ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41498 Posts in 6260 Topics- by 9229 Members - Latest Member: NONNY
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: จับผิดคณิตศาสตร์  (Read 7796 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
euler_tj
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 94


« on: November 24, 2011, 07:48:03 AM »

คิดว่าหลายๆคนคงเคยเห็นการจับผิดสมการ 1=0 มาแล้ว คราวนี้มาลองแบบใหม่กันดูบ้างครับ

สมมุติเรามีจำนวนจริงค่าหนึ่ง x\in \textrm{R} โดยที่ x\neq 0,1

พิจารณาการกระจาย Taylor's Series ของฟังก์ชั่น S

         S = \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+...=\sum_{n=0 }^{\infty}x^{n}

จัดรูปสมการข้างบนใหม่เป็น

          S = -\tfrac{1}{x}(\frac{1}{1-\frac{1}{x}})= -\tfrac{1}{x}(1+x^{-1}+x^{-2}+...)= -\sum_{n=-\infty }^{-1}x^{n}  

เนื่องจากสองสมการข้างต้นคือ S เหมือนกัน ดังนั้น
  
      \sum_{n=0 }^{\infty}x^{n}=-\sum_{n=-\infty }^{-1}x^{n}

ย้ายข้างสมการใหม่ จะได้

      \sum_{-\infty}^{+\infty}x^{n}=0

หรอ?   Wink
« Last Edit: November 24, 2011, 07:53:02 AM by euler_tj » Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #1 on: December 22, 2011, 06:58:38 PM »

Taylor series ของฟังก์ชั่น S มันใช้ได้ช่วงเล็กๆ
ผมลองแทน  x = 2 ขวามือจะผิด

ใครรู้วิธีคิดเต็มๆ บอกกันบ้างน่ะครับ



ปล .จอมยุทธ์ไร้นามท่านนึง เอ่ยปากชมว่า "เนียมมากๆ"
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
euler_tj
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 94


« Reply #2 on: December 23, 2011, 10:41:12 AM »

เยี่ยมครับ! ทีนี้เราพอจะทราบกันแล้วว่า Taylor's Series นั้นก็มีข้อจำกัดอยู่ คือไม่สามารถกระจายฟังก์ชั่นไปไกลเกินจุดที่เป็น sigularity ได้ (ตัวส่วนเป็นศูนย์)
ที่นี้ใครพอจะระบุได้ว่าบรรทัดไหนบ้างที่ผิด และผิดเพราะอะไรครับ
« Last Edit: December 23, 2011, 12:41:21 PM by euler_tj » Logged
ฝากเพื่อนตอบ
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 1


« Reply #3 on: December 24, 2011, 12:23:49 AM »

การจะตอบโจทย์ข้อนี้ ต้องพิจารณาจากที่มาของสูตรก่อน
จากเรื่องอนุกรม n ตัวของ 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n สามารถหาเป็นสูตรสำเร็จได้โดยกำหนดให้
S = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n              ----(a)
นำ x คูณ (a) จะได้;  Sx = x + x^2 + x^3 + ... + x^n + x^(n+1)
นั่นคือ Sx = - 1 + 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + x^(n+1)
Sx = -1 + S + x^(n+1)
จัดรูปแล้ว ท้ายที่สุดจะได้ว่า S = [1 - x^(n+1)]/(1-x)           ----(b)
 
เราสามารถประยุกต์เป็นอนุกรมอนันต์ได้ ซึ่งนั่นก็คือ n ---> infinity
สมการ (b) จึงเหลือแค่ S = 1/(1-x) โดยมีเงื่อนไขว่า |x| < 1
หากค่า |x| >= 1 จะทำให้อนุกรมนี้ลู่ออกทันที คือมีค่าเป็น infinity และไม่สามารถเขียนว่าเท่ากับค่า S ได้ (S เป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งไม่ใช่ infinity)
 
ดังนั้น โจทย์ข้อนี้จึงมีข้อผิด นั่นคือ
เมื่อ 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...  แสดงว่า |x| <1
เพราะฉะนั้น จึงไม่สามารถเขียนต่อได้ว่า 1/(1-(1/x)) = 1 + x^(-1) + x^(-2) + x^(-3) + ... เพราะ |1/x| >= 1
อนุกรมนี้ลู่ออกเป็น infinity ไปแล้ว จะมาสรุปว่าเป็นค่า S ไม่ได้
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะบอกว่า S=S แล้วแทนสมการเข้าไป เพื่อจัดรูปต่อ ยิ่งจะทำให้เกิดความเข้าใจผิดมากยิ่งขึ้นครับ
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Online Online

Posts: 6311


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #4 on: December 24, 2011, 08:28:16 AM »

^^ เขียนตอบได้ชัดเจนเป็นขั้นเป็นตอนมาก เยี่ยมมาก  great great great

แต่ทำไมไม่ตอบเอง ต้องให้เพื่อนตอบด้วย  Grin
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
euler_tj
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 94


« Reply #5 on: December 24, 2011, 10:25:26 PM »

เยี่ยมมากครับ! ขอมอบรางวัลเป็นรถยนต์ฮอนด้าซีวิค(ในฝัน)หนึ่งคัน

แก่นของคำถามนี้ก็คือการกระจายฟังก์ชั่น S ทั้งสองแบบนั้นใช้ได้กับค่า x คนละช่วงกัน ดังนั้นจึงจับเอามาเท่ากันไม่ได้
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: