ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41500 Posts in 6261 Topics- by 9229 Members - Latest Member: NONNY
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามปัญหาคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเวกเตอร์ที่ขัดกับทฤษฎีบทไดเวอเจนซ์
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ฟังก์ชันเวกเตอร์ที่ขัดกับทฤษฎีบทไดเวอเจนซ์  (Read 2676 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« on: December 17, 2011, 11:14:09 PM »

ในวิชาเวกเตอร์มีทฤษฎีบทบทหนึ่งที่สำคัญ นั่นคือทฤษฎีบทไดเวอเจนซ์ (Divergence Theorem) ผมไปเจอฟังก์ชันเวกเตอร์หนึ่งที่มันไม่สอดคล้องกับทฤษฎีบทนี้ คาดว่าผมคงทำบางอย่างพลาดไป

สิ่งที่ผมทำคือทดสอบฟังก์ชันเวกเตอร์หนึ่งว่าสอดคล้องกับทฤษฎีบทนี้ไหม ทฤษฎีบทนี้บัญญัติว่า

\displaystyle\int_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \mathrm{d}\tau = \oint_{S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{\mathrm{d}a}

กำหนดฟังก์ชันเวกเตอร์ \mathbf{A} = \dfrac{1}{r^2}\mathbf{\hat{r}} และให้รูปร่างที่เราจะใช้เป็นทรงกลมรัศมี R
เริ่มทำด้านซ้ายของสมการก่อน

\nabla \cdot \mathbf{A} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2A_r) + \dfrac{1}{r \sin \theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta A_{\theta}) + \dfrac{1}{r \sin \theta}\dfrac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi }

ดังนั้น

\nabla \cdot \mathbf{A} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left((r^2)\left(\dfrac{1}{r^2}\right)\right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(1) = 0

ฉะนั้นด้านซ้ายของสมการคือ

\displaystyle\int_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \mathrm{d}\tau = \displaystyle\int_V (0) \mathrm{d}\tau = 0

ทีนี้ผมจะทำด้านขวาของสมการ เริ่มจากหาว่าเวกเตอร์นี้ที่ผิวทรงกลมมีค่าเท่าไหร่

\mathbf{A} = \dfrac{1}{r^2} \mathbf{\hat{r}} = \dfrac{1}{R^2} \mathbf{\hat{r}}

ดังนั้น

\displaystyle\oint_{S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{\mathrm{d}a} = \displaystyle\oint_{S} \left(\dfrac{1}{R^2}\right)\mathbf{\hat{r}} \cdot \mathbf{\hat{r}}\mathrm{d}a = \dfrac{1}{R^2}\displaystyle\oint_{S} \mathrm{d}a = 4 \pi

ชัดเจนเลยว่าสองข้างของสมการไม่เท่ากัน ผมทำผิดแน่ ๆ  Grin

0 \neq 4 \pi

แต่ผมลองทบทวนดูแล้วไม่เห็นว่าผิดที่ไหนครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

« Last Edit: December 17, 2011, 11:15:47 PM by JayJoonG » Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #1 on: December 28, 2011, 08:31:15 PM »

Divergence theorem ที่  r = 0 ใช้ไม่ได้
ต้องใส่ dirac delta function เพราะฟังก์ชั่นเวกเตอร์ที่ให้มาโด่งเป็นอนันต์

\mathbf \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} = 4 \pi \delta(r)
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #2 on: December 29, 2011, 05:43:27 PM »

...Divergence theorem ที่  r = 0 ใช้ไม่ได้
ต้องใส่ dirac delta function เพราะฟังก์ชั่นเวกเตอร์ที่ให้มาโด่งเป็นอนันต์...
อ๋อ เพิ่งจะได้เรียนเองครับ  Grin
...\mathbf \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} = 4 \pi \delta(r)...
ต้องเป็น \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi \delta^3(\mathbf{r}) หรือเปล่่าครับ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: