ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41500 Posts in 6261 Topics- by 9229 Members - Latest Member: NONNY
Pages: « 1 2   Go Down
Print
Author Topic: ถามโจทย์หน่อยครับ  (Read 8504 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #15 on: September 17, 2011, 08:17:37 PM »

ทำได้แล้วครับ  Grin
เริ่มแบบ Hermitian (พวกอัฉริยะชอบคิดในใจ)
\displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} =\displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi/2}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} +\displaystyle  \int\limits_{\pi/2}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}  ..........(1)
กำหนดให้   u = x - \dfrac{\pi}{2}
เพราะฉะนั้น  du = dx
ใส่ไปพจน์แรกของขวามือ
 \displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi/2}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}=\displaystyle  \int\limits_{u = -\frac{\pi}{2}}^{u =0}\dfrac{du}{(1+2^{-\sin u})(1+2^{\cos u})}

สมการที่ 1 ขวามือเขียนใหม่ได้ว่า
\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} &=&\displaystyle  \int\limits_{v = 0}^{v =\pi/2}\left[\dfrac{1}{(1+2^{-\sin v})(1+2^{\cos v})} + \dfrac{1}{(1+2^{\cos v})(1+2^{\sin v})}\right ]\right] dv \cr &=& \displaystyle{ \int \limits _{v=0} ^{\frac{\pi}{2}}  \dfrac{dv}{1+2^{\cos v}}\end{array}

ทำการแปลงร่างต่อเริ่มจาก definite integral ช่วง  [0,\pi] เดี๋ยวได้ใช้คุณสมบัติของ Even function
 \displaystyle{ \int \limits _{0} ^{\pi}  \dfrac{dx}{1+2^{\cos x}} = \displaystyle{ \int \limits _{0} ^\frac{\pi}{2}  \dfrac{dx}{1+2^{\cos x}} + \displaystyle{ \int \limits _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi}  \dfrac{dx}{1+2^{\cos x}}............(2)
กำหนดให้  w = x - \pi
เพราะฉะนั้น  dw = dx
 \cos w = \cos(x-\pi) = -\cos x
ใส่พจน์แรกของสมการที่ 2
\displaystyle{ \int \limits _{0} ^\frac{\pi}{2}  \dfrac{dx}{1+2^{\cos x}} =  \displaystyle{ \int \limits _{w= -\frac{\pi}{2}} ^{w=0}  \dfrac{dw}{1+2^{(-\cos w)}}

สมการที่ 2 เขียนใหม่ได้ว่า
 \displaystyle{ \int \limits _{0} ^{\pi}  \dfrac{dx}{1+2^{\cos x}} =  \displaystyle{ \int \limits _{w= -\frac{\pi}{2}} ^{w=0}  \dfrac{dw}{1+2^{(-\cos w)}} + \displaystyle{ \int \limits _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi}  \dfrac{dx}{1+2^{\cos x}} = \displaysytle{\int \limits _{q=0} ^{q=\frac{\pi}{2}} \left[ \dfrac{1}{1+2^{(-\cos q)}} + \dfrac{1}{1+ 2^{(\cos q)}}  \right] dq}} = \int \limits_0 ^{\pi/2} dq = \dfrac{\pi}{2}

เพราะว่า \dfrac{1}{1+2^{\cos x}} เป็น Even function  \therefore \displaystyle{\int \limits _0 ^\pi = 2 \int \limits_0 ^{\pi/2}}

\displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} =\dfrac{\pi}{4}
โจทย์กำหนด definite integral ไว้  \left[ \dfrac{53\pi}{4}, \dfrac{25\pi}{4} \right] กว้าง  7\pi
เพราะฉะนั้นตอบ  \dfrac{7\pi}{4}            \heartsuit
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #16 on: September 19, 2011, 11:54:58 AM »



สมการที่ 1 ขวามือเขียนใหม่ได้ว่า
\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} &=&\displaystyle  \int\limits_{v = 0}^{v =\pi/2}\left[\dfrac{1}{(1+2^{-\sin v})(1+2^{\cos v})} + \dfrac{1}{(1+2^{\cos v})(1+2^{\sin v})}\right ]\right] dv \cr &=& \displaystyle{ \int \limits _{v=0} ^{\frac{\pi}{2}}  \dfrac{dv}{1+2^{\cos v}}\end{array}

พี่ครับvนี่แทนตัวอะไรหรือครับแล้วทำไมถึงกลายเป็น
\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} &=&\displaystyle  \int\limits_{v = 0}^{v =\pi/2}\left[\dfrac{1}{(1+2^{-\sin v})(1+2^{\cos v})} + \dfrac{1}{(1+2^{\cos v})(1+2^{\sin v})}\right ]\right] dv \cr &=& \displaystyle{ \int \limits _{v=0} ^{\frac{\pi}{2}}  \dfrac{dv}{1+2^{\cos v}}\end{array}

idiot2 uglystupid2
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #17 on: September 19, 2011, 12:41:57 PM »

\displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} =\displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi/2}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} +\displaystyle  \int\limits_{\pi/2}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}  ..........(1)
กำหนดให้   u = x - \dfrac{\pi}{2}
เพราะฉะนั้น  du = dx
ใส่ไปพจน์แรกของขวามือ
 \displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi/2}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}=\displaystyle  \int\limits_{u = -\frac{\pi}{2}}^{u =0}\dfrac{du}{(1+2^{-\sin u})(1+2^{\cos u})}

ผมแทนด้วยตัวแปร  v = u+ pi/2 แล้วแทนกลับอีกทีน่ะครับ เพื่อให้ได้รูป  cosine เพื่อคิดแบบ Even function
ถ้าแทนแค่รอบเดียวมันจะออกเป็น  sine
ถ้ายังนึกไม่ออกเดี๋ยวผมเขียนเต็มๆ ให้ครับ (ผมเห็นว่ายาวมากแล้วเลยละ 3 บรรทัด  icon adore)
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #18 on: September 20, 2011, 11:45:56 AM »

ขอฉบับเต็มหน่อยนะครับดูฉบับย่อแล้วงง bang head bang head icon adore
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #19 on: September 20, 2011, 11:44:22 PM »

ขอฉบับเต็มหน่อยนะครับดูฉบับย่อแล้วงง bang head bang head icon adore
ขอบคุณมากที่ถาม ตอนนี้ผมทำไม่ได้อย่างเก่าแล้วครับ  uglystupid2


\displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} =\displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi/2}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} +\displaystyle  \int\limits_{\pi/2}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}  ..........(1)
กำหนดให้   u = x - \dfrac{\pi}{2}
เพราะฉะนั้น  du = dx
ใส่ไปพจน์แรกของขวามือ
 \displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi/2}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}=\displaystyle  \int\limits_{u = -\frac{\pi}{2}}^{u =0}\dfrac{du}{(1+2^{-\sin u})(1+2^{\cos u})}

ดูก้อนนี้
\displaystyle  \int\limits_{u = -\frac{\pi}{2}}^{u =0}\dfrac{du}{(1+2^{-\sin u})(1+2^{\cos u})}
ทำการแทนค่า  v = u+ \pi ได้
 \sin v = \sin ( u + \pi) = -\sin u
 \cos v = \cos(u + \pi) = - \cos u
\displaystyle  \int\limits_{u = -\frac{\pi}{2}}^{u =0}\dfrac{du}{(1+2^{-\sin u})(1+2^{\cos u})}=\displaystyle \int \limits_{v=\pi/2} ^{\pi} \dfrac{dv}{(1+2^{\sin v})(1 + 2 ^{-\cos v})} บรรทัดนี้เปลี่ยน  v เป็น  x ความหมายยังคงเดิม

กลับมาดู (1) limits จะเป็นเหมือนกันทั้งสองพจน์ที่อยู่ขวามือจึงทำการรวมเข้าด้วยกัน
\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int\limits_{o}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})} &=&\displaystyle \int \limits_{x=\pi/2} ^{\pi} \dfrac{dx}{(1+2^{\sin x})(1 + 2 ^{-\cos x})}  +\displaystyle  \int\limits_{\pi/2}^{\pi}\dfrac{dx}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}  \cr  &=& \displaystyle \int \limits_{\pi/2}^{\pi} \left[\dfrac{1}{(1+2^{\sin x})(1 + 2 ^{-\cos x})} + \dfrac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}\right]dx \cr &=&\displaystyle \int \limits_{\pi/2}^{\pi} \dfrac{dx}{(1+2^{\sin x})}  \end{array}

เปลี่ยนเป็น Even function ด้วย
 v = x - \pi /2
 \sin x = \sin(v + \pi /2 ) = \cos v ได้
 \displaystyle \int \limits_{v = 0}^{\pi/2} \dfrac{dv}{(1+2^{\cos v})}

ขอบคุณที่ถามหวังว่าคงพอเป็นแนวทางได้บ้าง
ถ้ามีตรงไหนผิด หรือมีวิธีที่สะดวกกว่าแนะมาได้เลยน่ะครับ
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #20 on: September 21, 2011, 02:47:30 PM »

 \sin v = \sin ( u + \pi) = -\sin u
 \cos v = \cos(u + \pi) = - \cos u
\displaystyle  \int\limits_{u = -\frac{\pi}{2}}^{u =0}\dfrac{du}{(1+2^{-\sin u})(1+2^{\cos u})}=\displaystyle \int \limits_{v=\pi/2} ^{\pi} \dfrac{dv}{(1+2^{\sin v})(1 + 2 ^{-\cos v})} บรรทัดนี้เปลี่ยน  v เป็น  x ความหมายยังคงเดิม
ทำไมเปลี่ยนvแล้วความหมายยังคงเดิมอยู่ครับช่วยอธิบายหน่อยครับยังงงอยู่ embarassed Huh(ป.ล.ยังไม่ได้เรียนเรื่องเปลี่ยนตัวแปรเลยครับ)
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #21 on: September 21, 2011, 03:00:44 PM »

http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #22 on: September 23, 2011, 06:48:30 PM »

ขอบคุณครับสำหรับลิงค์
ว่าแต่ทำไมตอนเปลี่ยน v ตรงนี้ความหมายคงเดิมครับ
 \sin v = \sin ( u + \pi) = -\sin u
 \cos v = \cos(u + \pi) = - \cos u
\displaystyle  \int\limits_{u = -\frac{\pi}{2}}^{u =0}\dfrac{du}{(1+2^{-\sin u})(1+2^{\cos u})}=\displaystyle \int \limits_{v=\pi/2} ^{\pi} \dfrac{dv}{(1+2^{\sin v})(1 + 2 ^{-\cos v})} บรรทัดนี้เปลี่ยน  v เป็น  x ความหมายยังคงเดิม
ทำไมเปลี่ยนvแล้วความหมายยังคงเดิมอยู่ครับช่วยอธิบายหน่อยครับยังงงอยู่
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #23 on: September 23, 2011, 10:39:33 PM »

งงอะไรกัน ?
บรรทัดนี้
 v = u+ \pi เป็นการแทนค่า

หรือบรรทัดนี้
ส่วนคำพูดที่ว่า "เปลี่ยน   v เป็น  x ความหมายยังเหมือนเดิม
 v = x

 v แต่ละตัวที่ผมแทนค่าเป็นแค่ตัวแปรอย่าไปยึดติดกับบรรทัดเก่าๆ ผมขี้เกียจเปลี่ยนเป็นอักษรกรีกก็เท่านั้น

คุณ jali คงต้องศึกษาตำรา อ.จินดา ม.มหิดล จะมี 3 เล่ม ลองเล่มเขียวดูน่ะครับช่วยได้
ชื่อวิชาอาจข่มขู่เล็กน้อยแต่ข้างในเรียบเรียงดีมาก  ไม่แพงเลยเทียบกับคุณภาพถ้าเป็นฯไปได้ก็ควรเริ่มทำตั้งแต่เล่มแรก ไปจนจบ ผมทำคนเดียวไม่มี Mathematica ช่วยอาศัยเวลา 2 เดือนก่อนเปิดเทอมปีหนึ่งทำได้ สองเล่มกับอีก เล่มส้ม 2 บท (80% ขึ้นไปของแต่ละบทก็พอ บางข้อยากเกิน)
« Last Edit: September 23, 2011, 10:45:12 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #24 on: September 24, 2011, 12:37:26 PM »

ขอบคุณครับที่ช่วยแนะนำ icon adore Smiley
Logged
Pages: « 1 2   Go Up
Print
Jump to: