ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41500 Posts in 6261 Topics- by 9229 Members - Latest Member: NONNY
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามปัญหาคณิตศาสตร์ช่วยพิสูจน์อนุกรมเทเลอร์หน่อยครับ
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ช่วยพิสูจน์อนุกรมเทเลอร์หน่อยครับ  (Read 3551 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« on: November 06, 2011, 03:20:13 PM »

ช่วยพิสูจน์อนุกรมตัวนี้หน่อยครับ \ln \left ( 1+x \right )\approx x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}...
ขอวิธีด้วยนะครับ icon adore
Logged
engrit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


« Reply #1 on: November 06, 2011, 04:24:24 PM »


  This is one of the earlier Newtonian findings.  No calculus is required!

  From the binomial theorem (generalized by Newton)
(1+x)^y=1+y x+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+...

  From the definition of logarithms and the exponential series

(1+x)^y=e^{y\ln(1+x)}=1+y\ln(1+x)+\frac{y^{2}\ln^{2}(1+x)}{2!}+...

  By equating the coefficient of y in both series, the logarithmic series is obvious!
Logged
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #2 on: November 06, 2011, 06:40:41 PM »

เอาอีกแบบ สมมติว่าเรารู้ ว่า

 \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+ ... ← คิดว่ามีอยู่ในอนุกรม ตั้งแต่ ม.ปลาย

เราจับมัน อินทิเกรต ทั้งสองข้าง

\ln \left ( 1+x \right )\approx x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}...
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #3 on: November 07, 2011, 11:50:18 AM »


  This is one of the earlier Newtonian findings.  No calculus is required!

  From the binomial theorem (generalized by Newton)
(1+x)^y=1+y x+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+...

  From the definition of logarithms and the exponential series

(1+x)^y=e^{y\ln(1+x)}=1+y\ln(1+x)+\frac{y^{2}\ln^{2}(1+x)}{2!}+...

  By equating the coefficient of y in both series, the logarithmic series is obvious!
ไม่เข้าใจตรงบรรทัดสุดท้ายนี้แหละครับ  embarassed  laugh
Logged
engrit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


« Reply #4 on: November 07, 2011, 04:07:34 PM »


  This is one of the earlier Newtonian findings.  No calculus is required!

  From the binomial theorem (generalized by Newton)
(1+x)^y=1+y x+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+...

  From the definition of logarithms and the exponential series

(1+x)^y=e^{y\ln(1+x)}=1+y\ln(1+x)+\frac{y^{2}\ln^{2}(1+x)}{2!}+...

  By equating the coefficient of y in both series, the logarithmic series is obvious!
ไม่เข้าใจตรงบรรทัดสุดท้ายนี้แหละครับ  embarassed  laugh

  It is good of you to ask.  So far we have,
(1+x)^y=1+y x+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+...=1+y\ln(1+x)+\frac{y^{2}\ln^{2}(1+x)}{2!}+...

  The terms including y must be the same on both sides:

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^2 2!}{3!}...
Logged
engrit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


« Reply #5 on: November 07, 2011, 04:22:05 PM »

เอาอีกแบบ สมมติว่าเรารู้ ว่า

 \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+ ... ← คิดว่ามีอยู่ในอนุกรม ตั้งแต่ ม.ปลาย

เราจับมัน อินทิเกรต ทั้งสองข้าง

\ln \left ( 1+x \right )\approx x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}...


  Very nice proof!  But you'd better be sure about the fact that the term-by-term integration of a power series leaves us with another convergent
series if it is ever true at all.  It turns out alright, by the way.  Tricky business!  To say the least.
Tricky business!
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #6 on: November 07, 2011, 06:16:38 PM »


  This is one of the earlier Newtonian findings.  No calculus is required!

  From the binomial theorem (generalized by Newton)
(1+x)^y=1+y x+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+...

  From the definition of logarithms and the exponential series

(1+x)^y=e^{y\ln(1+x)}=1+y\ln(1+x)+\frac{y^{2}\ln^{2}(1+x)}{2!}+...

  By equating the coefficient of y in both series, the logarithmic series is obvious!
ไม่เข้าใจตรงบรรทัดสุดท้ายนี้แหละครับ  embarassed  laugh

  It is good of you to ask.  So far we have,
(1+x)^y=1+y x+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+...=1+y\ln(1+x)+\frac{y^{2}\ln^{2}(1+x)}{2!}+...

  The terms including y must be the same on both sides:

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^2 2!}{3!}...
อ๋อเข้าใจแล้วครับ  Grin
คือ เมื่อเรากระจายทวินามไปเรื่อยๆจะได้ yx-\frac{yx^{2}}{2!}+\frac{2!yx^{3}}{3!}-\frac{3!yx^{4}}{4!}... (เมื่อเราไม่คำนึงถึงพจน์อื่นๆ)
และเมื่อเราเทียบสัมประสิทธิ์กันหน้าyก็จะได้
 \ln \left ( 1+x \right )\approx x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}...
ใช่ใหมครับ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: