ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41500 Posts in 6261 Topics- by 9229 Members - Latest Member: NONNY
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: ถามโจทย์หน่อยครับ  (Read 8505 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« on: August 14, 2011, 11:23:14 AM »

เค้าถามว่า \displaystyle{\int_{\frac{25\pi }{4}}^{\frac{53\pi }{4}}\frac{1}{(1+2^{\sin x})\left ( 1+2^{\cos x} \right )}dx}มีค่าเท่าไรครับ (จะดีมากถ้าแสดงวิธีทำมาให้ด้วย) icon adore icon adore
« Last Edit: August 14, 2011, 11:42:08 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
K.P.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96



« Reply #1 on: August 14, 2011, 04:19:19 PM »

เหมือนจะเป็นข้อสอบสมาคมคณิตปีที่แล้ว ข้อสุดท้าย  buck2
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #2 on: August 16, 2011, 06:20:15 PM »

ใช่ครับมันยากมากกกกกกกกกกก จนทำไม่ค่อยได้ Cry bang head
Logged
Hermitian
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 69


« Reply #3 on: September 07, 2011, 12:58:54 AM »

โจทย์แนวนี้มักไม่ใช้วิธี integrate ตรงๆนะครับ แต่มักใช้การแบ่งช่วง และเอกลักษณ์ที่สวยงาม แบบข้อนี้ สังเกตว่า
\displaystyle \frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}+\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{-sinx}))}=\frac{1}{(1+2^{cosx})}[\frac{1}{(1+2^{sinx})}+\frac{1}{(1+2^{-sinx})}]=\frac{1}{(1+2^{cosx})}
และใช้ความสัมพันธ์ \displaystyle \sin(x+\frac{\pi }{2})=\cosx และ  \displaystyle \cos(x+\frac{\pi }{2})=-sinx จะได้ประมาณว่า
\displaystyle \int_{a}^{a+\pi}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx=\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx+\int_{a+\frac{\pi }{2}}^{a+\pi}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx
 ทีนี้เปลี่ยนตัวแปร ได้ว่า
\displaystyle \int_{a}^{a+\pi}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx=\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx+\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{((1+2^{-sinx})(1+2^{cosx}))}dx=\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{(1+2^{cosx})}dx
หลังจากได้รูปนี้แล้ว ก็ทำแบบเดิม โดยใช้ form \displaystyle \frac{1}{(1+2^{\cosx})}+\frac{1}{(1+2^{-\cosx})}=1 โดยแบ่งช่วงดีๆ เพราะความกว้างของขอบเขตการ integrate คือ \displaystyle \frac{9\pi}{2} แค่นี้ก้อได้แล้วฮะ ไม่ต้องใช้ความรู้ calculus ซักนิดเดียว  เพราะจะเหลือแต่ \int_{}^{}dx Grin Grin
« Last Edit: September 11, 2011, 03:38:45 AM by Hermitian » Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #4 on: September 07, 2011, 07:13:41 PM »

 Huh
« Last Edit: September 17, 2011, 05:51:52 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #5 on: September 07, 2011, 08:54:09 PM »

โจทย์แนวนี้มักไม่ใช้วิธี integrate ตรงๆนะครับ แต่มักใช้การแบ่งช่วง และเอกลักษณ์ที่สวยงาม แบบข้อนี้ สังเกตว่า
\displaystyle \frac{1}{((1+2^{\cosx})(1+2^{\sinx}))}+\frac{1}{((1+2^{\cosx})(1+2^{-\sinx}))}=\frac{1}{(1+2^{\cosx})}[\frac{1}{(1+2^{\sinx})}+\frac{1}{(1+2^{-\sinx})}]=\frac{1}{(1+2^{\cosx})}

ตรงกลาง มาเป็นขวามือ มาได้ยังไงครับ ?
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Hermitian
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 69


« Reply #6 on: September 08, 2011, 01:01:51 AM »

โจทย์แนวนี้มักไม่ใช้วิธี integrate ตรงๆนะครับ แต่มักใช้การแบ่งช่วง และเอกลักษณ์ที่สวยงาม แบบข้อนี้ สังเกตว่า
\displaystyle \frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}+\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{-sinx}))}=\frac{1}{(1+2^{cosx})}[\frac{1}{(1+2^{sinx})}+\frac{1}{(1+2^{-sinx})}] = \frac{1}{(1+2^{cosx})}

ตรงกลาง มาเป็นขวามือ มาได้ยังไงครับ ?

อ่อ ก็

\\ \displaystyle \frac{1}{(1+2^{\sin x})}+\frac{1}{(1+2^{-\sin x})}=\frac{1}{(1+2^{\sin x})}+\frac{1}{(1+\frac{1}{2^{\sin x}})} = \frac{1}{(1+2^{\sin x})} + \frac{2^{\sin x}}{(1+2^{\sin x})}~=~1

ครับ
« Last Edit: September 08, 2011, 01:41:56 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Hermitian
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 69


« Reply #7 on: September 08, 2011, 01:04:04 AM »

คำตอบก็คือ \frac{7\pi}{4}=5.497787144 ครับ กดเลขแล้วตรงกับที่โปรแกรมคิดใช้มั้ยครับ  smitten
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #8 on: September 08, 2011, 02:47:32 AM »


และใช้ความสัมพันธ์ \displaystyle \sin(x+\frac{\pi }{2})=\cosx และ  \displaystyle \cos(x+\frac{\pi }{2})=-sinx จะได้ประมาณว่า
\displaystyle \int_{a}^{a+\pi}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx=\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx+\int_{a+\frac{\pi }{2}}^{a+\pi}{2}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx
 

บรรทัดนี้พิมพ์ผิดหรือเปล่าครับ ?
ทำไมพจน์ที่สองของขวามือใส่  2 ล่ะครับ ?

ส่วนคำตอบ  \dfrac{7 \pi}{4} ถูกครับ  smitten
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #9 on: September 10, 2011, 12:39:39 PM »

เอ่อพี่ครับตอนเปลี่ยนตัวแปรนี้ทำยังไงเหรอครับ
อ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ idiot2 embarassed
Logged
Hermitian
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 69


« Reply #10 on: September 11, 2011, 03:40:19 AM »


และใช้ความสัมพันธ์ \displaystyle \sin(x+\frac{\pi }{2})=\cosx และ  \displaystyle \cos(x+\frac{\pi }{2})=-sinx จะได้ประมาณว่า
\displaystyle \int_{a}^{a+\pi}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx=\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx+\int_{a+\frac{\pi }{2}}^{a+\pi}{2}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx
 

บรรทัดนี้พิมพ์ผิดหรือเปล่าครับ ?
ทำไมพจน์ที่สองของขวามือใส่  2 ล่ะครับ ?
ส่วนคำตอบ  \dfrac{7 \pi}{4} ถูกครับ  smitten

แก้แล้วครับ คุณ Foggy Ritchy ขอบคุณมากครับ ลืมลบ 2 ทิ้ง แหะๆ
Logged
Hermitian
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 69


« Reply #11 on: September 11, 2011, 03:43:16 AM »

เอ่อพี่ครับตอนเปลี่ยนตัวแปรนี้ทำยังไงเหรอครับ
อ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ idiot2 embarassed

ก็เปลี่ยนตัวแปรที่อยู่หลัง d เช่น dx จาก x=1 ถึง 3 เป็น du ซึ่ง u=x+1 ก็จะต้องเป็น จาก u= 2 ถึง 4 ใช่มั้ยครับ
Logged
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930


« Reply #12 on: September 11, 2011, 12:32:35 PM »

ยังงั้นถ้าเราให้ u= x-\frac{\pi }{2} ก็ต้องอินทิเกรตจาก  u=\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}ใช่ไหมครับ
แล้วใช้  x=u+ \frac{\pi}{2} แทนลงไป แล้วก็ใช้  dx=duอีกก็จะได้  x=u
ดังนั้นก็จะได้  \int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\left (  \frac{1}{1+2^{-\sin x}}\right )\left ( \frac{1}{1+2^{\cos x}} \right )dx
แบบนี้หรือครับ idiot2 embarassed
« Last Edit: September 11, 2011, 04:14:25 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #13 on: September 11, 2011, 07:42:27 PM »

ทีนี้เปลี่ยนตัวแปร ได้ว่า
\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int_{a}^{a+\pi}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx&=&\displaystyle \int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}dx+\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{((1+2^{-sinx})(1+2^{cosx}))}dx \cr&=&\displaystyle\int_{a}^{a+\frac{\pi }{2}}\frac{1}{(1+2^{cosx})}dx  \end{array}

Quote from: Hermitian
\displaystyle \frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{sinx}))}+\frac{1}{((1+2^{cosx})(1+2^{-sinx}))}=\frac{1}{(1+2^{cosx})}

บรรทัดแรกขวามือทำไมบวกครึ่งทางแล้วกลับฟังก์ชั่นได้เลยล่ะครับ ?
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Hermitian
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 69


« Reply #14 on: September 17, 2011, 12:09:47 AM »

ให้พูดไงดีอะครับ ก็เวลาเปลี่ยนตัวแปร ช่วงที่อินทิเกรตก็จะเปลี่ยนด้วย เหมือนตอนเีปลี่ยนจาก {a+\pi,a+\pi/2 เป็น a+\pi/2,a ได้เพราะเราเปลียนตัวแปรใน function ให้เลื่อนขนานไป Pi/2 แล้วก็จะได้ฟังก์ชันแบบที่เขียนอะครับ
Logged
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
Jump to: