ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41287 Posts in 6180 Topics- by 8387 Members - Latest Member: misterx
« previous next »
Pages: « 1 2 3 4 5 6 »   Go Down
Print
Author Topic: คณิตศาสตร์วันละข้อ  (Read 78961 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #60 on: June 29, 2013, 03:10:15 PM »
จัดไปครับ  Grin
จาก 2u^2 - u^4 \geqslant 0 เสมอจึงสามารถปลดค่าสัมบูรณ์ออกไปได้เลย
\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2 - u^{2})}}du = \int \frac{2 - u^2 + u^2}{\sqrt{u^{2}(2 - u^{2})}}du = \int \sqrt{\frac{2 - u^2}{u^2}}du + \int \frac{u}{\sqrt{2 - u^2}}du
พจนหลังสามารถจัดรูปได้เป็น \displaystyle -\frac{1}{2}\int \frac{d(2 -u^2)}{\sqrt{2 - u^2}} และทำต่อได้เป็น - \sqrt{2 - u^2} + C_{1}
ส่วนพจน์แรก คูณด้วย u ทั้งเศษและส่วนและจัดรูปอีกนิดหน่อยเราได้ว่า \displaystyle \dfrac{1}{2}\int \frac{\sqrt{2 - u^2}du^2}{u^2}
ให้ y = \sqrt{2 - u^2}
2 - u^2 = y^2
ได้ du^2 = -2ydy และ u^2 = 2 - y^2 แทนลงไปได้เป็น \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{y(-2ydy)}{2 - y^2} = \int (1 - \frac{2}{2 - y^2})dy = y - 2\int \frac{dy}{2 - y^2} + C_{2}
จาก \displaystyle \int \frac{dy}{2 - y^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{(\sqrt{2}+y)+(\sqrt{2}-y)}{(\sqrt{2}+y)(\sqrt{2}-y)}dy = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\int \frac{d(\sqrt{2}+y)}{\sqrt{2}+y} - \int \frac{d(\sqrt{2}-y)}{\sqrt{2}-y})
\displaystyle = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\ln \frac{\sqrt{2}+y}{\sqrt{2}-y}) + C_{3}
แทนลงไปได้ว่า \displaystyle \int \sqrt{\frac{2 - u^2}{u^2}}du = \frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{2 - u^2}du^2}{u^2} = y - \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2}+y}{\sqrt{2}-y} + C_{4}
แทนครั้งสุดท้ายได้ว่า \displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2 - u^{2})}}du = -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2 - u^2}}{\sqrt{2}-\sqrt{2 - u^2}} + C
คำตอบสุดท้ายจึงเป็น\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{2} - \sqrt{1 - \sin x}} + C   coolsmiley
ปล.ตรวจสอบด้วยนะครับ  smitten
« Last Edit: June 29, 2013, 09:11:43 PM by mopyi » Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #61 on: June 29, 2013, 05:09:49 PM »
Quote from: mopyi on June 29, 2013, 03:10:15 PM
...
คำตอบสุดท้ายจึงเป็น \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{2} - \sqrt{1 - \sin x}} + C  coolsmiley
...
ไม่ได้ดูละเอียดว่าผิดตรงบรรทัดไหนแต่ว่ารู้สึกว่าตัวส่วนในlnจะผิดนะครับ
« Last Edit: June 29, 2013, 07:47:19 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #62 on: June 29, 2013, 09:04:48 PM »
Quote from: jali on June 29, 2013, 05:09:49 PM
...
ไม่ได้ดูละเอียดว่าผิดตรงบรรทัดไหนแต่ว่ารู้สึกว่าตัวส่วนในlnจะผิดนะครับ

ผมไม่เจอที่ผิดที่น่ะครับ คุณ jali ช่วยดูให้หน่อยได้ไหมครับ  icon adore  laugh
Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #63 on: June 30, 2013, 10:46:05 AM »
Quote from: mopyi on June 29, 2013, 09:04:48 PM
...
ผมไม่เจอที่ผิดที่น่ะครับ
ผมลองดูดีๆแล้วหล่ะครับ ของคุณmopyi มันไม่ผิดหรอกครับแต่ว่ามันอยู่ในคนละรูปกับของผมมันเลยมีตัวส่วนไม่เหมือนกัน( embarassed)
ปล.ที่จริงถ้าคุณmopyi ทำแบบนี้มันน่าจะง่ายกว่านะครับ คือ
\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2-u^{2})}}du=\int \frac{2}{u\sqrt{2-u^{2}}}du แล้วก็ใช้การเปลี่ยนตัวแปรแบบตรีโกณเลย
Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #64 on: June 30, 2013, 06:39:44 PM »
Quote from: jali on June 30, 2013, 10:46:05 AM
Quote from: mopyi on June 29, 2013, 09:04:48 PM
...
ผมไม่เจอที่ผิดที่น่ะครับ
ผมลองดูดีๆแล้วหล่ะครับ ของคุณmopyi มันไม่ผิดหรอกครับแต่ว่ามันอยู่ในคนละรูปกับของผมมันเลยมีตัวส่วนไม่เหมือนกัน( embarassed)
ปล.ที่จริงถ้าคุณmopyi ทำแบบนี้มันน่าจะง่ายกว่านะครับ คือ
\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2-u^{2})}}du=\int \frac{2}{u\sqrt{2-u^{2}}}du แล้วก็ใช้การเปลี่ยนตัวแปรแบบตรีโกณเลย

เปลี่ยนตัวแปรตรีโกณยังไงเหรอครับ ต้องแทนเป็นฟังก์ชันอะไรเหรอครับ  icon adore
Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #65 on: June 30, 2013, 08:42:22 PM »
ให้ \displaystyle u=\sqrt{2} \sin \phi เลยครับ
Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #66 on: July 01, 2013, 10:21:20 PM »
Quote from: jali on June 30, 2013, 08:42:22 PM
ให้ \displaystyle u=\sqrt{2} \sin \phi เลยครับ

อ๋อเข้าใจแล้วครับ  ขอบคุณสำหรับวิธีทำที่สั้นกว่านะครับ  great
\begin{array}{rcl} \displaystyle \sqrt{2}\int \frac{d\phi }{\sin \phi } &=& -\sqrt{2}\int \dfrac{-\sin \phi d\phi }{\sin ^{2}\phi } \cr &=& -\sqrt{2}\int \dfrac{d\cos \phi }{1 - \cos ^{2}\phi } \cr &=& -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln \dfrac{1 + \cos \phi }{1 - \cos \phi } \end{array}
ซึ่งพอแทน \cos \phi  ในรูป x แล้วก็จะได้คำตอบเท่ากันครับ  smitten

ปล.มันต้องบอกว่า \cos \phi\geqslant 0 ด้วยหรือเปล่าครับ แต่ผมพิสูจน์ไม่ได้  uglystupid2
« Last Edit: July 01, 2013, 10:23:15 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #67 on: July 02, 2013, 09:41:01 AM »
ถ้าคุณmopyiลองวาดรูปสามเหลี่ยมดู คุณmopyiก็จะรู้เลยครับว่าค่าของเราต้องเป็นบวกเท่านั้นดังนั้นไม่มีความจำเป็นที่จะต้องใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์
Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #68 on: July 02, 2013, 09:50:31 PM »
Quote from: jali on July 02, 2013, 09:41:01 AM
ถ้าคุณmopyiลองวาดรูปสามเหลี่ยมดู คุณmopyiก็จะรู้เลยครับว่าค่าของเราต้องเป็นบวกเท่านั้นดังนั้นไม่มีความจำเป็นที่จะต้องใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์

เราจะวาดสามเหลี่ยมได้เมื่อมุมเป็นมุมแหลมไม่ใช่เหรอครับ ข้อนี้เรารู้แค่ว่า \sin \phi \geqslant 0  ซึ่งมุม \phi  มันอาจจะเป็นมุมป้านก็ได้นะครับ  idiot2
Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #69 on: July 03, 2013, 09:01:02 PM »
คุณmopyiลองวาดรูปให้ดูหน่อยสิครับ สำหรับกรณีที่วาดสามเหลี่ยมไม่ได้หน่ะครับ
Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #70 on: July 03, 2013, 10:30:58 PM »
Quote from: jali on July 03, 2013, 09:01:02 PM
คุณmopyiลองวาดรูปให้ดูหน่อยสิครับ สำหรับกรณีที่วาดสามเหลี่ยมไม่ได้หน่ะครับ

