ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิก สอวน. ระดับชาติครั้งที่ 2 ณ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์

O-Ji-San

neutrino

Offline

Posts: 84

ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิก สอวน. ระดับชาติครั้งที่ 2 ณ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์

« on: May 10, 2011, 09:19:54 PM »

ของเก่าควรอนุรักษ์ไว้


« Last Edit: May 10, 2011, 09:29:47 PM by ThE_PaPer »	Logged

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

Re: ข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิก สอวน. ระดับชาติครั้งที่ 2 ณ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์

« Reply #1 on: May 08, 2013, 09:43:15 PM »

ข้อ 1. นะครับ
1.1) ให้ระบบที่เราสนใจคือระบบมวล $m$ และ $M$ เนื่องจากแรงภายนอกในแนวระดับสุทธิเป็นศูนย์ ดังนั้นโมเมนตัมในแนวระดับของระบบต้องอนุรักษ์ได้ว่า
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}(t)$
$0 = m(v\cos \theta - V) + M(-V$ )
$V = \dfrac{mv\cos \theta }{m+M}\ldots (1)$
และพลังงานของระบบมีการอนุรักษ์ทำให้ได้อีกสมการว่า
$\displaystyle mgR(1-\cos \theta ) = \frac{1}{2}m((v\cos \theta - V)^2 + (v\sin \theta )^2) + \frac{1}{2}MV^2\ldots (2)$
นำสมการแรกแทนลงไปในสมการที่สองได้ว่า $v = \sqrt{\dfrac{2gR(1-\cos \theta )(m+M)}{m(\sin \theta)^2 + M}}$
และจะได้ $V = \displaystyle \frac{m}{m+M}\sqrt{\dfrac{2gR(1-\cos \theta )(m+M)}{m(\sin \theta)^2 + M}}\cos \theta$
1.2) ถ้า $m\ll M$ จะทำให้ $v = \sqrt{2gR(1-\cos \theta) }$ และ $V = 0$
1.3) $m$ จะหลุดจากผิวทรงกระบอกเมื่อ $\vec{N} = \vec{0}$
กรณีทั่วไปเขียนกฎการเคลื่อนที่ข้อทีสองกับมวล $m$ ได้ว่า $m\vec{g} = m\vec{a}_{m}$ ซึ่ง $\vec{a}_{m}$ เป็นความเร่งของมวล $m$ เทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย เราอาจเขียนใหม่ได้ว่า $\vec{a}_{m} = \vec{a}^* + \vec{A}$ โดย $\vec{a}^*$ คือความเร่งของ $m$ เทียบ $M$ และ $\vec{A}$ คือความเร่งของ $M$ เทียบกับกรอบเฉื่อยแต่เมื่อแรง $\vec{N} = \vec{0}$ ทำให้ได้ว่า $\vec{A} = \vec{0}$ ดังนั้น $\vec{a}_{m} = \vec{a}^*$ โดย $\vec{a}^*$ ก็จะแบ่งเป็น 2 ส่วนคือส่วนที่ชี้เข้าหาจุด C (เข้าสูศูนย์กลาง)ซึ่งมีขนาดเท่ากับ $\dfrac{v^2}{R}$ และในแนวสัมผัสกับทรงกระบอก เมื่อแทนลงไปในสมการแรกได้ว่า $mg\cos \theta = m\dfrac{v^2}{R}$ แทนค่า v จากข้อ 1.1) ได้ว่า $\displaystyle \cos \theta_{1} = \frac{2}{2 + \dfrac{m(\sin \theta )^2 + M}{m + M}}\ldots (*)$
กรณี $m\ll M$ เราก็แทนเหมือนกรณีทั่วไปแต่ v จะต้องเป็น v ที่ได้จากข้อ 1.2) สุดท้ายเราได้ว่า $\cos \theta _{2} = \dfrac{2}{3}$ เมื่อนำไปเปรียบเทียบกับสมการ (*) แล้วจะได้ว่า $\theta _{1}$ น้อยกว่า $\theta _{2}$ coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรช่วยตรวจสอบด้วยนะครับ smitten


« Last Edit: May 08, 2013, 11:14:58 PM by mopyi »	Logged

Hitch your wagon to the star.

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

« Reply #2 on: May 08, 2013, 10:14:10 PM »

ข้อ 2. นะครับ
2.1) จาก $dQ = mcdT$
$\displaystyle \frac{d}{dt}Q = mc\frac{d}{dt}T$
$i^{2}R = mc\dfrac{d}{dt}T$
$\dfrac{d}{dt}T = \dfrac{i^{2}R}{mc}$
แทนค่าต่างๆ $R = \rho \dfrac{l}{\pi r^2}$ $m = l\pi r^{2}D$ ได้ว่า $\dfrac{d}{dt}T = \dfrac{i^{2}\rho }{\pi ^{2}r^{4}Dc}$
2.2) แทนค่าลงในคำตอบที่ได้จากข้อ 2.1)
2.3) $\dfrac{d}{dt}Q_{out} = k(2\pi rl)(T - T_{a})$ โดย $k$ คือค่าคงที่ของการแปรผัน
$\dfrac{d}{dt}Q_{net} = i^{2}\dfrac{\rho l}{\pi r^2} - k(2\pi rl)(T - T_{a})$
$mc\dfrac{d}{dt}T = i^{2}\dfrac{\rho l}{\pi r^2} - k(2\pi rl)(T - T_{a})$
$\displaystyle \dfrac{d}{dt}T = \frac{\rho i^2}{\pi ^{2}r^{4}cD} - \frac{2k(T - T_{a})}{rcD}$
2.4) เส้นลวดจะมีอุณหภูมิสูงสุดเมื่อ $\dfrac{d}{dt}T = 0$ และจะคงที่อุณหภูมินี้ต่อไปเรื่อยๆ(อุณหภูมิมีค่าคงที่แล้ว) coolsmiley

ใช้ผลจากข้อที่แล้วทำให้เราได้ว่า $T_{max} = T_{a} + \dfrac{\rho i^2}{2\pi ^{2}r^{3}k}$
2.5) เส้นลวดนี้จะละลายได้อย่างน้อยอุณหภูทิสูงสุดของมันต้องเท่ากับ $T_{o}$ ดังนั้นเงื่อนไขที่เส้นลวดละลายได้ก็คือ $T_{max} \geqslant T_{o}$
2.6) กราฟของ $T$ นั้นในช่วงแรกจะมีความชันมากที่สุดและจะค่อยๆลดลงเนื่องจากอุณหภูมิของเส้นลวดที่เพิ่มขึ้นและสุดท้ายก็จะมีค่าคงที่เท่ากับ $T_{max}$ coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ smitten


« Last Edit: May 09, 2013, 07:58:12 PM by mopyi »	Logged

Hitch your wagon to the star.

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

« Reply #3 on: May 08, 2013, 11:06:50 PM »

ข้อ 3. ข้อสุดท้ายครับ Grin

3.1) เนื่องจากความสมมาตรเราสามารถยุบเปลือกบางๆไปเป็นประจุจุดที่จุดศูนย์กลางที่มีขนาด $\rho 4\pi \xi ^{2}\delta \xi$
ดังนั้นศักย์ที่ระยะห่าง r จากประจุเท่านี้จึงมีค่าเท่ากับ $\delta V = \dfrac{\rho 4\pi \xi ^{2}\delta \xi }{4\pi \epsilon _{o}r} = \dfrac{\rho \xi ^{2}\delta \xi }{\epsilon _{o}r}$
3.2) ศักย์จาก r ถึง R คือ $\displaystyle V_{1} = \int_{r}^{R}\frac{\rho }{\epsilon _{o}r}\xi ^{2}d\xi = \frac{\rho }{\epsilon _{o}r}(\frac{R^{3} - r^{3}}{3})$
3.3) จากความสมมาตรจะได้ $\displaystyle V_{2} = \frac{1}{4\pi \epsilon _{o}}(\frac{\dfrac{4\pi r^3}{3}\rho }{r}) = \frac{\rho r^2}{3\epsilon ^{o}}$
3.4) $V = V_{1} + V_{2} = \dfrac{\rho R^3}{3\epsilon _{o}r}$
3.5) $V_{net} = \dfrac{\rho R^3}{3\epsilon _{o}r} - \dfrac{1}{4\pi \epsilon _{o}}(\dfrac{q^\prime }{r+r_{0}})$
3.6) ยัดโปรแกรมเขียนกราฟครับ 2funny

3.7) $\vec{E}_{r} = -\dfrac{d}{d r}V\hat{r}$ แทนค่าจากข้อ 3.5) จะได้ $\displaystyle \vec{E}_{r} = (\frac{\rho R^3}{3\epsilon _{o}r^2} - \frac{q^\prime }{4\pi \epsilon _{o}(r+r_{0})^2})\hat{r}$
3.8 ) ประจุที่ Q จะสมดุลได้แสดงว่า $\vec{E}_{r} = \vec{0}$ แทนค่าลงไปในข้อ 3.7) จะได้ $\displaystyle r = (\frac{\sqrt{\dfrac{\rho R^3}{3\epsilon _{o}}}}{\sqrt{\dfrac{q^\prime }{4\pi \epsilon _{o}}} - \sqrt{\dfrac{\rho R^3}{3\epsilon _{o}}}})r_{0}$

ตรวจสอบด้วยนะครับ ข้อนี้ไม่มั่นใจเลย buck2


« Last Edit: May 08, 2013, 11:12:57 PM by mopyi »	Logged

Hitch your wagon to the star.

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

« Reply #4 on: May 09, 2013, 09:53:26 AM »

Quote from: mopyi on May 08, 2013, 11:06:50 PM

...
3.1) เนื่องจากความสมมาตรเราสามารถยุบเปลือกบางๆไปเป็นประจุจุดที่จุดศูนย์กลางที่มีขนาด...

ดูจากรูปและขอบเขตการอินทิกราลแล้ว ผมคิดว่าตรงที่ให้ประจุไปกองตรงกลางน่าจะผิดนะครับ การที่เราทำแบบนั้นได้นี่ จุดที่เราพิจารณามันต้องอยู่นอกการกระจายทรงกลมไม่ใช่เหรอครับ


	Logged

Wesley

neutrino

Offline

Posts: 142

« Reply #5 on: May 09, 2013, 10:24:03 AM »

Quote from: mopyi on May 08, 2013, 10:14:10 PM

2.2) แทนค่าลงในคำตอบที่ได้จากข้อ 2.1)
2.3) $\dfrac{d}{dt}Q_{out} = k(2\pi rl)(T - T_{a})$ โดย $k$ คือค่าคงที่ของการแปรผัน
$\dfrac{d}{dt}Q_{net} = i^{2}\dfrac{\rho l}{\pi r^2} - k(2\pi rl)(T - T_{a})$
$mc\dfrac{d}{dt}T = i^{2}\dfrac{\rho l}{\pi r^2} - k(2\pi rl)(T - T_{a})$
$\displaystyle \dfrac{d}{dt}T = \frac{\rho i^2}{\pi ^{2}r^{4}cD} - \frac{2kr(T - T_{a})}{rcD}$

พจน์หลังของบรรทัดล่าง อาจจะตัดผิดนิดหน่อย เเต่ว่าที่คุณ mopyi เฉลยนั้นยอดเยี่ยมมากเลยครับผม ผมนับถือเลย


	Logged

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

« Reply #6 on: May 09, 2013, 07:55:16 PM »

Quote from: jali on May 09, 2013, 09:53:26 AM

...
ดูจากรูปและขอบเขตการอินทิกราลแล้ว ผมคิดว่าตรงที่ให้ประจุไปกองตรงกลางน่าจะผิดนะครับ การที่เราทำแบบนั้นได้นี่ จุดที่เราพิจารณามันต้องอยู่นอกการกระจายทรงกลมไม่ใช่เหรอครับ

ผมก็เคยเรียนว่าเป็นอย่างงั้นครับ แต่ถ้ามันยุบไม่ได้แล้วเราต้องแยกส่วนย่อยๆและหาศักย์ไฟฟ้าจากประจุชิ้นย่อยๆเหรอครับ Shocked

คุณ jali พอจะมีวิธีอื่นเปล่าครับ icon adore


	Logged

Hitch your wagon to the star.

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

« Reply #7 on: May 09, 2013, 07:59:26 PM »

Quote from: Wesley on May 09, 2013, 10:24:03 AM

...
พจน์หลังของบรรทัดล่าง อาจจะตัดผิดนิดหน่อย เเต่ว่าที่คุณ mopyi เฉลยนั้นยอดเยี่ยมมากเลยครับผม ผมนับถือเลย

ขอบคุณมากครับ แก้แล้วนะครับ smitten


	Logged

Hitch your wagon to the star.

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

« Reply #8 on: May 10, 2013, 09:49:58 AM »

Quote from: mopyi on May 09, 2013, 07:55:16 PM

...เราต้องแยกส่วนย่อยๆและหาศักย์ไฟฟ้าจากประจุชิ้นย่อยๆเหรอครับ...

ไม่ต้องถึกขนาดนั้นหรอกครับ Grin

ในการกระจายประจุสมมาตรทรงกลม(กลวง) ศักย์ภายในผิวกลวงมีค่าเท่ากับศักย์ที่จุดศูนย์กลางเพราะสนามข้างในเท่ากับศูนย์


	Logged

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

« Reply #9 on: May 11, 2013, 04:52:48 PM »

Quote from: jali on May 10, 2013, 09:49:58 AM

Quote from: mopyi on May 09, 2013, 07:55:16 PM

...เราต้องแยกส่วนย่อยๆและหาศักย์ไฟฟ้าจากประจุชิ้นย่อยๆเหรอครับ...

ไม่ต้องถึกขนาดนั้นหรอกครับ Grin

ทำไมสนามไฟฟ้าข้างในถึงเท่ากับศูนย์เหรอครับ ไม่ใช่แค่ที่จุดศูนย์กลางเหรอครับ idiot2


	Logged

Hitch your wagon to the star.

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

« Reply #10 on: May 12, 2013, 08:32:02 AM »

Quote from: mopyi on May 11, 2013, 04:52:48 PM

Quote from: jali on May 10, 2013, 09:49:58 AM

Quote from: mopyi on May 09, 2013, 07:55:16 PM

...เราต้องแยกส่วนย่อยๆและหาศักย์ไฟฟ้าจากประจุชิ้นย่อยๆเหรอครับ...

ไม่ต้องถึกขนาดนั้นหรอกครับ Grin

โทษทีครับเผอิญพูดไปไม่หมด สนามไฟฟ้าที่เกิดจากเปลือกครับ มันเป็นศูนย์ ส่วนสนามไฟฟ้ารวมก็มีค่าไม่เป็นศูนย์ตามที่คุณmopyiบอกนั่นแหล่ะครับ


	Logged

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

« Reply #11 on: May 12, 2013, 09:41:32 AM »

Quote from: jali on May 12, 2013, 08:32:02 AM

...
โทษทีครับเผอิญพูดไปไม่หมด สนามไฟฟ้าที่เกิดจากเปลือกครับ มันเป็นศูนย์ ส่วนสนามไฟฟ้ารวมก็มีค่าไม่เป็นศูนย์ตามที่คุณmopyiบอกนั่นแหล่ะครับ

ผมก็ยังสงสัยอยู่ดีครับว่าทำไมสนามไฟฟ้าที่เกิดจากเปลือกถึงเป็น 0 ภายในเปลือกหมดไม่ใช่แค่ที่จุดศูนย์กลางเหรครับ idiot2


	Logged

Hitch your wagon to the star.

jali

SuperHelper

Offline

Posts: 930

« Reply #12 on: May 12, 2013, 09:58:07 AM »

Quote from: mopyi on May 12, 2013, 09:41:32 AM

Quote from: jali on May 12, 2013, 08:32:02 AM

ลองใช้กฏของเกาส์พิสูจน์ดูครับ Grin


	Logged

mopyi

neutrino

Offline

Posts: 373

« Reply #13 on: May 12, 2013, 10:08:01 AM »

Quote from: jali on May 12, 2013, 09:58:07 AM

Quote from: mopyi on May 12, 2013, 09:41:32 AM

Quote from: jali on May 12, 2013, 08:32:02 AM

ลองใช้กฏของเกาส์พิสูจน์ดูครับ Grin

กฎของเกาส์ให้ผลว่าฟลักซ์สุทธิของสนามไฟฟ้าเป็น 0 ครับแต่มันไม่ได้บอกว่าสนามไฟฟ้าเป็น 0 นิครับ uglystupid2


	Logged

Hitch your wagon to the star.

krirkfah

SuperHelper

Offline

Posts: 631

« Reply #14 on: May 12, 2013, 11:11:23 AM »

ลองใช้คูลอมบ์เลยครับ ว่าแต่ที่ถามกันมันถามเกี่ยวกับอะไรหรอครับ idiot2

อีกอย่างกฎของเกาส์ก็ใช้ได้จำกัดมากๆครับ บางทีสมมาตรก็อาจใช้ไม่ได้ก็ได้เพราะประโยชน์จากกฎของเกาส์ไม่ใช่เพื่อหาสนามไฟฟ้า แต่แค่บอกว่าฟลักสุทธิที่ผ่านผิวปิดมีค่าเท่ากับประจุภายในผิวปิดหารด้วย $\varepsilon _0$ ส่วนในเรื่องการหาสนามไฟฟ้าจากกฎของเกาส์นั้นเป็นผลพบอยได้ครับ ถ้าจะเอาชัวร์ๆ ก็ลองใช้คูลอมบ์ครับ


« Last Edit: May 12, 2013, 11:16:36 AM by krirkfah »	Logged

Pages: 1 2 » Go Up

« previous next »