สปริงผสมกับลูกตุ้มอย่างง่าย

สปริงไร้มวลอันหนึ่ง มีค่าคงที่ $k$ ความยาวธรรมชาติ $l_0$ มีมวล $m$ แขวนอยู่ที่ปลายหนึ่ง อีกปลายหนึ่งตรึงไว้กับเพดาน ที่เวลา $t=0$ ดึงมันออกจากตำแหน่งสมดุลในลักษณะที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่านจุดตรึงกับมวล $m$ ทำมุม $\theta_0$ เล็กๆ กับแนวดิ่ง โดยที่ความยาวของสปริงยังเป็น $l_0$ อยู่ แล้วก็ปล่อยให้มันเคลื่อนที่ จงบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบนี้

ข้อนี้ผมลองทำแล้วไม่ได้ว่ามันเป็น $\text{Simple Harmonic}$ ครับ embarassed

จริงๆแล้วมันควรจะเป็น $\text{Simple Harmonic}$ หรือเปล่าครับ วิธีทำของผมเป็นดังนี้

คิดขณะที่ $m$ กำลังมีการกระจัดและความเร็วไปทางขวา เส้นตรงที่ผ่านจุดตรึงกับมวล $m$ ทำมุม $\theta$ กับแนวดิ่ง และขณะที่ $m$ กำลังยืดออกจากความยาวธรรมชาติเทียบกับจุดหมุนเป็นระยะ $y$ (นั่นคือตอนนี้สปริงยาว $l_0 + y$ ) ดังนั้นกำหนดทิศขวา, ทวน, ออก เป็นบวก

สมการการเคลื่อนที่ของมวล $m$ พิจารณาแรงในแนวขนานกับสปริง
$mg \cos \theta - ky = m \dfrac{d^{2}y}{dt^2}$ ---> $\cos \theta$ ไม่ใ่ช่ค่าคงที่

สมการทอร์กรอบจุดตรึง
$-mg \theta \left( l_0 + y \right) = m \left( l_0 + y \right)^2 \dfrac{d^{2}\theta}{dt^2}$
$-g \theta = \left( l_0 + y \right) \dfrac{d^{2}\theta}{dt^2}$ ---> $y$ ไม่ใ่ช่ค่าคงที่

ทำยังไงให้ได้เป็น $\text{Simple Harmonic}$ ดีครับ

หรือว่ามันไม่ใช่ $\text{Simple Harmonic}$ แต่เป็นการเคลื่อนที่แบบประหลาดอย่างอื่น... Huh

ช่วยแนะทีครับ icon adore