ในกรณีที่มุมเกิน \dfrac{\pi }{2} ก็ต้องใช้วงกลมหนึ่งหน่วยมาอธิบายค่าของฟังก์ชัน sine กับ cosine ครับ
สำหรับที่เราสมมติว่า u = \sqrt{2\sin \phi } จาก u \geqslant 0 ทำให้ได้ว่า \sin \phi \geqslant 0
ดังนั้นถ้า\phi มีค่าระหว่าง \dfrac{\pi }{2} ถึง \pi  (ซึ่งก็ยังทำให้ค่าของ \sin \phi \geqslant 0) ค่าของ \cos \phi  ก็จะติดลบได้ทำให้เราไม่สามารถปลดค่าสัมบูรณ์ออกมาได้เลยนะครับ
Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #71 on: July 04, 2013, 12:29:33 PM »
Quote from: mopyi on July 03, 2013, 10:30:58 PM
Quote from: jali on July 03, 2013, 09:01:02 PM
คุณmopyiลองวาดรูปให้ดูหน่อยสิครับ สำหรับกรณีที่วาดสามเหลี่ยมไม่ได้หน่ะครับ

ในกรณีที่มุมเกิน \dfrac{\pi }{2} ก็ต้องใช้วงกลมหนึ่งหน่วยมาอธิบายค่าของฟังก์ชัน sine กับ cosine ครับ
สำหรับที่เราสมมติว่า u = \sqrt{2}\sin \phi จาก u \geqslant 0 ทำให้ได้ว่า \sin \phi \geqslant 0
ดังนั้นถ้า \phi มีค่าระหว่าง \dfrac{\pi }{2} ถึง \pi  (ซึ่งก็ยังทำให้ค่าของ \sin \phi \geqslant 0) ค่าของ \cos \phi  ก็จะติดลบได้ทำให้เราไม่สามารถปลดค่าสัมบูรณ์ออกมาได้เลยนะครับ
ที่คุณmopyiพูดมานั้นถูกครับแต่ว่า เราสามารถที่จะเลือกให้ค่าของcosineเป็นบวกหรือลบก็ได้ โดยในที่นี้เราเลือกค่าของcosineเป็นบวกโดยการวาดรูปสามเหลี่ยม
อันที่จริงเราอาจพูดว่าเราเลือก  แต่ว่าเราถูกบังคับให้เลือกเพราะเวลาเราแทนค่าย้อนกลับเราแทน \phi= \arcsin(\frac{u}{\sqrt{2}}) ดังนั้นมันจึงจำกัดให้เราเลือกแค่ค่าบวกเท่านั้น
ลองอันนี้ดูครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution
« Last Edit: July 04, 2013, 02:42:05 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #72 on: July 04, 2013, 06:59:05 PM »
Quote from: jali on July 04, 2013, 12:29:33 PM
...
ที่คุณmopyiพูดมานั้นถูกครับแต่ว่า เราสามารถที่จะเลือกให้ค่าของcosineเป็นบวกหรือลบก็ได้ โดยในที่นี้เราเลือกค่าของcosineเป็นบวกโดยการวาดรูปสามเหลี่ยม
อันที่จริงเราอาจพูดว่าเราเลือก  แต่ว่าเราถูกบังคับให้เลือกเพราะเวลาเราแทนค่าย้อนกลับเราแทน \phi= \arcsin(\frac{u}{\sqrt{2}}) ดังนั้นมันจึงจำกัดให้เราเลือกแค่ค่าบวกเท่านั้น
ลองอันนี้ดูครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution
เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ  smitten icon adore
Logged
Hitch your wagon to the star.
jali
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 930
« Reply #73 on: July 04, 2013, 08:54:13 PM »
ไหนๆก็มีคนทำได้แล้วผมขอปล่อยเพิ่มเลยละกันนะครับ Grin
ข้อ 9
\displaystyle \int \frac{1}{a+b \cdot \cos(\theta)}d\theta ;a > b
Logged
mopyi
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 373
« Reply #74 on: July 23, 2013, 08:42:00 PM »
Quote from: jali on July 04, 2013, 08:54:13 PM
ไหนๆก็มีคนทำได้แล้วผมขอปล่อยเพิ่มเลยละกันนะครับ Grin
ข้อ 9
\displaystyle \int \frac{1}{a+b \cdot \cos(\theta)}d\theta ;a > b

ต้องการคำใบ้อีกแล้วครับ  Grin reading
Logged
Hitch your wagon to the star.
Pages: « 1 2 3 4 5 6 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: