ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41620 Posts in 6282 Topics- by 9891 Members - Latest Member: liu zhongzhen
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 55 - 56  (Read 12371 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
pruegsanusak
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 29
« on: December 28, 2012, 02:16:41 PM »
ข้อสอบทฤษฎี
มีทั้งหมด 5 วิชา แจกข้อสอบทีเดียว รวม 5 ชั่วโมง 9.00 - 14.00 น.  Shocked

1. แม่เหล็กไฟฟ้า อ.วุทธิพันธุ์
2. ฟิสิกส์นิวเคลียร์ (และฟิสิกส์ยุคใหม่) อ.กิตติวิทย์
3. ทัศนศาสตร์ อ.ขวัญ
4. กลศาสตร์ (ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ) อ.สุจินต์
5. กลศาสตร์เชิงสถิติและฟิสิกส์ยุคใหม่ อ.สิรพัฒน์

ข้อสอบปฏิบัติ ปีนี้แล็บไฟฟ้าครับ "Calibration of Light Sensor"

ไฟล์รวม PDF ครับ
ทฤษฎี : http://dl.dropbox.com/u/47922206/Physics/IPST_camp2_55-56_Theory.pdf
ปฏิบัติ : http://dl.dropbox.com/u/47922206/Physics/IPST_camp2_55-56_Experiment.pdf
« Last Edit: December 28, 2012, 09:24:41 PM by pruegsanusak » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6358


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: December 28, 2012, 02:25:22 PM »
ขอบคุณครับ  smitten
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
pruegsanusak
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 29
« Reply #2 on: December 28, 2012, 02:32:22 PM »
ไฟล์เป็นรูปครับ จะได้ดูง่ายๆ  Grin
« Last Edit: December 28, 2012, 02:46:21 PM by pruegsanusak » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #3 on: December 28, 2012, 03:55:16 PM »
ขอลองทำส่วนของกลศาสตร์ก่อนเลยนะครับ  Smiley

1. ตอนแรกนั้นในกรอบ S มวลทั้งสองอยู่นิ่งตอนปล่อยพอดี จึงได้ว่าโมเมนตัมรวมของระบบเป็น 0

     E^2 - p^2c^2 = (2mc^2)^2 = M^2 c^4 ตามนิยามของมวลนิ่งของระบบ

     จึงได้มวลนิ่งของระบบนี้ตอนแรกเป็น M = 2m

2. ในกรอบ S วัตถุมีเพียงอัตราเร็วในแกน Y ดังนั้นจากกฎข้อสองของนิวตันได้  f_y = \dfrac{dp_y}{dt} = m \dfrac{d (\gamma v)}{dt} = \gamma^3 m \dfrac{dv}{dt}

    ดังนั้น  \dfrac{dv}{dt} &=& \dfrac{f_y}{m \gamma^3} &=& \dfrac{ ( 1 - \frac{v^2}{c^2})^{3/2} f_y}{m}

3. อัตราการทำงานของแรง f_y ก็คือ P = f_y v  ในกรอบ S

4. ในกรอบ S' เราจะเขียนการแปลงอัตราเร็วได้ว่า

    v_y &=& \dfrac{v}{\gamma_u} &=& v \sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}

    v_x &=& u

5. จากการเขียน 4-FORCE เราสามารถเขียนการแปลงแรงในแนวแกน X ได้ว่า

   f_x^\prime &=& f_x + \dfrac{u(f \cdot v)}{c^2} &=& \dfrac{uvf_y}{c^2}

   ซึ่งสำหรับอนุภาค B ในแกน X ก็เป็นเช่นนี้เช่นกัน ดังนั้น แรงลัพธ์ต่อระบบมวล AB คือ \dfrac{2uvf_y}{c^2}

6.  P_x^\prime &=& \dfrac{ mu}{\sqrt{1+\frac{u^2+(v/\gamma_u)^2}{c^2}}} &=& \dfrac{mu}{ \sqrt{(1-\frac{u^2}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})}}

    จึงได้ว่า \dfrac{dP_x^\prime }{dt^\prime} &=& \dfrac{mu}{ \sqrt{(1-\frac{u^2}{c^2})}} \dfrac{d \gamma}{dt} \dfrac{dt}{dt^\prime} &=& \dfrac{mu}{ \sqrt{(1-\frac{u^2}{c^2})}} \dfrac{\gamma^3 v \frac{dv}{dt}}{c^2} \dfrac{dt}{dt^\prime} แต่จาก time dilation \dfrac{dt}{dt^\prime} &=& \sqrt{ 1 - \dfrac{u^2}{c^2}}
    ดังนั้น \dfrac{dP_x^\prime }{dt^\prime} &=& uv \dfrac{\gamma^3 m \frac{dv}{dt}}{c^2} &=& \dfrac{uvf_y}{c^2}

    ซึ่งสอดคล้องกันพอดีกับขนาดของแรง f_x^\prime ที่หามาได้ในข้อ 5

7. คราวนี้ในกรอบ S' เห็นว่าระบบมวลมีพลังงานรวม 2\gamma_u \gamma_v mc^2 (ใช้ที่โจทย์แนะ) มีโมเมนตัม (แกน Y หักล้างกันหมด) 2\gamma_u \gamma_v mu

    ดังนั้นจากนิยามของมวลนิ่ง เราได้ว่า E^2 - p^2 c^2 &=& \gamma_v^2 (4m^2 c^4) = M^2 c^4

    จึงได้มวลนิ่งของระบบเป็น M = \gamma_v (2m) &=& \dfrac{2m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

8. โมเมนตัมรวมของระบบก็เอาของแต่ละตัวมาคูณ 2 เพราะมีทิศในแกน X เหมือนกัน ขนาดเท่ากันด้วยจากความสมมาตร

    P_{Tx}^\prime &=& \dfrac{2mu}{ \sqrt{(1-\frac{u^2}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})}}

    จากการทำแบบเดียวกับข้อ 6 เราได้  \dfrac{dP_{Tx}^\prime }{dt^\prime} &=& 2uv \dfrac{\gamma^3 m \frac{dv}{dt}}{c^2} &=& \dfrac{2uvf_y}{c^2}

    ซึ่งสอดคล้องกันพอดีกับขนาดของแรงลัพธ์ f_{Tx}^\prime ที่หามาในได้ข้อ 5   coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
« Last Edit: December 28, 2012, 04:04:39 PM by dy » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #4 on: December 28, 2012, 10:26:22 PM »
ขอลองวิชา แม่เหล็กไฟฟ้า ต่อเลยนะครับ

ข้อ 1.

ก)  ก่อนอื่นหาแรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำก่อน จากกฎของ Faraday เราได้ว่า  d \varepsilon &=& (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d \vec{r} &=& B \omega rdr

จึงได้ \varepsilon &=& B \omega \displaystyle \int_{0}^{a} rdr &=& \dfrac{1}{2} B \omega a^2

จากนั้น หาสนามแม่เหล็กในวงลวด เนื่องจากลวดยาวมาก ประมาณได้ว่า สนามสม่ำเสมอ จึงใช้กฎของแอมแปร์ได้

\displaystyle \oint_{} \; \vec{B} \cdot d \vec{l} &=& \mu_0 I_{encl}  จะได้ว่า B &=& \dfrac{ \mu_0 Ni}{l}

ต่อไปหาค่าความเหนี่ยวนำตัวเองของวงลวด  จากรูป (โจทย์ไม่ได้ให้รัศมีลวดมา) ผมจะประมาณว่า รัศมีลวดไม่ต่างจากแผ่นจานมากนัก เลยใช้รัศมีจานเป็นของลวดได้

จะได้ฟลักซ์ที่เกิดจากการเหนี่ยวนำตัวเองผ่านทั้งลวดเป็น \phi &=& NB \pi a^2 &=& \dfrac{\mu_0 N^2 i \pi a^2}{l}

ดังนั้น ค่าความเหนี่ยวนำตัวเองของวงลวดคือ L &=& \dfrac{ \phi}{i} &=& \dfrac{\mu_0 N^2 \pi a^2}{l}

สุดท้าย ใช้ Kirchhoff's loop rule ได้ว่า \varepsilon &=& L \dfrac{di}{dt} + Ri &=& \dfrac{\mu_0 Ni \omega a^2}{2l}

จะได้สมการเป็น L\dfrac{di}{dt} &=& ( \dfrac{\mu_0 N\omega a^2}{2l} - R)i อินทิเกรตดังนี้

\displaystyle \int_{i=i(0)}^{i=i(t)} \dfrac{di}{i} &=& \displaystyle \int_{0}^{t} - \dfrac{( R - \dfrac{\mu_0 N\omega a^2}{2l})}{L} dt

ได้ i(t) &=& i(0) e^{ -\left(\frac{Rl}{\mu_0 N^2 \pi a^2} - \frac{ \omega}{2\pi N}\right)t }

ข) ถ้ากระแสจะคงที่ได้ เทอมบน exponential ต้องเป็น 0 จึงได้ \dfrac{Rl}{\mu_0 N^2 \pi a^2} - \dfrac{ \omega}{2\pi N} &=& 0

จะได้ \omega &=& \dfrac{2Rl}{\mu_0 N a^2}

ค) ถ้ากระแสจะคงที่ได้ จะต้องไม่มีการเสียพลังงานไปในลวด บ่งว่ากำลังที่ใส่เข้าไปในการหมุนจาน จะต้องเท่ากับ กำลังที่เสียไปในตัวต้านทาน จึงได้ กำลังที่ใส่ไปเป็น i^2(0)R

ง) ถ้าหมุนกลับทิศ แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำจะกลับกระแสคนละทาง แต่การไหลยังเหมือนเดิม จึงได้สมการ \varepsilon &=& L \dfrac{di}{dt} + Ri &=& -\dfrac{\mu_0 Ni \omega a^2}{2l}  เห็นได้ว่ายังไงก็เป็น exponential decay อยู่ดี ดังนั้นไม่มีทางที่กระแสจะงอกโตขึ้นเรื่อยๆ หากหมุนกลับทาง  coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
« Last Edit: December 29, 2012, 11:26:34 AM by dy » Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #5 on: December 29, 2012, 08:23:19 PM »
แม่เหล็กไฟฟ้าข้อ 2

เรามองว่าวงจรสมมูลเป็นดังรูปข้างล่างครับ (ตัวต้านทานไม่รู้ค่าต่อขนานกับตัวเหนี่ยวนำ ตัวต้านทานรู้ค่า และแบตเตอรี่)

เมื่อไม่มีกระแสไหลผ่าน Galvanometer กระแสไฟฟ้าใน loop ข้างล่างจะเป็น 0

ใช้ Kirchhoff's Loop Rule กับ loop ล่างจะได้ว่า

\displaystyle \frac{1}{2}B \omega a^2 = ir

\displaystyle B=\frac{\mu_0iN}{L}

แก้สมการหา \displaystyle r ได้ \displaystyle r=\frac{\mu_0N \omega a^2}{2L} Wink
Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 384


Every problem has its solution, and its time,too.
« Reply #6 on: December 07, 2013, 01:10:12 PM »
ขอลองทำของ อ.สิรพัฒน์ นะครับ

1) เนื่องจากไม่มีคลื่นนอกล่อง เราจะได้เงื่อนไขว่า  k_x &=& \dfrac{n_x \pi}{L} และเป็นเช่นนี้กับแกน y,z ด้วย

จึงได้ว่า k &=& \sqrt{ k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 } &=& \sqrt{ n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} \dfrac{\pi}{L} &=& \dfrac{ 2 \pi}{ \lambda}

และได้ว่า p &=& \dfrac{h}{\lambda} &=& \dfrac{ \sqrt{ n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} \; h}{2L}

จึงได้ว่าพลังงานของโปรตอนคือ E &=& \dfrac{p^2}{2m_p} &=& \dfrac{( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 )h^2}{8m_p L^2}

2) จำนวนสถานะที่เป็นไปได้ เทียบกับจุด 1 หน่วยใน n-SPACE ที่โจทย์บอก ก็คือปริมาตรใน n-SPACE นั่นเอง  และในที่นี้ เราจะคิดแค่ 1/8 ของปริมาตรทั้งหมด แล้วคูณด้วย 2 จากการที่โปรตอนมีสปินทั้งขึ้นและลง จะได้ว่า

\eta &=& \dfrac{1}{8} \times 2\times \dfrac{4}{3} \pi n_r^3 &=& \dfrac{1}{3} \pi n_r^3

3) จากข้อ 1) n_r &=& \dfrac{L}{h} \sqrt{8m_pE} จะได้ว่า \eta &=& \dfrac{\pi L^3}{3h^3} (8m_p E)^{3/2} &=& \dfrac{\pi V}{3h^3} (8m_p E)^{3/2}

4) g(E) &=& \dfrac{d \eta}{dE} &=& \dfrac{4 \pi m_p V}{h^3} \sqrt{8m_p E}

5) N(E) &=& g(E) P(E) &=& \dfrac{4 \pi m_p V}{h^3} \sqrt{8m_p E} e^{-\frac{E}{k_BT}} จะได้กราฟเป็นแบบที่แอ่นขึ้นในช่วงแรกด้วยพจน์ \sqrt{E} แล้วจึงตกลงด้วยพจน์ exponential

6) ถ้า T = 0 เราจะเห็นได้ว่าในช่วง E < E_F นั้น  P(E) = 1 และในช่วง E > E_F นั้น P(E) &=& 0 ก็นำไปเขียนกราฟจะได้แบบไม่ต่อเนื่องครับ

7) N(E) &=& g(E)P(E) &=& \dfrac{4 \pi m_p V}{h^3 ( 1 + e^{\frac{E-E_F}{k_B T}} )} \sqrt{8m_p E}

8 ) ใช้เหตุผลในข้อ 6) จะได้กราฟของ g(E) ในช่วง E<E_F และตกลงเป็น 0 ในช่วง E > E_F ครับ

9) เรารู้ว่าจำนวนโปรตอนทั้งหมดรวมกันได้ N_0 จึงได้ว่า \displaystyle \int_{0}^{E_F} g(E)P(E) dE &=& N_0

ที่ T=0 ได้ว่า \dfrac{\pi V}{3h^3} (8m_p E_F)^{3/2} &=& N_0 ดังนั้น E_F &=& \dfrac{h^2}{8m_p} \left( \dfrac{3N_0}{ \pi V} \right)^{2/3}

10) เราจะคิดว่า ถ้าเราขยับจากตำแหน่งหนึ่งไปเท่ากับระยะห่างเฉลี่ยระหว่างโปรตอน เราจะต้องเจอแน่นอน 1 โปรตอน เราคิดระยะทางเฉลี่ย จากการจำลองว่า มีปริมาตรลูกบาศก์โปรตอนมากมายรวมกัน จะได้ว่า N_0 (\Delta x)^3 \approx V

ได้ \Delta x \approx \left(\dfrac{V}{N_0} \right)^{1/3}  ซึ่งค่านี้คือความไม่แน่นอนในตำแหน่งนั่นเอง

จึงได้ว่า \Delta p \approx p \approx \dfrac{h}{2 \left(\dfrac{V}{N_0} \right)^{1/3}}

และได้ว่า E_F \approx \dfrac{p^2}{2m_p} &=& \dfrac{h^2}{8m_p} \left(\dfrac{N_0}{V} \right)^{2/3} ซึ่งใกล้เคียงกับคำตอบในข้อ 9) มากเนื่องจาก 3 \approx \pi  coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
Logged
smitten   Cool (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #7 on: May 22, 2014, 07:19:10 PM »
Bragg Grating! Grin


1. ในกรณีทั่วไป (ไม่จำเป็นว่าแสงต้องตกกระทบตั้งฉากผิวรอยต่อ) Boundary conditions ได้แก่

(1) สนามไฟฟ้า \displaystyle \vec{E} และ magnetic field strength \displaystyle \vec{H} \left( \equiv \frac{\vec{B}}{\mu} \right) ต่อเนื่องในแนวขนานผิวรอยต่อ \displaystyle \left( \mu = K_m\mu_0 \right)

(2) displacement \displaystyle \vec{D}\left( \equiv \epsilon\vec{E} \right) และสนามแม่เหล็ก \displaystyle \vec{B} ต่อเนื่องในแนวตั้งฉากผิวรอยต่อ \displaystyle \left( \epsilon = K\epsilon_0 \right)


ในข้อนี้แสงตกกระทบตั้งฉากผิวรอยต่อ ดังนั้นทั้ง E,H,D,B อยู่ในแนวขนานผิวรอยต่อทั้งหมด (ไม่มีองค์ประกอบใดอยู่ในแนวตั้งฉากผิวรอยต่อเลย)
พิจารณาแสงเดินทางจากตัวกลางที่ 1 ไปยัง 2

สมการที่ 1 คือ สนามไฟฟ้าต่อเนื่องในแนวขนานผิวรอยต่อ

\displaystyle E_i + E_r = E_t --> (1)


สมการที่ 2 คือ magnetic field strength ต่อเนื่องในแนวขนานผิวรอยต่อ

\displaystyle \frac{B_i}{\mu_0} - \frac{B_r}{\mu_0} = \frac{B_t}{\mu_0}-->(2)

(ถือว่าทั้งสองตัวกลางไม่ใช่สารแม่เหล็ก ดังนั้น \displaystyle K_m = 1 และ \displaystyle \mu = \mu_0


สมการที่ 3 คือ ความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟ้ากับสนามแม่เหล็ก

\displaystyle E_i = \frac{c}{n_1}B_i

\displaystyle E_r = \frac{c}{n_1}B_r

\displaystyle E_t = \frac{c}{n_2}B_t

สะสางได้สัมประสิทธิ์การสะท้อน สำหรับแสงเดินทางจากตัวกลาง 1 ไป 2 \displaystyle r_{1\to 2}\equiv\frac{E_r}{E_i}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}

โจทย์กำหนด \displaystyle \Delta n\equiv n_2-n_1 และ \displaystyle n_1\approx n_2 \equiv n
 
จึงได้ว่า \displaystyle r_{1\to 2}=-\frac{\Delta n}{2n}

*\displaystyle n_1 และ \displaystyle n_2 ประมาณเท่ากันในเชิงการบวกได้ (บวกกันได้ \displaystyle 2n) แต่ประมาณเท่ากันในเชิงการลบไม่ได้ เพราะไม่งั้นก็ลบกันเหลือ 0 น่ะสิ!

และสัมประสิทธิ์การสะท้อน สำหรับแสงเดินทางจากตัวกลาง 2 ไป 1 \displaystyle r_{2\to 1}=\frac{\Delta n}{2n}

2.
มีแสงหลายชุดที่ย้อนกลับมายังจุดเริ่มต้นอีกที ได้แก่ แสงที่สะท้อนขอบซ้ายของแผ่นที่ 1, แสงที่สะท้อนขอบขวาของแผ่นที่ 1, แสงที่สะท้อนขอบซ้ายของแผ่นที่ 2, แสงที่สะท้อนขอบขวาของแผ่นที่ 2, แสงที่สะท้อนขอบซ้ายของแผ่นที่ 3, แสงที่สะท้อนขอบขวาของแผ่นที่ 3, ..., แสงที่สะท้อนขอบซ้ายของแผ่นที่ N, แสงที่สะท้อนขอบขวาของแผ่นที่ N

ให้สัมประสิทธิ์การส่งผ่าน t\approx 1

ตัดเทอม r^2 ทิ้งได้ แปลว่า ให้คิดว่ามีการสะท้อนเพียงครั้งเดียว นั่นคือ เราคิดถึงแสงจากจุดเริ่มต้น มาสะท้อนแผ่นที่ p แล้วกลับไปยังจุดเริ่มต้นเลยเท่านั้น
แสงที่สะท้อนแผ่นที่ p แล้วไปสะท้อนแผ่นที่ q อื่นอีก มีแอมพลิจูดน้อยมากจนไม่ต้องคำนึงถึง

แสงที่สะท้อนขอบซ้ายของแผ่นที่ 1 แล้วกลับมายังจุดเริ่มต้น มีสมการเป็น \displaystyle r_{1\to 2}E_0e^{i\omega t} (เป็นสัมประสิทธิ์การสะท้อน สำหรับแสงเดินทางจากตัวกลาง 1 ไป 2)

แสงที่สะท้อนขอบขวาของแผ่นที่ 1 แล้วกลับมายังจุดเริ่มต้น มีสมการเป็น \displaystyle r_{2\to 1}E_0e^{i\left( \omega t + k_2s \right)} (เป็นสัมประสิทธิ์การสะท้อน สำหรับแสงเดินทางจากตัวกลาง 2 ไป 1) (มีเฟสเพิ่มขึ้นจากอันข้างบนเนื่องจากแสงเดินทางยาวกว่า แสงเดินทางในตัวกลางที่ 2 จึงต้องใช้ \displaystyle k_2 และเดินทางเป็นระยะ \displaystyle 2\times s/2)

แสงที่สะท้อนขอบซ้ายของแผ่นที่ 2 แล้วกลับมายังจุดเริ่มต้น มีสมการเป็น \displaystyle r_{1\to 2}E_0e^{i\left( \omega t + k_1s + k_2s \right)} (มีเฟสเพิ่มขึ้นเนื่องจากแสงเดินทางยาวกว่า แสงเดินทางในตัวกลางที่ 1 ได้ระยะ \displaystyle 2\times s/2 และเดินทางในตัวกลางที่ 2 ได้ระยะ \displaystyle 2\times s/2)

แสงที่สะท้อนขอบขวาของแผ่นที่ 2 แล้วกลับมายังจุดเริ่มต้น มีสมการเป็น \displaystyle r_{2\to 1}E_0e^{i\left( \omega t + k_1s + 2k_2s \right)}

แสงที่สะท้อนขอบซ้ายของแผ่นที่ 3 แล้วกลับมายังจุดเริ่มต้น มีสมการเป็น \displaystyle r_{1\to 2}E_0e^{i\left( \omega t + 2k_1s + 2k_2s \right)}

แสงที่สะท้อนขอบขวาของแผ่นที่ 3 แล้วกลับมายังจุดเริ่มต้น มีสมการเป็น \displaystyle r_{2\to 1}E_0e^{i\left( \omega t + 2k_1s + 3k_2s \right)}

...
...
...

แสงที่กลับมายังจุดเริ่มต้น รวมทั้งหมด คือ

\displaystyle \left( r_{1\to 2}E_0e^{i\omega t} + r_{2\to 1}E_0e^{i\left( \omega t + k_2s \right)} \right) + \left( r_{1\to 2}E_0e^{i\left( \omega t + k_1s + k_2s \right)} + r_{2\to 1}E_0e^{i\left( \omega t + k_1s + 2k_2s \right)} \right) + \left( r_{1\to 2}E_0e^{i\left( \omega t + 2k_1s + 2k_2s \right)} + r_{2\to 1}E_0e^{i\left( \omega t + 2k_1s + 3k_2s \right)} \right) + ...

จำนวน N วงเล็บ

\displaystyle =\frac{\Delta n}{2n}E_0e^{i \omega t}\left( e^{ik_2s} - 1 \right) + \frac{\Delta n}{2n}E_0e^{i \omega t}\left( e^{ik_2s} - 1 \right)e^{i\left( k_1s+k_2s \right)}+ \frac{\Delta n}{2n}E_0e^{i \omega t}\left( e^{ik_2s} - 1 \right)e^{i\left( 2k_1s+2k_2s \right)}+...

จำนวน N พจน์


เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี
 
\displaystyle a_1 = \frac{\Delta n}{2n}E_0e^{i \omega t}\left( e^{ik_2s} - 1 \right)

อัตราส่วนร่วม \displaystyle r = e^{i\left( k_1+k_2 \right)s}

จำนวนพจน์ N

จะหาผลบวกได้จากสูตร

\displaystyle S_n = \frac{a_1\left( 1 - r^n \right)}{1-r}

\displaystyle =\frac{\Delta n}{2n}E_0e^{i \omega t}\left( e^{ik_2s} - 1 \right)\frac{1 - e^{iN\left( k_1+k_2 \right)s}}{1 - e^{i\left( k_1+k_2 \right)s}}


เทคนิคคณิตศาสตร์
\displaystyle \frac{1-e^{iA}}{1-e^{iB}} = \left( \frac{e^{-i\frac{A}{2}}}{e^{-i\frac{B}{2}}}\frac{1-e^{iA}}{1-e^{iB}} \right) \frac{e^{i\frac{A}{2}}}{e^{i\frac{B}{2}}}

\displaystyle = \left( \frac{e^{-i\frac{A}{2}} - e^{i\frac{A}{2}}}{e^{-i\frac{B}{2}} - e^{i\frac{B}{2}}} \right) \frac{e^{i\frac{A}{2}}}{e^{i\frac{B}{2}}}

\displaystyle = \left( \frac{-2i\sin\frac{A}{2}}{-2i\sin\frac{B}{2}} \right) \frac{e^{i\frac{A}{2}}}{e^{i\frac{B}{2}}}

\displaystyle = \frac{\sin\frac{A}{2}}{\sin\frac{B}{2}}e^{i\frac{A-B}{2}}


ดังนั้น \displaystyle \frac{1 - e^{iN\left( k_1+k_2 \right)s}}{1 - e^{i\left( k_1+k_2 \right)s}} = \frac{\sin\frac{N\left( k_1+k_2 \right)s}{2}}{\sin\frac{\left( k_1+k_2 \right)s}{2}}e^{\frac{i}{2}\left( (N-1)\left( k_1+k_2 \right)s \right)}

และ \displaystyle e^{ik_2s} - 1 = e^{i\frac{k_2s}{2}}2i\sin\frac{k_2s}{2}

จึงได้ \displaystyle S_n = \frac{\Delta n}{2n}E_0e^{i\frac{k_2s}{2}}2i\sin\frac{k_2s}{2}\frac{\sin\frac{N\left( k_1+k_2 \right)s}{2}}{\sin\frac{\left( k_1+k_2 \right)s}{2}}e^{\frac{i}{2}\left( (N-1)\left( k_1+k_2 \right)s \right)}

\displaystyle = \frac{\Delta n}{n}E_0\frac{\sin\frac{k_2s}{2} \sin\frac{N\left( k_1+k_2 \right)s}{2}}{\sin\frac{\left( k_1+k_2 \right)s}{2}}e^{i\left( \omega t + \frac{k_2s}{2} + \frac{N-1}{2}\left( k_1+k_2 \right)s +\frac{\pi}{2} \right)}

โจทย์กำหนด \displaystyle \delta\equiv\frac{4\pi ns}{\lambda_0}

ดังนั้น \displaystyle k_2s = \frac{2\pi}{\lambda_0/n_2}s = \frac{2\pi ns}{\lambda_0} = \frac{\delta}{2}

และ \displaystyle \left( k_1+k_2 \right)s = \delta

จึงได้ \displaystyle S_n = \frac{\Delta n}{n}E_0\frac{\sin\frac{\delta}{4} \sin\frac{N\delta}{2}}{\sin\frac{\delta}{2}}e^{i\left( \omega t + \frac{k_2s}{2} + \frac{N-1}{2}\left( k_1+k_2 \right)s +\frac{\pi}{2} \right)}

\displaystyle = \frac{\Delta n}{n}E_0\frac{\sin\frac{\delta}{4} \sin\frac{N\delta}{2}}{2\sin\frac{\delta}{4}\cos\frac{\delta}{4}}e^{i\left( \omega t + \frac{k_2s}{2} + \frac{N-1}{2}\left( k_1+k_2 \right)s +\frac{\pi}{2} \right)}

ดังนั้น อัตราส่วน แอมพลิจูดรวมของคลื่นสะท้อน/\displaystyle E_0 คือ \displaystyle \frac{\Delta n}{n}\frac{\sin\frac{N\delta}{2}}{2\cos\frac{\delta}{4}}

reflectance R คือ กำลังสองของอัตราส่วนแอมพลิจูดดังกล่าว

ดังนั้น \displaystyle R = \left( \frac{\Delta n}{n} \right)^2 \frac{\sin^2\frac{N\delta}{2}}{4\cos^2\frac{\delta}{4}} ยาวจัง buck2
« Last Edit: May 23, 2014, 12:26:45 AM by saris2538 » Logged
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96
« Reply #8 on: May 22, 2014, 11:59:00 PM »
3. R มีค่าสูงสุดเมื่อ \displaystyle \frac{\Delta n}{n}\frac{\sin\frac{N\delta}{2}}{2\cos\frac{\delta}{4}} มีค่าสูงสุด

นั่นคือเมื่อ \displaystyle \frac{\sin\frac{N\delta}{2}}{\cos\frac{\delta}{4}} = \frac{0}{0} หรือ เศษและส่วนเป็น 0 "พร้อมกัน" (ใครรู้ช่วยบอกทีครับว่าทำไม ก็ใน pedrotti เขาชอบทำแบบนี้เวลาหาค่าสูงสุดในเรื่องการแทรกสอดตลอดเลย)

\displaystyle \sin\frac{N\delta}{2} = 0 เมื่อ \displaystyle \frac{N\delta}{2} = 0,\pi,2\pi,3\pi,.. หรือเมื่อ \displaystyle \delta = 0,\frac{2\pi}{N},\frac{4\pi}{N},\frac{6\pi}{N},...\in A

\displaystyle \cos\frac{\delta}{4} = 0 เมื่อ \displaystyle \frac{\delta}{4} = \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},... หรือเมื่อ \displaystyle \delta = 2\pi,6\pi,10\pi,...\in B

\delta ซึ่งทำให้เศษและส่วนเป็น 0 พร้อมกัน ต้องเป็นสมาชิกของ A\cap B แต่ B\subset A ดังนั้น A\cap B = B

ดังนั้น R มีค่าสูงสุดเมื่อ \displaystyle \delta = 2\pi,6\pi,10\pi,... หรือเมื่อ \displaystyle \delta = \left( 4p+2 \right)\pi โดย p\in I^+

นั่นคือเมื่อ \displaystyle \frac{4\pi ns}{\lambda_0} = \left( 4p+2 \right)\pi หรือ \displaystyle \frac{ns}{\lambda_0} = p+\frac{1}{2}

ค่าอัตราส่วนแอมพลิจูดสูงสุด หาได้จาก \displaystyle \lim_{\delta \to 2\pi} \frac{\Delta n}{n}\frac{\sin\frac{N\delta}{2}}{2\cos\frac{\delta}{4}}

ให้ \displaystyle \frac{\delta}{4} \equiv y

ค่าอัตราส่วนแอมพลิจูดสูงสุด หาได้จาก \displaystyle \lim_{y \to \frac{\pi}{2}} \frac{\Delta n}{n}\frac{\sin2Ny}{2\cos y}

พิจารณา \displaystyle \lim_{y \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin2Ny}{\cos y}

\displaystyle \frac{\sin2N \left( \frac{\pi}{2} \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{2} \right)} = \frac{0}{0} อยู่ในรูปที่ใช้กฎโลปิตาลได้

จะได้ \displaystyle \lim_{y \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin2Ny}{\cos y} = \lim_{y \to \frac{\pi}{2}} \frac{2N \cos 2Ny}{-\sin y} = \pm 2N

ดังนั้น \displaystyle R_{\text{max}} = \left( \frac{\Delta n}{n} \right)^2 \left( \frac{\sin^2\frac{N\delta}{2}}{4\cos^2\frac{\delta}{4}} \right)_{\text{max}}

\displaystyle R_{\text{max}} = \left( \frac{\Delta n}{n} \right)^2 N^2


4. \displaystyle \delta_{\text{min}} = 2\pi = \frac{4\pi ns}{\lambda_B}

\displaystyle \lambda_B = 2ns


5. ที่ \displaystyle \delta = 2\pi, \displaystyle \frac{\sin\frac{N\delta}{2}}{\cos\frac{\delta}{4}} มีค่าสูงสุด

ที่ \displaystyle \delta = 2\pi - \frac{2\pi}{N}, \displaystyle \frac{\sin\frac{N\delta}{2}}{\cos\frac{\delta}{4}} = \frac{0}{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2N} \right)} =0

เพราะฉะนั้น ที่ \displaystyle \delta = 2\pi - \frac{2\pi}{N} สมนัยกับ \lambda ที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยแล้ว R เป็น 0

\displaystyle 2\pi \left( 1- \frac{1}{N} \right) = \frac{4\pi ns}{\lambda_B + \Delta \lambda}

\displaystyle \Delta \lambda = \frac{2ns}{1- \frac{1}{N}} - \lambda_B หรือ \displaystyle \Delta \lambda = \frac{\lambda_B}{1- \frac{1}{N}} - \lambda_B


6. \displaystyle \lambda_B = 2ns

\displaystyle 900\text{ nm} = 2 \times 3.6 \times s

\displaystyle s = 125\text{ nm}


\displaystyle 60 = \frac{900}{1- \frac{1}{N}} - 900

\displaystyle 960 = \frac{900}{1- \frac{1}{N}}

\displaystyle N=16
« Last Edit: May 23, 2014, 12:21:59 AM by saris2538 » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: