^{-i(kx + E_k t/\hbar )}$ นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่สะท้อนกลับไปยัง $-\infty$ หลังจากตกกระทบกำแพง
พจน์ $Fe^{i(kx - E_k t/\hbar )}$ นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่ทะลุผ่านกำแพงศักย์ วิ่งไปทางขวาสู่ $\infty$
พจน์ $Ge^{-i(kx + E_k t/\hbar )}$ นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่วิ่งมาจาก $\infty$ ไปทางซ้าย แต่สถานการณ์นี้ เรายิงอิเล็กตรอนมาจากทางซ้าย ดังนั้นคลื่นส่วนสุดท้ายนี้จึงมีไม่ได้
เลยทำให้ $G = 0$ ไป
ทำให้เราได้ว่า
$\psi_{1+} = Ae^{ikx}$
$\psi_{3+} = Fe^{ikx}$
เพราะฉะนั้น
$T = \dfrac{\left| \psi_{3+} \right|^2 }{\left| \psi_{1+}} \right|^2} = \dfrac{|F|^2}{|A|^2}$

กรณี 1

ทุก ๆ กรณีสมการชเรอดิงเงอร์ในบริเวณ 1 และ 3 จะเหมือนกันทั้งหมด ทีนี้คุณลองกับบริเวณ 2 ดู
เราควรจะได้ระบบสมการออกมาที่มี 4 สมการ 5 ตัวแปร
ผมทำถึงขั้นนี้แล้ว ตอนนี้เรารู้แล้วว่าสิ่งที่เราต้องการคืออะไร คุณทำต่อเลยครับ ถึงไหนผมจะมาช่วยต่อ great


« Last Edit: April 10, 2012, 02:47:58 PM by JayJoonG »	Logged

Hermitian

neutrino

Offline

Posts: 69

Re: Tunneling effect

« Reply #5 on: March 29, 2012, 12:55:00 AM »

ผมได้สมการ 4 สมการคือ $1) C+D=A+B \; 2) \kappa (C-D)=ik(A-B) \; 3) Ce^{\kappa L}+De^{-\kappa L}=Fe^{ikL}\; \\ 4) \kappa (Ce^{\kappa L}-De^{-\kappa L})=ikFe^{ikL}$

แก้สมการแล้วได้ว่า

$\left| F \right|e^{\kappa L}=\left| A \right| \times 2k\frac{\left| (\kappa e^{4\kappa L}+1)+ike^{4\kappa L} \right| }{\left| (\kappa^{2}-k^{2})(e^{2\kappa L}-1)+i(2\kappa k)(e^{2\kappa L}+1) \right| }$

เท่านี้ก้อหา T ได้แบบนี้หรือเปล่าครับ สงสัยเพราะมันเน่ามากเลย ถึงหาขนาดของเชิงซ้อนก็รูปไม่สวยอยู่ดี Sad


« Last Edit: March 29, 2012, 05:42:53 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ชัยโรจน์

neutrino

Offline

Posts: 107

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ

Re: Tunneling effect

« Reply #6 on: April 01, 2012, 10:33:17 PM »

สมการชุดนี้แก้ยากครับ ต้องใช้กำลังภายในเยอะ
ลองใช้นิยามนี้แล้วจัดรูปดูครับ

$\cosh z \equiv \dfrac{e^{z} + e^{-z}}{2}$

เดี๋ยวผมขอแก้สมการนี้อีกครั้งก่อน ได้เท่าไหร่จะมาโพสครับ Grin


« Last Edit: April 10, 2012, 12:45:36 PM by JayJoonG »	Logged

ชัยโรจน์

neutrino

Offline

Posts: 107

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ

Re: Tunneling effect

« Reply #7 on: April 10, 2012, 02:15:36 PM »

ที่น้องทำมาได้ชุดสมการนั้นถูกต้องครับ

$\begin{matrix} C + D &=& A + B & (1) \cr \kappa (C - D) &=& ik(A - B) & (2) \cr Ce^{\kappa L} + De^{-\kappa L} &=& Fe^{ikL} & (3) \cr \kappa (Ce^{\kappa L} - De^{-\kappa L}) &=& ikFe^{ikL} & (4) \end{matrix}$

ที่ผมลองแก้มาวิธีการเป็นแบบนี้

$\bullet$ กำจัดตัวแปร $B$ โดยการนำสมการ $(1)$ คูณกับ $ik$ แล้วบวกเข้ากับสมการ $(2)$ ผลลัพธ์ได้

$\begin{matrix} 2ikA = (ik + \kappa )C + (ik - \kappa )D & (5) \end{matrix}$

$\bullet$ เพื่อหา $C$ ในรูปของ $F$ นำสมการ $(3)$ คูณกับ $\kappa$ แล้วบวกเข้ากับสมการ $(4)$ ผลลัพธ์ได้

$\begin{matrix} C = \dfrac{1}{2\kappa }(ik + \kappa )Fe^{ikL - \kappa L}&(6) \end{matrix}$

$\bullet$ เพื่อหา $D$ ในรูปของ $F$ นำสมการ $(3)$ คูณกับ $-\kappa$ แล้วบวกเข้ากับสมการ $(4)$ ผลลัพธ์ได้

$\begin{matrix} D = -\dfrac{1}{2\kappa }(ik - \kappa )Fe^{ikL + \kappa L}& (7) \end{matrix}$

$\bullet$ แทนสมการ $(6)$ และ $(7)$ ลงในสมการ $(5)$ แล้วคูณสมการด้วย $2\kappa$ จะได้

$4ik\kappa A = (ik + \kappa )^2Fe^{ikl - \kappa L} - (ik - \kappa )^2Fe^{ikl + \kappa L}$

Complex conjugate ของสมการนี้คือ

$-4ik\kappa A^* = (-ik + \kappa )^2F^*e^{-ikl - \kappa L} - (-ik - \kappa )^2F^*e^{-ikl + \kappa L}$

$\bullet$ คูณสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์

$\begin{matrix}16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = (ik + \kappa )^2(ik - \kappa )^2(e^{-2\kappa L} + e^{2\kappa L})\left| F \right|^2 - \left((ik - \kappa)^4 + (ik + \kappa )^4\right)\left| F \right| ^2&(9) \end{matrix}$

$\bullet$ จากนิยามของฟังก์ชัน Hyperbolic cosine

$(e^{-2\kappa L} + e^{2\kappa L}) = 2\cosh (2\kappa L)$

และเนื่องจาก $(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$ ดังนั้น

$(ik + \kappa )^2(ik - \kappa )^2 = \left(\kappa ^2 + k^2\right)^2$

และโดยการหลับหูหลับตากระจายอย่างแท้จริงจะได้

$(ik - \kappa)^4 + (ik + \kappa )^4 = 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)$

$\bullet$ สมการ $(9)$ จะกลายเป็น

$16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 2\left(\kappa ^2 + k^2\right)^2\cosh (2\kappa L)\left| F \right| ^2 - 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)\left| F \right| ^2$

$\bullet$ จากเอกลักษณ์ $\cosh 2z = 2\sinh ^2 z +1$ สมการด้านบนจะกลายเป็น

$16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 2\left(\kappa ^2 + k^2\right)^2\left(2\sinh ^2 (\kappa L) +1\right)\left| F \right| ^2 - 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)\left| F \right| ^2$

$\bullet$ คูณกระจายเข้าไปในวงเล็บ

$16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 4 \left(\kappa ^2 + k^2 \right)^2\sinh ^2(\kappa L)\left| F \right| ^2 - 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)\left| F \right| ^2 + 2\left(\kappa ^4 + 2\kappa ^2k^2 + k^4 \right)\left| F \right| ^2$

$16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 4 \left(\kappa ^2 + k^2 \right)^2\sinh ^2(\kappa L)\left| F \right| ^2 + 16\kappa ^2k^2\left| F \right| ^2$

$\bullet$ นำ $16k^2\kappa ^2$ หารตลอดสมการได้

$\left| A \right|^2 = \left\{ \dfrac{ \left(\kappa ^2 + k^2 \right)^2\sinh ^2(\kappa L)}{4k^2\kappa ^2} + 1 \right\}\left| F \right| ^2$

และ $\kappa ^2 + k^2 = \dfrac{2mU}{\hbar ^2}$ และ $\kappa ^2k^2 = \dfrac{4m^2}{\hbar ^4}E(U - E)$

ดังนั้นสมการกลายเป็น

$\dfrac{\left| A \right| ^2}{\left| F \right| ^2} =1 + \dfrac{U^2}{4E(U - E)}\sinh ^2\left(\dfrac{L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right)$

จากนิยามของ $T$ สุดท้ายจะได้อย่างสวยงามว่า

$T^{-1} = 1 + \dfrac{U^2}{4E(U - E)}\sinh ^2\left(\dfrac{L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right)$


	Logged

ชัยโรจน์

neutrino

Offline

Posts: 107

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ

Re: Tunneling effect

« Reply #8 on: April 10, 2012, 02:35:37 PM »

ตอนนี้เราได้คำตอบสำหรับกรณีที่หนึ่งเรียบร้อยแล้ว

$T = \left\{ 1 + \dfrac{U^2}{4E(U - E)}\sinh ^2\left(\dfrac{L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right) \right\}^{-1}$

นี่ก็น่าจะเพียงพอสำหรับสิ่งที่น้องต้องการแล้วครับ

ในหนังสือฟิสิกส์พื้นฐานบอกว่า

$T \approx \dfrac{16E}{U}\left(1 - \dfrac{E}{U}\right)\exp\left(-\dfrac{2L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right)$

ในกรณีที่กำแพงกว้างมาก ๆ ( $L$ มาก ๆ ) หรือ พลังงานจลน์ของอิเล็กตรอนต่ำ ๆ ( $E$ น้อย ๆ )

ลองพิสูจน์ดูเลยครับ great


	Logged

Hermitian

neutrino

Offline

Posts: 69

Re: Tunneling effect

« Reply #9 on: April 17, 2012, 02:59:19 PM »

ขอบคุณมากนะครับ


	Logged

Pages: 1 Go Up

« previous next »

คุณสมบัติของเด็กดี