ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41529 Posts in 6269 Topics- by 9369 Members - Latest Member: Anuchyd23
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามปัญหาคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการในวิชาเวกเตอร์
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ตัวดำเนินการในวิชาเวกเตอร์  (Read 2399 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« on: December 10, 2011, 10:29:06 PM »

ในวิชาการวิเคราะห์เวกเตอร์ (Vector Analysis) จะมีกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเวกเตอร์สองฟังก์ชันที่คูณกัน ผมไปสังเกตเห็นกฎนี้เข้า

\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A})

ผมก็เลยสงสัยว่าเวกเตอร์ (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} และ \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) จะเขียนในรูปองค์ประกอบขององค์ประกอบของ \mathbf{A} , \mathbf{B} ,และ \nabla ได้อย่างไร ?

เริ่มจาก (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} ก่อน

ผมมองว่า (\mathbf{A} \cdot \nabla) = (A_x\mathbf{\hat{x}} + A_y\mathbf{\hat{y}} + A_z\mathbf{\hat{z}}) \cdot \left( \mathbf{\hat{x}}\dfrac{\partial}{\partial x} + \mathbf{\hat{y}}\dfrac{\partial}{\partial y} + \mathbf{\hat{z}}\dfrac{\partial}{\partial z}\right) = A_x\dfrac{\partial}{\partial x} + A_y\dfrac{\partial}{\partial y} + A_z\dfrac{\partial}{\partial z}

ดังนั้นแล้ว

\begin{array}{rcl} (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} &=& \left( A_x\dfrac{\partial}{\partial x} + A_y\dfrac{\partial}{\partial y} + A_z\dfrac{\partial}{\partial z} \right)( B_x\mathbf{\hat{x}} + B_y\mathbf{\hat{y}} + B_z\mathbf{\hat{z}}) \cr &=& \left(A_x\dfrac{\partial B_x}{\partial x} + A_y\dfrac{\partial B_x}{\partial y} + A_z\dfrac{\partial B_x}{\partial z}\right)\mathbf{\hat{x}} + \left(A_x\dfrac{\partial B_y}{\partial x} + A_y\dfrac{\partial B_y}{\partial y} + A_z\dfrac{\partial B_y}{\partial z}\right)\mathbf{\hat{y}} + \left(A_x\dfrac{\partial B_z}{\partial x} + A_y\dfrac{\partial B_z}{\partial y} + A_z\dfrac{\partial B_z}{\partial z}\right)\mathbf{\hat{z}} \end{array}

ส่วน \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) ไม่ยากเท่าไหร่

เริ่มจาก \nabla \cdot \mathbf{B} \equiv \dfrac{\partial B_x}{\partial x} + \dfrac{\partial B_y}{\partial y} + \dfrac{\partial B_z}{\partial z}

ดังนั้นแล้ว

\begin{array}{rcl} \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) &=& (A_x\mathbf{\hat{x}} + A_y\mathbf{\hat{y}} + A_z\mathbf{\hat{z}})\left(\dfrac{\partial B_x}{\partial x} + \dfrac{\partial B_y}{\partial y} + \dfrac{\partial B_z}{\partial z}\right) \cr &=& \left(A_x\dfrac{\partial B_x}{\partial x} + A_x\dfrac{\partial B_y}{\partial y} + A_x\dfrac{\partial B_z}{\partial z}\right)\mathbf{\hat{x}} + \left(A_y\dfrac{\partial B_x}{\partial x} + A_y\dfrac{\partial B_y}{\partial y} + A_y\dfrac{\partial B_z}{\partial z}\right)\mathbf{\hat{y}} + \left(A_z\dfrac{\partial B_x}{\partial x} + A_z\dfrac{\partial B_y}{\partial y} + A_z\dfrac{\partial B_z}{\partial z}\right)\mathbf{\hat{z}} \end{array}

ที่ผมคิดแบบนี้ถูกไหม ไม่มั่นใจเลย ใครที่เข้าใจในเรื่องนี้ช่วยตรวจดูให้หน่อย ขอบคุณครับ
Logged
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #1 on: December 10, 2011, 10:48:49 PM »

ส่วนใหญ่ ที่เห็นทำ เขามักจะแยก ส่วนประกอบ เช่น ทำฉะนั้น x จะได้

∇×(A×B)x=∂y(A×B)z-∂z(A×B)y
=∂y(AxBy-AyBx)-∂z(AzBx-AxBz)
=∂y(Ax)By-∂y(Ay)Bx-∂z(Az)Bx+∂z(Ax)Bz
+Ax∂y(By)-Ay∂y(Bx)-Az∂z(Bx)+Ax∂z(Bz)
=Ax(∂yBy+∂zBz)-(∂yAy+∂zAz)Bx
+(By∂y+Bz∂z)Ax-(Ay∂y+Az∂z)Bx
=Ax(∂xBx+∂yBy+∂zBz)-(∂xAx+∂yAy+∂zAz)Bx
+(Bx∂x+By∂y+Bz∂z)Ax-(Ax∂x+Ay∂y+Az∂z)Bx
=Ax(∇・B)-Bx(∇・A)+(B・∇)Ax-(A・∇)Bx

(ผมไป ขโมยที่คนอื่นเขาเขียน ไว้มา  buck2)
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
Piyakulw
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 111

ความยากเป็นรองความตั้งใจเสมอ


« Reply #2 on: December 10, 2011, 11:47:25 PM »

จากที่พี่เขียนบอก ก็จะได้
-(Ax∂x+Ay∂y+Az∂z)Bx = -(A・∇)Bx
ถ้าอย่างนั้น ผมถูก  Grin ขอบคุณครับ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: